矩阵的相似与合同有一些不同之处，如 A ～ B ，则 A B ， A 与 B 有相同的特
征值.但若 A B ，那么 A 与 B 的行列式的值不一定相等； A 与 B 也不一定有相同的特 征值.
2
2
1
例1
2 设A 2
2
2 5 4
2 4,T
5
5 1
5
0
45 4
45 5
45
3 2
性质 1.4 P 1 (k1 A1 k2 A2 )P k1P 1 AP k2 A2 P .
（ k1, k2 是任意常数）
1
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矩阵的相似与合同及其等价条件研究
性质 1.5 P 1 ( A1 A2 )P (P 1 A1P)(P 1 A2 P) .
性质 1.6 若矩阵 A 与矩阵 B 相似，则 Am 与 B m 相似.
tr A
例1
A
2 0
03
，
B
3 0
02 ，求分别求矩阵 A 、 B 的特征多项式，特征值秩,
迹，行列式，矩阵 A 与 B 是否相似，它们之间有什么关系？
解
从已知可知 A 2 0
0 3
6 ， Rank( A)
2,
tr ( A)
5
对于 A 的特征多项式 E A 2 0
0 3
(
2)(
3)
PPT E, QQT E
故 PQT 可逆，又由于： （ PQ1)(PQ1) PQ1(Q1)T PT PQT QPT E
所以 PQ1 是正交矩阵
故M ～N ,M N
结论 2.4 若 n 阶矩阵 A 与 B 中只要有一个正交矩阵，则 AB 与 BA 相似且合同． 证明 不妨 A 是正交矩阵,则 A 可逆取, P A ,
8
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矩阵的相似与合同及其等价条件研究
3 相似矩阵的应用
3.1 相似矩阵的简单应用[8] 在矩阵 Am 的求解过程中，很难得到它的值，然而可以找到与矩阵 A 相似的简单的
矩阵，可把矩阵化简为对角矩阵，使得 A P 1BP ，其中 P 为可逆矩阵, B 对角矩阵，
= P1( E A)P
5
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矩阵的相似与合同及其等价条件研究
= E A
故特征值相同.
然而对于矩阵 A 合同与矩阵 B，但是它们的特征值不一定相同:
例3
1
设
A
1 2
1 2 1
，
B
1 0
0 3 4
，
C
1
0
1 2 1
不难验证 C T AC B ,即 A B ，但是 A 的特征值为 1 和 3 ，B 的特征值为1和 3
则一定存在 n 阶正交矩阵 P ，使得：
6
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P
1MP
1
n
同理，可以找到一个正交矩阵 Q ，使得：
从上面两式有：
Q 1 NQ
1
n
P 1MP Q 1 NQ
将上式两边分别左乘 Q 和又乘 Q 1 ，得：
由于
N QP `1MPQ
PQ1` 1 M PQ1
则称 A 与 B 合同，记作 A B .
n 阶矩阵的合同关系具有下列性质： ⑴ 反身性: 即任一 n 级矩阵与自身合同. ⑵ 对称性: 即如 A 与 B 合同，则 B 与 A 合同. ⑶ 传递性: A 与 B 合同， B 与 C 合同，则 A 与 C 合同. ⑷ 合同的两矩阵有相同的二次型标准型. ⑸ 任何一个实对称矩阵合同于一个对角矩阵. ⑹ 两个实对称矩阵合同，它们的秩相等，而且正惯性指数相等.
（ m 为正整数）
证明 存在一个可逆矩阵 P ，使得 P 1 AP B ，那么 P 1 AP m B m P 1 Am P ，故
可以得到 Am 与相 B m 相似.
性质 1.7 如果矩阵 A 、 B 都是满秩，则 A ～ B ，那么 B 1 ～ A1 .
证明 存在一个可逆矩阵 P ，使得 P 1 AP B ，那么 P 1 AP 1 B 1 P 1 A1P ，
故可以得到 B 1 ～ A1 . 性质 1.8 如果矩阵 A ～ B ，那么 A B .
证明 存在一个可逆矩阵 P ，使得 P1AP B ，又因为 P 1 AP B ， P1P 1 ，
故可以得到 A B .
性质 1.9 相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆.并且当它们都可逆时候，它们的 逆矩阵也相似.
故 A 的特征值为 2 和 3.
对于矩阵 B , B 3 0
0 2
6 ， Rank(B)
2,
tr (B)
5
矩阵 B 的特征多项式 B 3 0
0
2
(
2)(
3)
.
故矩阵 B 的特征值是 2 和 3.
存在一个可逆矩阵
P
0 1
10 使得 P 1 AP B ，从定义矩阵 B 与矩阵 A 相似.
从结果看到相似矩阵有相同的特征多项式、相同的特征值、相等的行列式的值、 相等的迹[2-4].
证明 从已知， C ～ B , C ～ D ，故存在可逆矩阵 P1 ， P2 使得 P11 AP1 B P21CP2 D
令
P
P1 0
0 P2
则
且
P 1
P11 0
0 P21
P
1
A 0
0 C
P
P11 AP1 0
0 P21CP2
B 0
0 D
故
A 0
0 C
～
B 0
0 D
又因为 A B，C D ，，故存在可逆矩阵T1 ，T2 ，
0 1
0 0
， B 10
2 1
10 ， A 与 B 等价，但是 A 与 B 并不相
似.
结论 2.2 合同矩阵一定是等价矩阵，等价矩阵未必是合同矩阵.
证明 设 n 阶方阵 A, B 合同，由定义 1.5 有，存在 n 阶可逆矩阵 P1 ，使得 PT AP1 B ，
若记 P P1T ,Q P1 ,则有 PAQ B 因此由定义 1.3 得到 n 阶方阵 A, B 等价.
Rank ( A) Rank (B) .可见，如果两个矩阵相似或合同，那么它们的秩相同.
⑶ 相似与合同的矩阵要求是同型的方阵. 若矩阵 A 于矩阵 B 相似，则要求 A 、B 都是方阵；若 A 合同与 B ，则要求 A 、B 都 方阵.就是说相似与合同的矩阵要求是同型矩阵，而且都是方阵. 2.2 矩阵的相似与合同的不同点[5].
矩阵的相似与合同及其等价条件研究
（数学与统计学院 09 级数学与应用数学一班） 指导老师：王晶晶
引言
矩阵的相似与合同及其等价三者在线性代数中是很重要的概念，在线性代数的学 习中，矩阵的相似与合同作为研究工具，得到广泛的应用[1-10]，起着非常重要的作用， 能够把要处理的问题简单化[9]，本文对矩阵的等价，合同，相似进行了简单的介绍并对 其判别方法给了具体的例子进行解释说明，对矩阵的应用学习有一定的帮助.
例2
1 2 4 设 实 数 域 上 的 3 级 实 对 称 矩 阵 A 2 4 2 ， 对 角 矩 阵
4 2 1
5 0 0 B 0 5 0 .求矩阵 A 、 B 的特征值，特征多项式并且矩阵 A 与矩阵 B 相似吗？如
0 0 4
果相似求出可逆矩阵 P .
1 2 4 1 2
A
1 2
2 3
，
B
1 4
4 12
，
C
1 0
02 .
经过验证可以知道 A 1， B 4 ，然而 C T AC B ， A B ，可以得到矩阵 A
合同于 B ，但是行列式可以不等. 我们知道矩阵相似具有相同的特征值，这是因为相似矩阵有相同的特征多项式.
我们设 A ～ B ，则有可逆矩阵 P ，使得 B P 1 AP ，于是 E B E P1AP P1( E)P P1AP
P 1 E AP
E A
故矩阵 A 的特征值与矩阵 B 有相同的特征值.
性质 1.11 相似矩阵有相同的迹.
证明
可以设矩阵 A 与矩阵 B 相似，那么存在一个可逆矩阵 P ,使得 P1AP B ，
tr B tr P 1 AP
2
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矩阵的相似与合同及其等价条件研究
tr P 1PA
1 矩阵的等价与相似及其合同的基本概念
1.1 矩阵等价的定义[1]
定义 1.1 如果矩阵 A 可以有矩阵 B 经过有限次初等变换得到，称 A 与 B 是等价 的.
由于要与矩阵的相似，合同进行比较，上述概念可以约束条件得到： 定义 1.2 如果 n 阶矩阵 A 可以由 n 阶矩阵 B 进过有限次初等变换得到，则称 A 与
4
解 由矩阵 A 的特征多项式为 2 4 2 2 4 2
4 2 1 0 2 10 1
3
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矩阵的相似与合同及其等价条件研究
1 2 4 2 4 2
0 0 1
( 5)2 ( 4)
故矩阵 A 的特征值为 5 和—4.
容易知道矩阵 B 的特征多项式和矩阵 A 的相同，
反过来对于矩阵
A
1 0
0 1
,
B
1 0
12 等价，但是 A 与 B 并不合同，即等价
矩阵未必合同．
2.4 矩阵合同与相似的关系[7] 结论 2.3 如果 M 与 N 都是 n 级对称矩阵，且有相同的特征值，则 M 与 N 既合
同又相似. 证明 设 M 、N 的特征值均为 1 、2 、 n ，因为 M 与 N 都是 n 级实对称矩阵，
P 1 AP B ,则称矩阵 A 与矩阵 B 相似，记作 A ～ B .
1.2.1 n 阶矩阵的相似关系，具有下列性质[3]:
性质 1.1 反身性，即任一 n 阶矩阵 A 与自身相似.
性质 1.2 对称性，即如果 A ～ B ，则 B ～ A .
性质 1.3 传递性，如果 A ～ B ， B ～ C ，则 A ～ C .
22
4
显然，矩阵的相似与矩阵的合同是不同的概念.
2.3 矩阵等价、合同与相似的联系[7].
结论 2.1 相似矩阵一定是等价矩阵，等价矩阵未必为相似矩阵.
证明 设 n 级矩阵 A 、 B 相似，从定义知道存在 n 阶矩阵 P ，使得 P 1 AP B ，从
等价的定义 A B .
反过来，对于矩阵 A 10
B 是等价的. 根据初等变换和初等矩阵的关系以及可逆矩阵的充分必要条件，可以用数学语言描
述：
定义 1.3 设矩阵 A , B 为 n 阶矩阵，如果存在 n 阶可逆矩阵 P 和 Q ,使得 PAQ B ,
则称矩阵 A 与 B 等价，记作 A ∽ B . 1.2 矩阵相似的定义[2]
定义 1.4 设矩阵 A ， B 为 n 阶矩阵，如果存在一个是 n 阶可逆矩阵 P，使得
3 2
3
,
B
1 0 0
0 0 1 0, 0 10
不难验证：
T T AT B ，有 A B .
我们可以知道上面的矩阵等式满足矩阵的合同同时满足矩阵的相似，能够知道矩 阵T 为正交矩阵，故 A ～ B ，矩阵 A 的行列式可以等于 B 的行列式，下面举出合同但是 行列式不等的情况.
例2
2. 合同矩阵与相似矩阵的关系
2.1 矩阵的相似与合同的相同点[5]. ⑴ 从上面可以看到，相似关系满足反身性、对称性、传递性；合同关系也具有
反身性、对称性、传递性. ⑵ 相似 、合同矩阵均有相同的秩.
4
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矩阵的相似与合同及其等价条件研究
若矩阵 A 相似与矩阵 B ，则 Rank ( A) Rank (B) ，若矩阵 A 合同于矩阵 B ，则
有 P1ABP A1ABA A1A BA BA ，则 AB 与 BA 相似，
又 A 是正交阵，所以 AB 与 BA 既相似又合同.
结论 2.5 若 A ～ B ,且 A B ， C ～ D 且 C D ，则
A 0
0 C
～
B 0
0 D
，
A 0
0 C
B 0
0 D
7
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矩阵的相似与合同及其等价条件研究
1 5 4 5 2
5
15
3
故矩阵
B
的特征值为
5
和-4.那么存在一个可逆矩阵
P
,
P
2 5
5
25 15
1 3
0
1 5 3
2
3
验证得到 P 1 AP B ，那么矩阵 A 与矩阵 B 相似，它们有相同的特征值和特征多项式.
1.3 矩阵合同的定义[2]
定义 1.5 设 A ， B 为 n 阶矩阵，如果存在一个 n 阶可逆矩阵 C ，使得 C T AC B ，
证明 设 B P 1 AP ，若矩阵 B 可逆，B 1 P 1 AP 1 P 1 A1P ，从而 B 1 和 A1
也相似. 若 B 不可逆，则 P 1 AP 不可逆，即 A 也不可逆.
性质 1.10 相似矩阵有相同的特征值. 证明 设 B P 1 AP ， E B P 1EP P 1 AP
使得
T1T AT1 B,T2T CT2 D
令T
T1 0
0 T2
则
然而
故
TT
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T1T 0
0 T2T
T
T
A 0
0 C
T
T1T
0
0 A
T2T
0
0 C
T1 0
0
T2
T1T
0
0 T2T
T1 0
0
T2
T1T
AT1
0
T2T
0 CT2
B 0
0
D
A 0
0 C
B 0
0 D