5
方程的形如u=F(x+at)或u=G(x-at)的解称为行波。 其中 u=F(x+at)表示一个在初始时刻t=0时为u=F(x)的 波形，以速度a>0向左（即x轴反向）传播，而波形保 持不变，它称为左传播波； u= G(x-at)则表示以速度a向右传播的波，
称为右传播波。
右传播波 F x at 左传播波 G x at
物理解释：
认为弦很长，考虑远离边界的某段弦在较短时间内 的振动，其中给定初始位移和速度，并且没有强迫 外力作用。它可用来描述弹性体的振动、声波、电 磁波等波动的传播。
3
2 2u u 2 a 0 2 2 t x
将泛定方程改写成以下形式：
(at) x (at) x u 0
6
弦振动方程的通解表达式说明: 弦上的任意扰动总是以行波的形式向左 右两个方向传播出去。 下面我们看到，通过把方程的解表示为右 传播波和左传播波的迭加，可用来求定解问题 的解。这个方法称为行波法。
7
代入初始条件，可得
F ( x) G ( x) ( x), aF '( x) aG '( x) ( x).
将（1）式两端关于 x 求导一次，得
（1） （2）
F ' ( x) G' ( x) ' ( x).
由（2）、（3）两式，解得
（3）
1 F '( x) (a '( x) ( x)), 2a 1 G '( x) (a '( x) ( x)). 2a
8
再将以上两式关于x 积分一次就得到
2
第一节 一维波动方程的达朗倍尔 解法(行波法)
一、一维波动方程的达朗倍尔解：考虑无界弦的 自由振动问题：
2 2u u 2 t 2 a x 2 , x , t 0 u ( x, 0) ( x), x ut ( x, 0) ( x),
u F ( ) G( )
回到原来的变数x及t，立即得到泛定方程的解 的一般形式即其通解为
u( x, t ) F ( x at ) G( x at )
其中F及G为任意的单变量的二阶连续可微函数。 由式可见，自由弦振动方程的解可以表示为形如 F(x+at)与G(x-at)的两个函数之和。
傅里叶积分定理:设f 在 (,) 内满足下面两个条件：

（1）积分

f ( x) dx
存在；
（2） f(x) 在 (,) 内满足狄里克莱条件：在任意有限 区间至多有有限个第一类间断点,而且只有有限个极值点，则
1 f ( x) 2



(


f ( )e i d )ei x d ,
数学物理方程
朱红波
广东工业大学应用数学学院
1
第三章 行波法、积分变换法
在这一章中，我们将介绍求解数学物理问题 的方法，行波法与积分变换法. 行波法又称为达朗倍尔方法，它是求解无界域 内波动方程定解问题的一种有效的方法。
积分变换法:
Fourier 变换 Laplace 变换
通过积分变换, 将偏微分方程的某些定解问题 化为常微分方程定解问题来求解。
由达朗贝尔公式可得其解为：
1 1 x t u ( x, t ) (( x t ) ( x t )) sin d 2 2 x t 1 x t 1 x ( cos x t ) x sin x sin t 2 2
11
•第二节 一维定解问题的积分变换法
. Fourier变换
1 设 f ( x) 是定义在R上的函数，且 f ( x) C [L, L]
则
f ( x) 可以展开为Fourier 级数 a0 n
f ( x)
n an cos x bn sin x 2 L L n 1
L
其中
1 an L 1 bn L
1 1 x F ( x) ( x) ( )d c1 , 2 2a 0 1 1 x G ( x) ( x) ( )d c2 . 2 2a 0
其中c1与c2是常数。由
F ( x) G( x) ( x),
得到
c1+c2=0.
9
最后我们可得

L
n f ( ) cos d, L n f ( ) sin d, L
n 0,1, 2,
L
L
n 1, 2,
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1 i i x 定义：如果广义积分 ( f ( ) e d ) e d , 2 对任意的x (, )收敛，则称为f ( x)的Fourier积分。
f ( x 0) f ( x 0) 2
若左端的 f(x)在它的间断点x 处，
13
定义： 如果 f(x) 满足傅里叶积分定理的条件，则 定义
F ( )
f(x) 的傅里叶变换为



f ( x)e ix dx
f ( x)
F ( )
定义
称为
f ( x) 的象函数，
给我们以启发，通过适当的变量代换，令
x at x at
方程化为只含二阶混合偏导数的下述标准形式：
u 0
2
4
2u 0,
u 0
将方程先对积分一次，再对 积分一次， x, t ) ( ( x at ) ( x at )) 2 1 x at ( )d . 2a x at
这个公式称为达朗贝尔公式。
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举例，求解弦振动方程的柯西问题
2u 2u 2 0 (t 0, x ) 2 t x t 0 : u x, u sin x ( x ) t