t x=x1+at x=x2-at
x O X1 X2
图 3-2
若过点 x1 , x 2 分别作直线 x = x1 − at , x = x 2 + at 则经过时间 t 后,受区间 [x1 , x 2 ] 上 初始扰动影响的区域为
x1 − at ≤ x ≤ x 2 + at
在此区域外的波动不受 [x1 , x 2 ] 上初始扰动的影响,称 xt 平面上不等式所确定的区域 为区间 [x1 , x 2 ] 的影响区域.
(3.2.1) (3.2.2) (3.3.3)
这个问题不能直接用达朗贝尔公式求解 . 随着时间 t 的变化 , 会出现 x − at < 0 , 而
ϕ ( x) ,ψ ( x) 在 x < 0 时无定义,因此式(3.1.9)不能使用.为了利用现有结论,我们采用延拓
的方法,把问题延拓 (−∞， 0) 上去,这样,我们考虑新的定解问题
说明当式 (3.1.1)的解表示为 u1 ( x, t ) = f 1 ( x + at , t ) 时,振动形成的波是以速度 a 向左传播 的.因此,函数 f ( x + at ) 所描述的振动现象称为左传播波.同样形如 u 2 ( x, t ) = f 2 ( x − at , t ) 的函数所描述的振动现象称为右传播波.由此可见,达朗贝尔公式表明:弦上的任意扰动,总 是以行波的形式分别向两侧传播的,其传播的速度恰是弦振动方程中的常数 a 基于这种原 因,本节所用的方法又称行波法. 由达朗贝尔公式式 (3.1.5) 可见 , 解在 ( x, t ) 点的数值仅依赖于初始条件在 x 轴的区间
t
x=x1-at
x=x2+at
O
x 图 3-3
x
x
由上述内容可见,在 xt 平面上,斜率为 ±
1 的两族直线 x ± at = C (常数)在研究一维 a
波动方程时起着重要的作用,因此这两族直线称为一维波动方程式(3.1.1)的特征线.在特征
线 x − at = C 2 上,左行波 u1 ( x, t ) = f 1 ( x + at , t ) 的振幅取常数值 f 1 (C1 ) ,所以波动实际上 是沿着特征线传播的,因此行波法又成为特征线法. 若初始条件中ψ ( x ) = 0 ,则有
2 ⎧ ∂ 2u 2 ∂ u = + f ( x, t ) a ⎪ ⎪ ∂t 2 ∂x 2 ⎨ ∂u ⎪u t = 0 = 0, t =0 = 0 ⎪ ∂t ⎩
的解为
u ( x , t ) = ∫ W ( x , t , τ ) dτ
0
t
由齐次化原理可得问题(I)的解为
V ( x, t ) =
因此非齐次方程式(3.1.10)的解为
对式(3.1.7)两侧关于 x 在区间 [0, x ]上积分
(3.1.6) (3.1.7 )
f1 ( x ) − f 2 ( x ) =
1 x ψ (ξ )dξ + C 1.6),式(3.1.8),解关于 f1 ( x ), f 2 ( x ) 的方程,有
C 1 1 x f1 ( x ) = ϕ ( x ) + ψ (ξ )dξ + ∫ 0 2 2a 2 C 1 1 x f 2 (x ) = ϕ ( x ) − ∫ ψ (ξ )dξ − 0 2 2a 2
将 f1 ( x ), f 2 ( x ) 代入式(3.1.5)中,即得到定解问题的解为
u ( x, t ) =
x + at 1 [ϕ (x + at ) + ϕ (x − at )] + 1 ∫x−at ψ (ξ )dξ 2 2a
(3.1.9)
式(3.1.9)称为无限长弦自由振动的达朗贝尔公式,由式(3.1.5)知,描述弦的自由振动的方程, 其解可以表示成 f1 ( x + at ), f 2 ( x + at ) 之和,通过对他们进一步的分析,我们可以更清楚地 看出振动波传播的特点. 首先设 u1 = f1 ( x + at ) ,显然,它是式(3.1.1)的解,当 t 取不同的值时就可以得到弦在各 个时刻的振动状态. t = 0 时, u1 ( x,0 ) = f 1 ( x ) ,它对应的初始时刻的状态,如图 3-1 虚线所示. 经过 t 0 这段时间后 , u1 ( x, t 0 ) = f1 ( x + at 0 ) 相当于原来的实线图形 , 向左平移了 at 0 这段 距离(如图 3-1 中实线所示).随着时间 t 的推移,这个图形将继续向左平移,移动距离为 at .这
1 的直线 a
x = x1 + at ,过点 x 2 作一个斜率为 −
1 的直线 x = x 2 − at ,构成一个三角形区域,如图 3-3 a
所示.此三角形域中任意一点 ( x, t ) 的依赖区间到落在 [x1 , x 2 ] 的内部,因此,解在此三间形 区域中的值完全由初始条件在区间 [x1 , x 2 ] 内的值所决定,而与此区间外的初始条件无关, 于是这个区域就称为 [x1 , x 2 ] 的决定区域,给定区间 [x1 , x 2 ] 上的初始条件,就可以在其决定 区域内确定初值问题的解.
2 ⎧ ∂ 2u 2 ∂ u (− ∞ < x < +∞ ) = a ⎪ 2 ∂x 2 ⎪ ∂t ⎨ ⎪u = ϕ ( x ), ∂u = ψ ( x ) t =0 ⎪ ∂t t =0 ⎩
(3.1.1) (3.1.2)
一维波动方程是双曲型的方程,所以我们作出如下代换,令
⎧ξ = x + at ⎨ ⎩η = x − at
利用复合函数求导的规则,有
(3.1.3)
∂u ∂u ∂ξ ∂u ∂η ∂u ∂u = + = + ∂x ∂ξ ∂x ∂η ∂x ∂ξ ∂η
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2 u ∂ ⎛ ∂u ⎞ ∂ξ ∂ ⎛ ∂u ⎞ ∂η ∂ 2 u 2 = + + + = ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ∂ξ∂η ∂η 2 ∂x 2 ∂ξ ⎝ ∂x ⎠ ∂x ∂η ⎝ ∂x ⎠ ∂x ∂ξ 2
[x − at , x + at ] 上的值,而与其他点上的初始条件无关,这个区间称为点 (x, t ) 的依赖区间,
它是过 ( x, t ) 点分别作斜率为 ±
1 的直线与 x 轴相交所截得的区间,如图 3-2 所示. a
(x,t0)
y
x O x-at0 x+at0
图 3-1
初 始 时 刻 t = 0 时 , 取 x 轴 上 的 一 个 区 间 [x1 , x 2 ] , 过 点 x1 作 斜 率 为
2 ⎧ ∂ 2u 2 ∂ u + f ( x, t ) (−∞ < x < +∞, t > 0) a = ⎪ ⎪ ∂t 2 ∂x 2 ⎨ ∂u ⎪u = ϕ ( x) , t = 0 t =0 = ψ ( x) ⎪ ∂t ⎩
(3.1.10) (3.1.11)
此时振动位移可以分为两部分: 一部分是只受外力影响的 V ( x, t ) ,另外一部分是由 初始形变产生的回复力使弦产生的位移 W ( x, t ) ,即
u ( x, t ) =
1 x + at ψ (ξ )dξ 2a ∫x − at
点 ( x, t ) 的状态依赖于初始数据ψ 的在整个区间 [ x − at , x + at ] 上的值,这是一种有累积的效 应(即有后效)的传播. 3.1.2 非齐次方程与齐次化原理 当弦的振动受到外力干扰时,定解问题归结为
即
u ( x, t ) = f1 ( x + at ) + f 2 ( x − at )
(3.1.5)
其中 f1 , f 2 是二次连续可微的任意函数,这样,式(3.1.5)可以认为是式(3.1.1)的通解. 将初始条件式(3.1.2)代入式(3.1.5)中,有
⎧ f1 ( x ) + f 2 ( x ) = ϕ ( x ) ⎨ ' ' ⎩af1 ( x ) − af 2 (x ) = ψ ( x )
t =0
= ψ ( x)
问题(II)应用达朗贝尔公式即可解出,而问题(I)则要应用下面的齐次原理求解. 定理(齐次化原理):若 W ( x, t ,τ ) 是问题
⎧ ∂ 2W = a2 ⎪ ⎪ ∂t 2 ⎨ ⎪W t =τ = 0, ⎪ ⎩
的解,则初值问题
∂ 2W , (t > τ ) ∂x 2 ∂W t =τ = f ( x,τ ) ∂t
3.2 延拓法求解半无限长振动问题 若振动弦的一端固定在原点,一端无限长,则定解问题归纳为
2 ⎧∂ 2u 2 ∂ u a (0 < x < +∞, t > 0) = ⎪ 2 2 t x ∂ ∂ ⎪ ∂u ⎪ ⎨u t = 0 = ϕ ( x), t = 0 = ψ ( x) t ∂ ⎪ ⎪u x = 0 = 0 ⎪ ⎩
第三章 行波法与积分变换法 本章我们介绍两个常用的解题方法：行波法和积分变换法。行波法只用于求解无界区 域上的波动方程定解问题， 积分变换法不受方程类型的限制， 一般应用于无界区域的定界问 题，有时也应用于有界域的定解问题.
3.1 达朗贝尔公式及波的传播 在求解常微分方程的特解时,一般先求出方程的通解,然后利用所给的定解条件去解出 通解中含有的任意常数,最后得到了满足所给条件的特解.这个想法能否推广到求解偏微分方 程的过程中呢?一般情况下,随着自变量个数的增加,偏微分方程的通解非常难求,并且偏微分 方程的通解一般都含有任意函数,这种任意函数很难由定解条件确定为具体的函数.所以在求 解数学物理方程时,主要采用通过分析各类具体的定解问题,直接求出符合定解条件的特解的 方法.但事情没有绝对的,在有些情况下,我们可以先求出含任意函数的通解,然后根据定解条 件确定出符合要求的特解.本节我们研究一维波动方程的求解,就采用这种方式. 3.1.1 达朗贝尔公式 如果我们所考察的弦无限长,或者我们只研究弦振动刚一开始的阶段,且距弦的边界较远 的一段,此时可以认为弦的边界,对此端振动的弦不产生影响.这样,定解问题就归结为如下形 式