1 2
1 u
du
1ln|u| C 2
注意换回原变量
1ln|2x1|C. 2
例2 求 xsinx2dx.
解： ux2,du2xdx 则
想到公式
sinudu
co suC
xsinx2d x1 2sinx22xd x
1 2
sinudu
1cosuC. 2
1cosx2 C. 2
这种换元法又称为凑微分法或配元法, 即引进 一个新变量以代替原来的变量, 对于变量代换熟练 以后, 可以不写出中间变量 u.
分部积分法一般用于是解决两种不同类型函数乘积 的不定积分问题的.
例1. 求 xlnxdx.
u vd xu vu vd x
分析：被积函数 xlnx 是幂函数与对数函数的乘积, 采用分部积分.
解: 令 ulnx, v x
则 du 1 dx , v 1 x2
x
2
原式
=
1 x2 2
ln x
1 2
(1x3)2dx3
1
(1x3)2d1x3
2(1x3)32 C. 3
例14
求
dx x2 a2 .
解x2d xa2(xa d )(xxa)21a(x 1ax 1a)dx
2 1 a(x 1adxx 1adx)
2 1 a [ x 1 a d (x a ) x 1 a d (x a ) ]
1(x2 1 )arctanx1x C .
2
2
u vd xu vu vd x“ 反对幂指三”前者为 u后者为 v.
例5 求 ln xdx.
解 设 u = lnx, dv = dx, 则 du1dx,vx, x
于是lnxdxx1nx
x1dx x
xlnx x C
u vd xu vu vd x“ 反对幂指三”前者为 u后者为 v.
d(x) a
a
1arctanxC.
a
a
1
1 u
2
du
arctan u C
d x 1 dx aa
例11 求
1 dx (a0).
a2x2
1 du 1 u2
arcsin u C
解 1 dx1 1 dx
a2x2
a 1(x)2
a
d x 1 dx aa
1
x
d( )
1( x)2 a
a
arcsin x C. a
xdx1d(x2), 1dxdlnx,
2
x
1 dxd(1),
x2
x
1 dx2d x, sixnd xdcox,sexdxdex,
x
等等，并善于根据这些微分公式，从被积表达式中 拼凑出合适的微分因子．
例10 求
1 a2 x2 dx.
解
dx a2x2
a12
1 dx
1(x)2
a
1 a
1
1(
x)2
g(x)dx化为 f[(x)](x)dx
的形式，所以，第一类换元积分法也称为凑微分法.
例1
求
2
1 x
1
dx.
解 u = 2x + 1, du=d(2x + 1) = 2dx, 则
想到公式
d u ln u C
u
2 x 1 1 d x 1 2 2 x 1 1 2 d x 1 2 2 x 1 1 d ( 2 x 1 )
u2duu3 C
3
c o s 2 x d c o s x d c o s x
1cos3xcosxC. 3
1
例8 求 ex ex dx.
解ex 1exdxe2e xx 1dx
1 1(ex)2
dex
arctanexC .
dex exdx
1
1 u2 du
arctan u C
一般地, 有
e xf(e x)d xf(e x)d e x .
即 把被积函数视为两个函数之积 , 按
“ 反对幂指三” 的顺序, 前者为 u后者为 v.
例3. 求 arccxdox.s
u vd xu vu vd x
解: 令 uarcxc,vo s1, 则
u 1 ,
1x2
v x
原式
=
xarcxcosx dx
1x2
xarc x c1 2o ( 1 sx 2 ) 1 2 d 1 x (2 )
例9 求
2
dx x ln
x
.
解
dx 2xlnx
2l1nxd(lnx)
1lnlnx C. 2
d ln x 1 dx x
u1dulnuC
一般地, 有
1 xf(lnx)d xf(lnx)dlnx.
第一类换元法在积分学中是经常使用的，不过 如何适当地选择变量代换，却没有一般的法则可 循．这种方法的特点是凑微分，要掌握这种方法，需 要熟记一些函数的微分公式，例如
例12
求
dx x(1 2ln
x)
.
d ln x 1 dx x
解
dx x(1lnx)
121lnxd(lnx)
u1dulnuC 1 212 1lnxd(2lnx1)
1ln12lnxC. 2
例13 求 3x2 1x3dx.
1
解3x2 1x3dx (1x3)23x2dx
u12du2u32 C
3
1
1(lnxalnxa)C 2 a
1 ln xa C. 2a xa
例15 求 sin2 xdx. 解 sin 2x d x 1 c 2 o s2 xd x
1 2(dxcos2xdx) 1 2dx1 2cos2xdx 1 2dx1 4cos2xd(2x)
1x1sin2xC. 24
例16. 求 secxdx.
例4 求 tanxdx.
d c o s x s in x d x
解tanxdxs cio n sx xdxco1sxsinxdx,
u1dulnuC
co1sxdcosx,
lncosxC.
类似 coxdtx?
cot
xdx
cos xdx sin x
d sin x sin x
lnsinxC
例5 求 sin2xcosxdx.
xdx
1x2ln x1x2C
2
4
例2 求积分 xcoxsd.x u vd xu vu vd x
分析：被积函数 xcosx 是幂函数与三角函数的乘积, 采用分部积分.
解（一） 令 u co x , sxdx1dx2dv 2
xcoxs dxx 22cox sx 22six ndx
显然，u,v选择不当，积分更难进行.
(1) 分项积分: 利用积化和差; 分式分项等; 1si2x nco 2x等 s
(2) 降低幂次: 利用倍角公式 , 如
c2 o x s 1 2 (1 c2 o x );ss2 ix n 1 2 (1 c2 o x );s
(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 凑微分法（陪元方法）
(4) 巧妙换元或配元。
d s in x c o sx d x
解sin2xcosxdxsinx2dsinx
1sin3 xC.
3
u2duu3 C 3
一般地, 有
s i n x f ( c o s x ) d x f ( c o s x ) d c o s x ;
c o s x f ( s i n x ) d x f ( s i n x ) d s i n x .
解（二） 令 ux, c x o d d s s x i d x n v
xcoxs dxxdsin xxsixn sixndx
x sx i c n x o C . s
分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择 u , v 一般来说， u , 选v 取的原则是：
(1) v要容易求出;
(2)vdu要 比 udv容易积出.
1
1
dx x
2t 1 t
dt
2t
t 111dt
2dxt11dt
2tln1tC .
2x ln1 x C .
例2 求
1 dx. 1ex
解 令 t1ex 则ex t21, x lt n 2 1 ,
dxt22t1d,t
1111t 11dt
lnt 1 lnt 1 C lnt 1 C t 1
例6 求 x2sinxdx.
u vd xu vu vd x
解：设 u = x 2, v sinx, 则 du = 2xdx, v = -cosx,
于是 x 2 s in x d x x 2 d ( c o s x ) x 2 c o sx 2 x c o sx d x
这种积分方法也叫做“凑微分法”。
定理1 设 f (u)具有原函数 F (u), u = (x) 连续
可导, 则有换元公式
f (( x ) ) ( x ) d x f ( u ) d u F (( x ) ) C .
如何应用上述公式来求不定积分?
假设要求 g(x)dx, 则使用此公式的关键在于将
2
对于形如 f((x))(x)dx的积分，设 u x,
如果 fu及(x)连续，且 f(u )d uF u+ C ,则
f(( x ) )( x ) d x F ( x ) C
该积分法可由下面的逆运算证明
F (( x ) ) C F ( x ) ( x ) f(( x ) ) ( x )
作业 P155 1 (1)--(18)
二、第二换元积分法
设 x t且 t 0,将积分 f xdx化为
f t dt,若
f ( t) d ( t) F t C
则
f( x ) d x F 1 x + C ,