含绝对值函数综合问题
一、含绝对值函数的最值
1、含一个绝对值的一次绝对值函数的最值、单调性、对称性
（1）()||f x x =的图像是以原点为顶点的“V ”字形图像；函数在顶点处取得最小值
“(0)0f =”，无最大值；在函数(,0],[0,)x ∈-∞↓+∞↑；对称轴为：0x =
（2）()||(0)f x kx b k =+≠图像是以(,0)b
k
-为顶点的“V ”字形图像；在顶点取得最小值：
“()0b f k -=”，无最大值；函数在(,],[,)b b x k k ∈-∞-↓-+∞↑；对称轴为：b x k
=-
（3）函数()||(0)f x k x b k =+≠：
0k >时，函数是以(,0)b -为顶点的“V ”字形图像；函数在顶点取得最小值：
“()0f b -=”，无最大值；函数在(,],[,)x b b ∈-∞-↓-+∞↑；对称轴为：x b =-
0k <时，是以(,0)b -为顶点的倒“V ”字形图像，函数在顶点取得最大值：
“()0f b -=”，无最小值；函数在(,],[,)x b b ∈-∞-↑-+∞↓；对称轴为：x b =- 2、含两个绝对值的一次绝对值函数的最值、单调性、对称性
（1）函数()||||()f x x m x n m n =-+-<的图像是以点(,),(,)A m n m B n n m --为折点的
“平底形”图像；在[,]x m n ∈上的每点，函数都取得最小值n m -，无最大值；函数
在(,],[,)x m x n ∈-∞↓∈+∞↑ ，在[,]x m n ∈无单调性；对称轴为2
m n
x +=。

（2）函数()||||f x x m x n =---：
当m n >时，()f x 是以点(,),(,)A m n m B n m n --为折点的“Z 字形”函数图像；在
(,]x n ∈-∞上的每点，函数都取得最大值m n -，在[,)x m ∈+∞上的每点，函数都取
得最小值n m -；函数在[,]x n m ∈↓，在(,]x n ∈-∞及[,)x m ∈+∞上无单调性；对称
中心为(,0)2
m n
+； 当n m >时，()f x 是以点(,),(,)A m m n B n n m --为折点的“反Z 字形”函数图像； 在(,]x m ∈-∞上的每点，函数都取得最小值m n -，在[,)x n ∈+∞上的每点，函数都
取得最大值n m -；函数在[,]x m n ∈↑，在(,]x n ∈-∞及[,)x m ∈+∞上无单调性；对 称中心为(
,0)2
m n
+； （3）()||||()f x a x m b x n m n =-+-<图像是以(,()),(,())A m f m B n f n 为折点的折线。

当0a b +>时，两端向上无限延伸，故最小值，最小值为min{(),()}f m f n ； 当0a b +<时，两端向下无限延伸，故最大值，最大值为{(),()}Max f m f n ； 当0a b +=时，两端无限延伸且平行x 轴，故既有最大值又有最小值，最大值为
{(),()}Max f m f n ；最小值为min{(),()}f m f n 。

3、含多个绝对值的一次函数的最值、单调性 函数1212()||||||(,,,)n i n f x x a x a x a a R i n N a a a *=-+-+
+-∈∈<<
<设
（1）若21()n k k N *
=-∈，则()f x 的图像是以(,())k k a f a 为顶点的“V ”字形图像
（a ）当且仅当k x a =时，min 1211221[()]|()()|k k k k f x a a a a a a -++-=+++-+++
(b ) 函数()f x 在(,],[,)k k a a -∞↓+∞↑，若{}i a 为等差数列，则图像关于k x a =对称
（2）若2()n k k N *
=∈，则()f x 的图像是以点11(,()),(,())k k k k A a f a B a f a ++为折点的“平
底形”图像
（a ）当且仅当1[,]k k x a a +∈，min 12122[()]|()()|k k k k f x a a a a a a ++=++
+-+++
(b ) 函数()f x 在1(,],[,)k k a a +-∞↓+∞↑，在1[,]k k x a a +∈无单调性。

若{}i a 为等差数列，
则图像关于1
2
k k a a x ++=
对称 这一结论从一次绝对值函数图像上了不难看出，当1x a < 及 n x a >时，图像是分别向左、右两边向上无限伸展的两条射线，中间各段在区间1[,](1,2,
1)i i a a i n +=- 上
均为线段．它们首尾相连形成折线形，在中间点或中间段处最低，此时函数有最小值． 证明：当21()n k k N *
=-∈时，1221()||||||k f x x a x a x a -=-+-+
+-，
1221k a a a -<<<设由绝对值不等式性质得：
121121211|||||()()|k k k x a x a x a x a a a ----+-≥---=-，当且仅当121[,]k x a a -∈时取“=” 222222222|||||()()|k k k x a x a x a x a a a ----+-≥---=-，当且仅当222[,]k x a a -∈时取“=”
1111||||k k k k x a x a a a -++--+-≥-，当且仅当11[,]k k x a a -+∈时取“=”； ||0k x a -≥，当且仅当k x a =时取“=”；
注意到：1122121[,][,][,]k k k k k k a a a a a a a -+-+-∈⊆⊆
⊆，从而当且仅当k x a =时，上述个式
同时取等号，于是21122211()()()()()k k k k k f x f a a a a a a a --+-≥=-+-+
+-
1211221|()()|k k k k a a a a a a -++-=+++-+++；
当2()n k k N *
=∈时，122()||||||k f x x a x a x a =-+-+
+-，122k a a a <<
<设
由绝对值不等式性质得：
121221|||||()()|k k k x a x a x a x a a a -+-≥---=-，当且仅当12[,]k x a a ∈，时取“=” 221221212|||||()()|k k k x a x a x a x a a a ----+-≥---=-，当且仅当221[,]k x a a -∈，时取“=”
11||||k k k k x a x a a a ++-+-≥-，当且仅当1[,]k k x a a +∈，时取“=”；
注意到：11212[,][,][,]k k k k k a a a a a a +-+⊆⊆⊆，从而当且仅当1[,]k k x a a +∈时，上述各式同时取等号，于是12122()|()()|k k k k f x a a a a a a ++≥+++-++
+
例题：
1、已知函数()||f x a x b =-在(,1)x ∈-∞↑，求实数,a b 的范围。

2、已知函数()|||1|f x x a x =++-；（1）若()f x 在(2,)x ∈∞上为增函数，求实数a 的范围。

（2）若函数()f x 图像关于2x =对称，求实数a 。

3、已知函数()|(21)||1|f x x a x a =---+-；（1）若()f x 在(1,3]x ∈-上存在反函数，求实数a 的范围。

（2）若()f x 在(1,3]x ∈-上为增函数，求实数a 的范围。

（3）若()f x 的图像关于3
(,0)2
对称，求实数a
4、已知函数()|1||1|f x x x =-++，若2
2
(23)(23)f a a f a a -+>++，求实数a 的范围
5、已知函数a x x x x f -+-++=11)(；
（1）若()f x 的图像关于垂直于x 轴的直线对称，求a 的取值集合。

（2）若()f x 在(2,)x ∈∞上为增函数，求实数a 的范围。

6、设函数()|1||2||2011||1||2|+|2011|f x x x x x x x =++++
+++-+-+-
()x R ∈，且2(32)(1)f a a f a -+=-，求所有互异整数a 的值的和。