记住永远要信自己初一数学上册学习资料第三讲 绝对值绝对值是有理数中非常重要的组成部分，它其中相关的基本思想及数学方法是初中数学学习的基石，希望同学们通过学习、巩固对绝对值的相关知识能够掌握要领。

绝对值的定义及性质绝对值 简单的绝对值方程化简绝对值式，分类讨论（零点分段法）绝对值几何意义的使用绝对值的定义：绝对值的性质：（1） 绝对值的非负性，可以用下式表示（2） |a|=（3） 若|a|=a ，则 ；若|a|=-a ，则 ；任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，（4） 若|a|=|b|，则（5） |ab|= ；|b a|= （b ≠0）；（6） |a|2= = ；（7） |a+b| |a|+|b| |a-b| ||a|-|b|| |a|+|b| |a+b||a|+|b||a-b|[例1]（1） 绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？（2） 若ab<|ab|，则下列结论正确的是（ ）A.a ＜0，b ＜0B.a ＞0，b ＜0C.a ＜0，b ＞0D.ab ＜0（3） 下列各组判断中，正确的是（ ）A ．若|a|=b ，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a ＞bC. 若|a|＞b ，则一定有|a|＞|b|D.若|a|=b ，则一定有a 2=(-b) 2（4） 设a ，b 是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？[巩固] 绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？[巩固] 有理数a 与b 满足|a|>|b|，则下面哪个答案正确（ ）A.a ＞bB.a=bC.a<bD.无法确定[巩固] 若|x-3|=3-x ，则x 的取值范围是____________[巩固] 若a ＞b ，且|a|<|b|，则下面判断正确的是（ ）A.a ＜0B.a ＞0C.b ＜0D.b ＞0[巩固] 设a ，b 是有理数，则-8-|a-b|是有最大值还是最小值？其值是多少？[例2]（1）（竞赛题）若3|x-2|+|y+3|=0，则x y 的值是多少？ （2）若|x+3|+(y-1)2=0，求n xy )4(--的值 小知识点汇总：若(x-a)2+(x-b)2=0,则 ；若|x-a|+(x-b)2=0,则 ；若|x-a|+|x-b|=0，则 ；【例3】（1） 已知x 是有理数，且|x|=|-4|，那么x=＿＿＿＿（2） 已知x 是有理数，且-|x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿（3） 已知x 是有理数，且-|-x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿（4） 如果x ，y 表示有理数，且x ，y 满足条件|x|=5，|y|=2，|x-y|=y-x ，那么x+y的值是多少？【巩固】巩固|x|=4，|y|=6，求代数式|x+y|的值【例4】 解方程：（1）05|5|23=-+x （2）|4x+8|=12 （3）|3x+2|=-1（4）已知|x-1|=2，|y|=3，且x 与y 互为相反数，求y xy x 4312--的值【例5】 若已知a 与b 互为相反数，且|a-b|=4，求12+++-ab a b ab a 的值【例6】（1） 已知a=-21，b=-31，求||32|34|2|2|4)2(|42|2--+-+-++a b b a b a b a 的值（2） 若|a|=b ，求|a+b|的值（3） 化简：|a-b|【巩固】 化简：（1）|3.14-π| （2）|8-x|（x ≥8）【例7】有理数a ，b ，c 在数轴上对应点如图所示，化简|b+a|+|a+c|+|c-b|【巩固】已知a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|【巩固】数a ，b 在数轴上对应的点如图所示，是化简|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a||C B 0 A【例8】（1）若a<-b 且0>b a ，化简|a|-|b|+|a+b|+|ab|（2）若-2≤a ≤0，化简|a+2|+|a-2|（3）已知x<0<z,xy>0,|y|>|z|>|x|,求|x+z|+|y+z|-|x-y|的值【巩固】如果0<m<10并且m ≤x ≤10，化简|x-m|+|x-10|+|x-m-10|【例9】（1）已知x<-3,化简|3+|2-|1+x|||（2）若a<0，试化简||3|||3|2a a a a --【例10】若abc ≠0，则||||||c c b b a a ++的所有可能值【巩固】有理数a ，b ，c ，d ，满足1||-=abcd abcd ，求dd c c b b a a ||||||||+++的值【例11】化简|x+5|+|2x-3|【巩固】化简：|2x-1|【例12】求|m|+|m-1+|m-2|的值|a|的几何意义：|a-b|的几何意义：【例13】求|x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|的最小值【小学奥数相关题目】如图，在接到上有A 、B 、C 、D 、E 五栋居民楼，现在设立一个邮筒，为使五栋楼的居民到邮筒的就努力之和最短，邮局应立于何处？题后小结论：求|x-a 1|+|x-a 2|+…+|x-a n |的最小值：【巩固】探究|a|与|a-b|的几何意义【巩固】设a 1、a 2、a 3、a 4、a 5为五个有理数，满足a 1< a 2< a 3< a 4< a 5,求|x- a 1|+|x- a 2|+|x-a 3|+|x- a 4|+|x- a 5|的最小值【例14】设a<b<c<d,求y=|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|的最小值，并求出此时x 的取值【例1】 若|a|=1，|b|=2，|c|=3，且a>b>c,那么a+b-c=＿＿＿＿＿＿【例2】 已知(a+b)2+|b+5|=b+5,且|2a-b-1|=0，那么ab=＿＿＿＿＿＿【例3】 对于|m-1|，下列结论正确的是（ ） A B C D EA.|m-1|≥|m|B.|m-1|≤|m|C. |m-1|≥|m|-1D. |m-1|≤|m|-1【例4】 设a ，b ，c 为实数，且|a|+a=0，|ab|=ab ，|c|-c=0，化简|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|【例5】 化简：||x-1|-2|+|x+1|【例6】 已知有理数a ，b ，c 满足1||||||=++c c b b a a ，求abc abc ||的值【例7】 若a ，b ，c ，d 为互不相等的有理数，且|a-c|=|b-c|=|d-b|=1，求|a-d|1、|m+3 |+|n-2|+|2p-1|=0,求p+2m+3n 的值2、（1）已知|x|=2，|y|=3且x-y>0，则x+y 的值为多少？（2）解方程：|4x-5|=83、（1）有理数a ，b ，c 在数轴上对应点如图所示，化简|a-b|-|a+b|+|b-c|-|c|（2）若a ＜b ，求|b-a+1|-|a-b-5|的值（3）若a ＜0，化简|a-|-a||4、已知a 是非零有理数，求||||||3322a a a a a a ++的值5、化简|x-1|-|x-3|6、设a ＜b ＜c ，求当x 取何值时|x-a|+|x-b|+|x-c|的最小值1、甲‚乙‚丙三地的海拔高度为20米,-15米,-10米,那么最高的地方比最低的地方高( )A ．5米B ．10米C ．25米D ．35米2、－2的相反数是 （ ）A ．2B ．－2C ．21-D ．21 3、 下列说法不正确的是（ ）（1）有理数的绝对值一定是正数（2）数轴上的两个有理数，绝对值大的离原点远（3）一个有理数的绝对值一定不是负数（4）两个互为相反数的绝对值相等4、已知a 为有理数，下列式子一定正确的是 （ ）A ．︱a ︱＝aB ．︱a ︱≥aC ．︱a ︱＝－aD ． 2a ＞05、绝对值最小的数是 （ ）A ．1B ．－1C ．0D ．没有6、关于数0，下列几种说法不正确的是 （ ）A ．0既不是正数，也不是负数B ．0的相反数是0C ．0的绝对值是0D ．0是最小的数7、1|()|2---＝ ，[(2)]---＝ ．8、−3 −3.01 −︱−7︱ −(−7)9、若 a a =，则a 0， 5−|a −b|的最大值是 ．10、设a 是最小的自然数， b 是最大的负整数。

c 是绝对值最小的有理数， 则a b c ++的值为（ ）。

A -1B 0C 1D 211、下列说法正确的是 （ ）。

A 自然数就是非负整数B 一个数不是正数，就是负数C 整数就是自然数D 正数和负数统称有理数12、357,,468---的大小顺序是（ ）。

A 753864-<-<- B 735846-<-<-， C 573684-<-<- D 357468-<-<- 13、M 点在数轴上表示4-，N 点离M 的距离是3，那么N 点表示（ ）。

A 1-B 7-C 1-或7-D 1-或114、绝对值小于3.99的整数有（ ）个。

A 5B 6C 7D 815、相反数是它本身的数是 ；绝对值是它本身的数是 。

16、绝对值大于1而小于4的整数有 个；17、在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“ ＜ ”把这些数连结起来。

（6分）3．5 ，－3.5 ，0 ， 2 ，－2 ，－31 ， 0.518、若a+b=0，则a,b 的关系是19、x =y ，那么x 和y 的关系20、已知有理数a ，b 在数轴上的位置如图所示，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是 。

（用“>”连结）20、若零件的长度比标准多0.1cm 记作0.1cm ，那么—0.05cm 表示____________.21、大于-412且小于114的整数有 。

22、下列说法正确的是（ ）A 整数就是正整数和负整数B 负整数的相反数就是非负整数C 有理数中不是负数就是正数D 零是自然数，但不是正整数23、在－5，－101，－3.5，－0.01，－2，－212各数中，最大的数是（ ） A －12 B －101C －0.01D －524、比－7.1大，而比1小的整数的个数是（ ）A 6B 7C 8D 925、a,b 是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如下图所示：把a,-a,b,-b 按照从小到大的顺序排列 ( )A -b ＜-a ＜a ＜bB -a ＜-b ＜a ＜bC -b ＜a ＜-a ＜bD -b ＜b ＜-a ＜a绝对值试题【基础平台】1．______7.3=-；______0=；______3.3=--；______75.0=+-．2．______31=+；______45=--；______32=-+． 3．______510=-+-；______36=-÷-；______5.55.6=---．4．______的相反数是它本身，_____的绝对值是它本身，_______的绝对值是它的相反数．5．一个数的绝对值是32，那么这个数为______． 6．当a a -=时，0______a ；当0>a 时，______=a ．7．绝对值等于4的数是______．8．绝对值等于其相反数的数一定是…………………………………………………（ ）A ．负数B ．正数C ．负数或零D ．正数或零【自主检测】1．______5=-；______312=-；______31.2=-；______=+π．2．523-的绝对值是______；绝对值等于523的数是______，它们互为________． 3．在数轴上，绝对值为4，且在原点左边的点表示的有理数为________．4．如果3-=a ，则______=-a ，______=a ．5．下列说法中正确的是………………………………………………………………（ ）A ．a -一定是负数B ．只有两个数相等时它们的绝对值才相等C ．若b a =则a 与b 互为相反数D ．若一个数小于它的绝对值，则这个数是负数6．给出下列说法：①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于本身的数只有正数；③不相等的两个数绝对值不相等；④绝对值相等的两数一定相等．其中正确的有………………………………………………………………………（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7．如果a a 22-=-，则a 的取值范围是 …………………………………………（ ）A ．a ＞OB ．a ≥OC ．a ≤OD ．a ＜O 8．在数轴上表示下列各数： (1)212-； (2)0； (3)绝对值是2.5的负数； (4)绝对值是3的正数．9． 某企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求，净含量(不含包装)可以有0.002L 误差．现抽查6瓶食用调和油，超过规定净含量的升数记作正数，不足规定净含量的升数记作负请用绝对值知识说明：(1)哪几瓶是合乎要求的(即在误差范围内的)?(2)哪一瓶净含量最接近规定的净含量?【拓展平台】1．7=x ，则______=x ； 7=-x ，则______=x ．2．如果3>a ，则______3=-a ，______3=-a ．3．绝对值不大于11.1的整数有……………………………………………………（ ）A ．11个B ．12个C ．22个D ．23个4．计算：(1) 7.27.27.2---+ (2) 13616--++-(3) 5327-⨯-÷-(4) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+÷+-32922121 1.理解绝对值的意义.2.会根据绝对值的大小，判断两个数的大小.一、课前导学：在给出的数轴上，标出以下各数及它们的相反数.－1，2，0， ，－4观察以上各数在数轴上的位置，回答：距原点一个单位长度的数是_______________距原点2个单位长度的数是____________和__________距原点 个单位长度.________和________距原点4个单位长度距原点最近的是__________.像1，2， ，4，0分别是±1，±2，± ，±4，0的绝对值.在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫该数的绝对值.如：+2的绝对值是2，记作|+2|=2－2的绝对值是2，记作|－2|=2因此绝对值是2的数有_____个，它们是_____，绝对值是 的数有_____个，它们是_____，那么0的绝对值记作| |=_____，－100的绝对值是_____，记作| |=_____. 思考：一个数的绝对值能是负数吗？二、基础训练：一、填空题1.一个数a 与原点的距离叫做该数的_______.2.－|－ |=_______，－（－ ）=_______，－|+ |=_______，－（+ ）=_______，+|－（ ）|=_______，+（－ ）=_______.3._______的倒数是它本身，_______的绝对值是它本身.4.a +b =0,则a 与b _______.5.若|x |= ，则x 的相反数是_______.6.若|m －1|=m －1,则m _______1.若|m －1|>m －1,则m _______1.若|x |=|－4|,则x =_______.若|－x |=| |,则x =_______.二、选择题1.|x|=2,则这个数是（）A.2B.2和－2C.－2D.以上都错2.| a|=－a，则a一定是（）A.负数B.正数C.非正数D.非负数3.一个数在数轴上对应点到原点的距离为m，则这个数为（）A.－mB.mC.±mD.2m4.如果一个数的绝对值等于这个数的相反数，那么这个数是（）A.正数B.负数C.正数、零D.负数、零5.下列说法中，正确的是（）A.一个有理数的绝对值不小于它自身B.若两个有理数的绝对值相等，则这两个数相等C.若两个有理数的绝对值相等，则这两个数互为相反数D.－a的绝对值等于a三、判断题1.若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等. （）2.若两个数相等，则这两个数的绝对值也相等. （）3.若x<y<0,则|x|<|y|.（）四、解答题1.若|x－2|+|y+3|+|z－5|=0计算:（1）x,y,z的值.（2）求|x|+|y|+|z|的值.2.若2<a<4,化简|2－a|+|a－4|.3.（1）若 =1,求x. （2）若 =－1,求x.三、能力提升：一、填空题1.互为相反数的两个数的绝对值_____.2.一个数的绝对值越小，则该数在数轴上所对应的点，离原点越_____.3.－的绝对值是_____.4.绝对值最小的数是_____.5.绝对值等于5的数是_____，它们互为_____.6.若b＜0且a=|b|，则a与b的关系是______.7.一个数大于另一个数的绝对值，则这两个数的和一定_____0（填“＞”或“＜”）.8.如果|a|＞a，那么a是_____.9.绝对值大于2.5小于7.2的所有负整数为_____.10.将下列各数由小到大排列顺序是_____.－，，|－ |，0，|－5.1|11.如果－|a|=|a|，那么a=_____.12.已知|a|+|b|+|c|=0，则a=_____，b=_____，c=_____.13.比较大小（填写“＞”或“＜”号）（1）－ _____|－ | （2）|－ |_____0（3）|－ |_____|－ | （4）－ _____－14.计算（1）|－2|×(－2)=_____ （2）|－|×5.2=_____（3）|－ |－ =_____ （4）－3－|－5.3|=_____二、选择题15.任何一个有理数的绝对值一定（）A.大于0B.小于0C.不大于0 D.不小于016.若a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，则a+b一定是（）A.正数B.负数C.非负数 D.非正数17.下列说法正确的是（）A.一个有理数的绝对值一定大于它本身B.只有正数的绝对值等于它本身C.负数的绝对值是它的相反数D.一个数的绝对值是它的相反数，则这个数一定是负数18.下列结论正确的是（）A.若|x|=|y|，则x=－yB.若x=－y，则|x|=|y|C.若|a|＜|b|，则a＜bD.若a＜b，则|a|＜|b|三、解答题19.“南辕北辙” 这个成语讲的是我国古代某人要去南方，却向北走了起来，有人预言他无法到达目的地，他却说：“我的马很快，车的质量也很好”，请问他能到达目的地吗？“马很快，车质量好”会出现什么结果，用绝对值的知识加以说明.20.某班举办“迎七一”知识竞赛，规定答对一题得10分，不答得0分，答错一题扣10分，今有甲、乙、丙、丁四名同学所得分数，分别为+50，+20，0，－30，请问哪个同学分数最高，哪个最低，为什么？最高分高出最低分多少？21.把－3.5、|－2|、－1.5、|0|、3 、|－3.5|记在数轴上，并按从小到大的顺序排列出来.相反数与绝对值专项练习练习一（A级）一、选择题：(1)a的相反数是( )(A)-a (B)1a(C)-1a(D)a-1(2)一个数的相反数小于原数，这个数是( )(A)正数 (B)负数 (C)零 (D)正分数(3)一个数在数轴上所对应的点向右移到5个单位长度后，得到它的相反数的对应点，则这个数是( )(A)-2 (B)2 (C)52(D)-52(4)一个数在数轴上的对应点与它的相反数在数轴上的对应点的距离为12单位长，则这个数是( )(A)12或-12(B)14或-14(C)12或-14(D)-12或14二、填空题(1)一个数的倒数是它本身，这个数是________；一个数的相反数是它本身，这个数是__________；(2)-5的相反数是______，-3的倒数的相反数是____________ 。