(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．等比数列{a n }的公比q ＝－1
4，a 1＝2，则数列{a n }是( )
A ．递增数列
B ．递减数列
C ．常数数列
D ．摆动数列
2．若互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，a 是b ，c 的等比中项，且a ＋3b ＋c ＝10，则a 的值是( )
A ．1
B ．－1
C ．－3
D ．－4
3．等差数列{a n }中，a 3＝2，a 5＝7，则a 7＝( ) A ．10 B ．20 C ．16
D ．12
4．已知等比数列的各项都为正数，且当n ≥3时，a 4a 2n －4＝102n ，则数列lg a 1,2lg a 2,22lg a 3,23lg a 4，…，2n －
1lg a n ，…的前n 项和S n 等于( )
A ．n ·2n
B ．(n －1)·2n －
1－1 C ．(n －1)·2n ＋1
D ．2n ＋1
5．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5＝( ) A ．3∶4 B ．2∶3 C ．1∶2
D ．1∶3
6．数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝1，a n ＋2＝⎝⎛⎭⎫1＋sin 2n π2a n ＋4cos 2n π
2，则a 9，a 10的大小关系为( ) A ．a 9>a 10 B ．a 9＝a 10
C ．a 9<a 10
D ．大小关系不确定
7．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2a n ，n 为正奇数，
a n ＋1，n 为正偶数，则254是该数列的( )
A ．第8项
B ．第10项
C ．第12项
D ．第14项
8．数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1＝a 1＋a n ＋n (n ∈N *)，则1a 1＋1a 2＋…＋1
a 2 019＝( )
A.4 038
2 020 B.4 0362 019 C.4 0322 017
D.4 0342 018
9．如果数列a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1、公比为1
3的等比数列，那么a n
＝( )
A.3
2⎝⎛⎭⎫1－13n B.3
2⎝⎛⎭⎫1－13n －1 C.2
3⎝⎛⎭
⎫1－13n D.2
3⎝⎛⎭
⎫1－13n －1 10．等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( ) A ．－24 B ．－3 C ．3
D ．8
11．数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，并且a n ·a n －1a n －1－a n ＝a n ·a n ＋1
a n －a n ＋1(n ≥2)，则数列{a n }的第100项为( )
A.12100
B.1
250 C.1100
D.150
12．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝
1
(n ＋1)n ＋n n ＋1
(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，则在数列S 1，
S 2，…，S 2 018中，有理数项的项数为( )
A ．42
B ．43
C ．44
D ．45
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *.若a 3＝16，S 20＝20，则S 10的值为________． 14．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2 018－3n ，则使a n >0成立的最大正整数n 的值为________． 15．一件家用电器，现价2 000元，实行分期付款，一年后还清，购买后一个月第一次付款，以后每月付款一次，每次付款数相同，共付12次，月利率为0.8%，并按复利计息，那么每期应付款________元(参考数据：1.00811≈1.092,1.00812≈1.100,1.0811≈2.332, 1.0812≈2.518)．
16．若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则
a 2
b 2
＝________. 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知函数f (x )＝3x
x ＋3
，数列{x n }的通项由x n ＝f (x n －1)(n ≥2且x ∈N *)确定．
(1)求证：⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
1x n 是等差数列；
(2)当x 1＝1
2时，求x 2 018.
18．(12分)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；
(2)记S n 为{a n }的前n 项和，若S m ＝63，求m .
19．(12分)张先生2018年年底购买了一辆1.6 L 排量的小轿车，为积极响应政府发展森林碳汇(指森林植物吸收大气中的二氧化碳并将其固定在植被或土壤中)的号召，买车的同时出资1万元向中国绿色碳汇基金会购买了2亩荒山用于植树造林．科学研究表明：轿车每行驶3 000公里就要排放1吨二氧化碳，林木每生长1立方米，平均可吸收1.8吨二氧化碳．
(1)张先生估计第一年(即2019年)会用车1.2万公里，以后逐年会增加1 000公里，则该轿车使用10年共要排放二氧化碳多少吨？
(2)若种植的林木第一年(即2019年)生长了1立方米，以后每年以10%的生长速度递增，问林木至少生长多少年，吸收的二氧化碳的量超过轿车10年排出的二氧化碳的量(参考数据：1.114≈3.797 5,1.115≈4.177 2，1.116≈4.595 0)?
20．(12分)在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和(n ∈N *)，且a 2＝3，S 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1
a n a n ＋1
，求数列{b n }的前n 项和T n .
21．(12分)已知等比数列{a n}的公比q>1，且a3＋a4＋a5＝28，a4＋2是a3，a5的等差中项．数列{b n}满足b1＝1，数列{(b n＋1－b n)a n}的前n项和为2n2＋n.
(1)求q的值；
(2)求数列{b n}的通项公式．
22．(12分)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S10＝55，S20＝210.
(1)求数列{a n}的通项公式．
(2)设b n＝
a n
a n＋1
，是否存在m，k(k>m≥2，m，k∈N*)使得b1，b m，b k成等比数列？若存在，请说
明理由．。