又∵y=x 2-x+m=[x 2-x+(12)2]- 14+m=(x -12
)2+414m -
∴对称轴是直线x=12,顶点坐标为(12
,41
4m -).
(2)∵顶点在x 轴上方, ∴顶点的纵坐标大于0,即41
4
m ->0 ∴m>
14 ∴m>1
4
时,顶点在x 轴上方.
(3)令x=0,则y=m .
即抛物线y=x 2-x+m 与y 轴交点的坐标是A (0,m ). ∵AB ∥x 轴
∴B 点的纵坐标为m .
当x 2-x+m=m 时,解得x 1=0,x 2=1. ∴A (0,m ),B (1,m )
在Rt △BAO 中,AB=1,OA=│m │. ∵S △AOB =1
2
OA ·AB=4. ∴
1
2
│m │·1=4,∴m=±8 故所求二次函数的解析式为y=x 2-x+8或y=x 2-x -8.
【点评】正确理解并掌握二次函数中常数a ,b ,c 的符号与函数性质及位置的关系是解答本题的关键之处.
例2 已知:m ,n 是方程x 2-6x+5=0的两个实数根,且m<n ,抛物线y=-x 2+bx+c 的图像经过点A (m ,0),B (0,n ),如图所示. (1)求这个抛物线的解析式;
(2)设(1)中的抛物线与x 轴的另一交点为C ,抛物线的顶点
为D,试求出点C,D的坐标和△BCD的面积;
(3)P是线段OC上的一点,过点P作PH⊥x轴,与抛物线交于H点,若直线BC把△PCH 分成面积之比为2:3的两部分,请求出P点的坐标.
【分析】(1)解方程求出m,n的值.用待定系数法求出b,c的值.
(2)过D作x轴的垂线交x轴于点M,可求出△DMC,梯形BDBO,△BOC的面积,用割补法可求出△BCD的面积.
(3)PH与BC的交点设为E点,则点E有两种可能:①EH=3
2EP,②EH=2
3
EP.
【解答】(1)解方程x2-6x+5=0,
得x1=5,x2=1.
由m<n,有m=1,n=5.
所以点A,B的坐标分别为A(1,0),B(0,5).将A(1,0),B(0,5)的坐标分别代入y=-x2+bx+c,
得
10,
5
b c
c
-++=
⎧
⎨
=
⎩
解这个方程组,得
4,
5
b
c
=-
⎧
⎨
=
⎩
所以抛物线的解析式为y=-x2-4x+5.
(2)由y=-x2-4x+5,令y=0,得-x2-4x+5=0.
解这个方程,得x1=-5,x2=1.
所以点C的坐标为(-5,0),由顶点坐标公式计算,得点D(-2,9).过D作x轴的垂线交x轴于M,如图所示.
则S△DMC=1
2×9×(5-2)=27
2
.
S梯形MDBO=1
2
×2×(9+5)=14,
S△BDC =1
2×5×5=25
2
.
并不难解决.
课堂习题
一、填空题
1.右图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图
像,观察图像写出y2≥y1时,x的取值围_______.
2.已知抛物线y=a2+bx+c经过点A(-2,7),B(6,7),
C(3,-8),则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是_______.
3.已知二次函数y=-x2+2x+c2的对称轴和x轴相交于点(m,0),则m的值为______.4.若二次函数y=x2-4x+c的图像与x轴只有1个交点,则c=_______
5.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(1,2)与(-1,4),则a+c的值是______.6.甲,乙两人进行羽毛球比赛,甲发出一十分关键的球,出手点为P,羽毛球飞行的水平
距离s(m)与其距地面高度h(m)之间的关系式为h=-1
12s2+2
3
s+3
2
.如下左图
所示,已知球网AB距原点5m,乙(用线段CD表示)扣球的最大高度为9
4
m,设乙的起跳点C的横坐标为m,若乙原地起跳,因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败,则m的取值围是______.
7.二次函数y=x2-2x-3与x轴两交点之间的距离为______.
8.市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高,房子的价格y(元/m2)随楼层数x(楼)的变化而变化(x=1,2,3,4,5,6,7,8),已知点(x,y)都在一个二次函数的
图像上(如上右图),则6楼房子的价格为_____元/m2.
二、选择题
9.二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示,•则下列关系式不正确的是()A.a<0 B.abc>0 C.a+b+c<0 D.b2-4ac>0
(第9题) (第12题) (第15题)
10.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像过点A(1,2),B(3,2),C(5,7).若点M(-2,y1),N(-1,y2),K(8,y3)也在二次函数y=ax2+bx+c的图像上,则下列结论中正确的是()
A.y1<y2<y3B.y2<y1<y3C.y3<y1<y2D.y1<y3<y2
11.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是x=2,且经过点P(3,0),则a+b+c的值为()
A.-1 B.0 C.1 D.2
12.如图所示,抛物线的函数表达式是()
A.y=x2-x+2 B.y=-x2-x+2 C.y=x2+x+2 D.y=-x2+x+2 13.抛物线y=-2x2-4x-5经过平移得到y=-2x2,平移方法是()A.向左平移1个单位,再向下平移3个单位
B.向左平移1个单位,再向上平移3个单位
C.向右平移1个单位,再向下平移3个单位
D.向右平移1个单位,再向上平移3个单位
14.已知二次函数y=x2+bx+3,当x=-1时,y取得最小值,则这个二次函数图像的顶点在()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
15.抛物线y=ax2+2ax+a2+2的一部分图像如图所示,那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是()
,0)B.(1,0)C.(2,0)D.(3,0)A.(1
2
16.在同一直角坐标系中,函数y=mx+m和y=-mx2+2x+2(m是常数,且m≠0)的图像可能是()
三、解答题
17.如图所示,已知抛物线y=ax2+4ax+t(a>0)交x轴A,B两点,交y轴于点C,抛物线的对称轴交x轴于点E,点B的坐标为(-1,0)
(1)求抛物线的对称轴及点A的坐标;
(2)过点C作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点P,你能
判断四边形ABCP是什么四边形?并证明你的结论;
18.如图所示,m,n是方程x2-6x+5=0的两个实数根,且m<n,•抛物线y=-x2+bx+c 的图像经过点A(m,0),B(0,n).
(1)求这个抛物线的解析式;
(2)设(1)中抛物线与x轴的另一交点为C,抛物线
的顶点为D,试求出点C,D的坐标和△BCD的面积;
(3)P是线段OC上的一点,过点P作PH⊥x轴,与抛物线交于点H,若直线BC把△PCH分成面积之比为2:3的两部分,请求出点P的坐标.
19.某地计划开凿一条单向行驶(从正过)的隧道,•其截面是抛物线拱形ACB,而且能通过最宽3m,最高3.5m的厢式货车.按规定,•机动车通过隧道时车身距隧道壁的水平距离和铅直距离最小都是0.5m.为设计这条能使上述厢式货车恰好完全通过的隧道,在图纸上以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立如图所示的直角坐标系,求抛物线拱形的表达式,隧道的跨度AB和拱高OC.
20.已知一个二次函数的图像过如图所示三点.
(1)求抛物线的对称轴;
,抛物线与(2)平行于x轴的直线L的解析式为y=25
4
(3)x轴交于A,B两点.在抛物线的对称轴上找点P,(4)使BP的长等于直线L与x轴间的距离.求点P的坐标.
21.如图所示,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x•轴交于A,B两点,其中A点坐标为(-1,0),点C(0,5),D(1,8)在抛物线上,M为抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式;(2)求△MCB的面积.。