二次函数知识点总结及典型例题讲解一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。

)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。

3、二次函数图像的画法 五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。

将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。

由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。

如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。

二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，（3）当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。

如果没有交点，则不能这样表示。

三、二次函数的性质1、二次函数的性质2、二次函数)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，中，c b 、、a 的含义：a 表示开口方向：a >0时，抛物线开口向上a <0时，抛物线开口向下b 与对称轴有关：对称轴为x=ab 2-c 表示抛物线与y 轴的交点坐标：（0，c ）3、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点坐标。

因此一元二次方程中的ac 4b 2-=∆，在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点。

当∆>0时，图像与x 轴有两个交点； 当∆=0时，图像与x 轴有一个交点；当∆<0时，图像与x 轴没有交点。

补充：1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法） 如图：点A 坐标为（x 1，y 1）点B 坐标为（x 2，y 2） 则AB 间的距离，即线段AB 的长度为()()221221y y x x -+-2、函数平移规律（中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）左加右减、上加下减 四、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当abx 2-=时，ab ac y 442-=最值。

如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看ab2-是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=ab2-时，a b ac y 442-=最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222最小。

典型例题1. 已知函数()()()()22113513x x y x x ⎧--⎪=⎨--⎪⎩≤＞，则使y=k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】D2. 如图为抛物线2y ax bx c =++的图像，A 、B 、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA =OC =1，则下列关系中正确的是A ．a ＋b =－1B ． a －b =－1C ． b <2aD ． ac <0【答案】B3.二次函数2y ax bx c=++的图象如图所示，则反比例函数a yx=与一次函数y bx c=+在同一坐标系中的大致图象是（）.【答案】D4. 如图，已知二次函数cbxxy++=2的图象经过点（－1，0），（1，－2），当y随x的增大而增大时，x的取值范围是．【答案】12x>5.在平面直角坐标系中，将抛物线223y x x=++绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式（）．A．2(1)2y x=-++B．2(1)4y x=--+C．2(1)2y x=--+D．2(1)4y x=-++【答案】B6.已知二次函数cbxaxy++=2的图像如图，其对称轴1-=x，给出下列结果①acb42>②0>abc③02=+ba④0>++cba⑤0<+-cba，则正确的结论是（）A ①②③④B ②④⑤C ②③④D ①④⑤【答案】D7．抛物线2y ax bx c=++上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x …－2 －1 0 1 2 …y …0 4 6 6 4 …从上表可知，下列说法中正确的是．（填写序号）①抛物线与x轴的一个交点为（3,0）；②函数2y ax bx c=++的最大值为6；③抛物线的对称轴是12x=；④在对称轴左侧，y随x增大而增大．【答案】①③④8. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（－2，4），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，xyO11（1,-2）cbxxy++=2-1连结OA ．(1)求△OAB 的面积；(2)若抛物线22y x x c =--+经过点A ． ①求c 的值；②将抛物线向下平移m 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB 的内部（不包括△OA B 的边界），求m 的取值范围（直接写出答案即可）．解：(1) ∵点A 的坐标是（－2，4），AB ⊥y 轴，∴AB =2，OB ＝4，∴1124422OAB S AB OB ∆=⨯⨯=⨯⨯= (2)①把点A 的坐标（－2，4）代入22y x x c =--+，得2(2)2(2)4c ---⨯-+=，∴c ＝4 ②∵2224(1)4y x x x =--+=-++，∴抛物线顶点D 的坐标是(－1，5)，AB 的中点E 的坐标是（－1，4），OA 的中点F 的坐标是（－1，2）， ∴m 的取值范围为l<m <3．9．已知二次函数y =-14 x 2+ 32 x 的图像如图．（1）求它的对称轴与x 轴交点D 的坐标；（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B 、C 三点，若∠ACB =90°，求此时抛物线的解析式；（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M ，以AB 为直径，D 为圆心作⊙D ，试判断直线CM 与⊙D的位置关系，并说明理由．解：（1）二次函数y =-14x 2+32x 的对称轴为x =3，∴D （3，0）．（2）设抛物线向上平移h 个单位（h ＞0），则平移后的抛物线解析式为y =-14x 2+32x+h ． ∵∠ACB =90°，∴OC 2=OA ·OB ．设点A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2，则h 2=- x 1·x 2． ∵x 1、x 2是一元二次方程-14x 2+32x+h =0的两个根，∴x 1·x 2=-4h ，∴h 2=4h ，∴h =4，∴抛物线的解析式为y =-14x 2+32x+4．（3）CM 与⊙D 相切，理由如下：连结CD 、CM ，过点C 作CN ⊥DM 于点D ，如下图所示：∵AB 是⊙D 的直径，∠ACB =90°， ∴点C 在⊙D 上．根据平移后的抛物线的解析式y =-14x 2+32x+4可得：OD =3，OC =4，DM =254，CD =5．∴CN =3，MN =94，∴CM =154．∵CM =154，CD =5，DM =254， ∴△CDM 是直角三角形且∠DCM =90°，∴CM 与⊙D 相切．10. 如图10，在平面直角坐标系xOy 中，AB 在x 轴上，AB ＝10，以AB 为直径的⊙O′与y 轴正半轴交于点C ，连接BC ，AC .CD 是⊙O ′的切线，AD ⊥CD 于点D ，tan ∠CAD ＝21，抛物线c bx ax y ++=2过A ，B ，C 三点.（1）求证：∠CAD ＝∠CAB ； （2）①求抛物线的解析式；②判定抛物线的顶点E 是否在直线CD 上，并说明理由；（3）在抛物线上是否存在一点P ，使四边形PBCA 是直角梯形.若存在，直接写出点P 的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由.（1）证明：连接O ′C .∵CD 是⊙O ′的切线，∴O ′C ⊥CD ．∵AD ⊥CD ，∴O′C ∥AD ，∴∠O′CA ＝∠CAD ． ∵O′C ＝O′A ，∴∠O′CA ＝∠CAB ， ∴∠CAD ＝∠CAB ．（2）①∵AB 是⊙O′的直径，∴∠ACB ＝90°∵OC ⊥AB ，∴∠CAB ＝∠OCB ，∴△CAO ∽△BCO ，∴OCOBOA OC =即OB OA OC ⋅=2．∵tan ∠CAO ＝tan ∠CAD ＝21，∴OA ＝2OC 又∵AB ＝10， ∴)210(22OC OC OC -⨯=， ∵OC ＞0∴OC ＝4，OA ＝8，OB ＝2．∴A （－8，0），B （2，0），C （0，4）． ∵抛物线c bx ax y ++=2过A ，B ，C 三点.∴c ＝4由题意得⎩⎨⎧=+-=++048640424b a b a ，解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=2341b a ， ∴423412+--=x x y ．○2设直线DC 交x 轴于点F ，易证△AOC ≌△ADC ，∴AD ＝AO ＝8. ∵O ′C ∥AD ，∴△FO′C ∽△F AD ，∴ADCO AF F O ''=∴8(BF ＋5)＝5(BF ＋10)，∴310=BF ，∴)0,,316(　F ． 设直线DC 的解析式为m kx y +=，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=03164m k m ，即⎪⎩⎪⎨⎧=-=443m k∴443+-=x y ．由425)3(414234122++-=+--=x x x y 得 顶点E 的坐标为)425,3(-E ．将)425,3(-E 代入直线DC 的解析式443+-=x y 中，右边==+-⨯-=4254)3(43左边.∴抛物线的顶点E 在直线CD 上．11. 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是直角梯形，BC ∥AD ，∠BAD = 90°，BC 与y 轴相交于点M ，且M 是BC 的中点，A 、B 、D 三点的坐标分别是A （-1，0），B ( -1，2)，D ( 3，0)，连接DM ，并把线段DM 沿DA 方向平移到ON ，若抛物线y =ax 2+bx +c 经过点D 、M 、N ． （1）求抛物线的解析式（2）抛物线上是否存在点P ．使得P A = PC ．若存在，求出点P 的坐标；若不存在．请说明理由。