二次函数知识点总结及典型例题
一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念
一般地，如果)0,,(2
≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。

)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于a
b
x 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

抛物线的主要特征：
①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。

3、二次函数图像的画法---五点法： 二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：)0,,(2
≠++=a c b a c bx ax y 是常数，
（2）顶点式：)0,,()(2
≠+-=a k h a k h x a y 是常数，
（3）当抛物线c bx ax y ++=2
与x 轴有交点时，即对应二次好方程0
2=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212
x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2
可转化为两根式))((21x x x x a y --=。

如果没有交点，则不能这
样表示。

三、抛物线c bx ax y ++=2
中，c b a ,,的作用
（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2
ax y =中的a 完全一样.
（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2
的对称轴是直线
a b x 2-
=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴所在直线；②0>a
b
（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<a b
（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.
（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2
与y 轴交点的位置.
当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2
与y 轴有且只有一个交点（0，c ）：
①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<a
b
. 四、二次函数的性质 1、二次函数的性质
五、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点坐标。

因此一元二次方程中的ac 4b 2-=∆，在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点。

当∆>0时，图像与x 轴有两个交点； 当∆=0时，图像与x 轴有一个交点； 当∆<0时，图像与x 轴没有交点。

补充：函数平移规律：左加右减、上加下减 六、二次函数的最值
如果自变量的取值围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当
a
b
x 2-=时，a b ac y 442-=
最值。

如果自变量的取值围是21x x x ≤≤，那么，首先要看a
b
2-
是否在自变量取值围21x x x ≤≤，若在此围，则当x=a
b
2-时，a b ac y 442-=最值；
若不在此围，则需要考虑函数在21x x x ≤≤围的增减性，
如果在此围，y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=22
2最大，当1x x =时，
c bx ax y ++=121最小；
如果在此围，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222最小。

典型例题
1.已知函数
()()
()()
2
2
113
513
x x
y
x x
⎧--
⎪
=⎨
--
⎪⎩
≤
＞
，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3
2.如图为抛物线2
y ax bx c
=++的图像，A、B、C为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是（）
A．a＋b=－1B．a－b=－1C．b<2a D．ac<0
3.二次函数2
y ax bx c
=++的图象如图所示，则反比例函数
a
y
x
=与一次函数y bx c
=+在同一坐标系中的大致图象是（）.
4.如图，已知二次函数c
bx
x
y+
+
=2的图象经过点（－1，0），（1，－2），当y随x的增大而增大时，x的取值围是．
5.在平面直角坐标系中，将抛物线223
y x x
=++绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）．
A．2
(1)2
y x
=-++B．2
(1)4
y x
=--+
x
y
O
1
1
（1,-2）
c
bx
x
y+
+
=2
-1
C ．2(1)2y x =--+
D ．2
(1)4y x =-++
6.已知二次函数c bx ax y ++=2
的图像如图，其对称轴1-=x ，给出下列结果
①ac b 42>②0>abc ③02=+b a ④0>++c b a ⑤0<+-c b a ，则正确的结论是（ ）
A ①②③④
B ②④⑤
C ②③④
D ①④⑤
7．抛物线2
y ax bx c =++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：
x … －2 －1 0 1 2 … y
…
4
6
6
4
…
从上表可知，下列说法中正确的是．（填写序号）
①抛物线与x 轴的一个交点为（3,0）； ②函数2
y ax bx c =++的最大值为6；
③抛物线的对称轴是1
2
x =
； ④在对称轴左侧，y 随x 增大而增大． 8. 如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 的坐标是（－2，4），过点A 作AB ⊥y 轴，垂足为B ，连结OA ． (1)求△OAB 的面积；
(2)若抛物线22y x x c =--+经过点A ． ①求c 的值；
②将抛物线向下平移m 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB 的部（不包括△OA B 的边界），求m 的取值围（直接写出答案即可）．
9．已知二次函数y= 1
4
x2+
3
2
x的图像如图．
（1）求它的对称轴与x轴交点D的坐标；
（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x轴、y轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式；
（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由．
10.如图，在平面直角坐标系xOy中，AB在x轴上，AB＝10，以AB为直径的⊙O′与y轴正
1，抛物线半轴交于点C，连接BC，AC.CD是⊙O′的切线，AD⊥CD于点D，tan∠CAD＝
2 +
=2过A，B，C三点.
y+
c
bx
ax
（1）求证：∠CAD＝∠CAB；
（2）①求抛物线的解析式；
②判定抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由；
（3）在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形.若存在，直接写出点P的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由.
11.如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD= 90°，BC 与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（-1，0），B( -1，2)，D( 3，0)，连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON，若抛物线y=ax2+bx+c经过点D、M、N．
（1）求抛物线的解析式
（2）抛物线上是否存在点P．使得PA= PC．若存在，求出点P的坐标；若不存在．请说明理由。

（3）设抛物线与x轴的另—个交点为E．点Q是抛物线的对称轴上的—个动点，当点Q
最大？并求出最大值。

在什么位置时有QE QC
12．如图，抛物线y =
2
1x 2
+bx －2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A （一1，0）． ⑴求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； ⑵判断△ABC 的形状，证明你的结论；
⑶点M (m ，0)是x 轴上的一个动点，当CM +DM 的值最小时，求m 的值．
13.在平面直角坐标系中，如图1，将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上，设抛物线y=ax2+bx+c(a<0)过矩形顶点B、C. （1）当n＝1时，如果a=－1，试求b的值；
（2）当n＝2时，如图2，在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN，使EF在线段CB 上，如果M，N两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；
（3）将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使得点B落到x轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点O，
①试求出当n=3时a的值；
②直接写出a关于n的关系式.。