第三章 函数极限习题§1 函数极限概念1． 按定义证明下列极限： （1）656lim=++∞→xx x ； （2）()2106lim 22=+-→x x x ；（3）115lim 22=--∞→x x x ； （4）04lim 22=--→x x ；（5）0cos cos lim 0x x x x =→2． 根据定义2叙述A x f x x ≠→)(lim 03． 设A x f x x =→)(lim 0，证明：A h x f h =+→)(lim 004． 证明：若A x f x x =→)(lim 0，则A x f x x =→)(lim 0当且仅当A 为何值时反之也成立？5． 证明定理3.16． 讨论下列函数在0→x 时的极限或左、右极限：（1）xx x f =)(； （2）[]x x f =)(；（3）⎪⎩⎪⎨⎧<+=>=0,10,00,2)(2x x x x x f x 7． 设A x f x =+∞→)(lim ，证明：A x f x =⎪⎭⎫⎝⎛+→1lim 08． 证明：对黎曼函数0)(lim 0=→x R x x ，[]1,00∈x （当00=x 或1时，考虑单侧极限）§2 函数极限的性质 1． 求下列极限：（1）()22cos sin 2lim x x x x --→π； （2）121lim 220---→x x x x ；（3）121lim 221---→x x x x ； （4）()()32302311limx x x x x +-+-→；（5）11lim 1--→m n x x x （m n ,为正整数）； （6）2321lim 4--+→x x x ；（7）()0lim 20>-+→a x a x a x ； （8）()()()902070155863lim--++∞→x x x x2． 利用迫敛性求极限：（1）xx x x cos lim--∞→； （2）4sin lim 2-+∞→x xx x3． 设B x g A x f x x x x ==→→)(lim ,)(lim 0。

证明：（1）[]B A x g x f x x ±=±→)()(lim 0；（2）AB x g x f x x =→)()(lim 0；（3）()0)()(lim≠=→B BAx g x f x x 4． 设n m b a b x b x b x b a x a x a x a x f nn n n mm m m ≤≠≠++++++++=----,0,0,)(0011101110 ， 试求)(lim x f x +∞→5． 设A x f x f x x =>→)(lim ,0)(0，证明：n n x x A x f =→)(lim 0，其中2≥n 为正整数6． 证明：()101lim 0<<=→a a xx7． 设B x g A x f x x x x ==→→)(lim ,)(lim 0（1）在某()0x o 内有)()(x g x f <，问是否必有B A <？为什么？ （2）证明：若B A >，则在某()0x o 内有)()(x g x f > 8． 求下列极限（1）n x x x x+-→11lim 0； （2）n x xx x ++→11lim 0； （3）1lim 21--+++→x n x x x n x ； （4）xx nx 11lim 0-+→；（5）[]xx x ∞→lim9．（1）证明：若()30lim x f x →存在，则()()3lim lim x f x f x x →→=（2）若()2lim xf x →存在，试问是否成立()()2lim lim x f x f x x →→=？§3 函数极限存在的条件1． 述函数极限)(lim x f x +∞→的归结原则，并应用它证明x x cos lim +∞→不存在2． 设f 为定义在[)+∞,a 上的增（减）函数。

证明：)(lim x f x +∞→存在的充要条件是f 在[)+∞,a 上有上（下）界3． （1）叙述极限)(lim x f x -∞→的柯西准则；（2）根据柯西准则叙述)(lim x f x -∞→不存在的充要条件，并应用它证明x x sin lim -∞→不存在4． 设f 在()00x 内有定义。

证明：若对任何数列{}()00x x n ⊂且0lim x x n n =∞→，极限()n n x f ∞→lim 都存在，则所有这些极限都相等5． 设f 为()00x 上的递增函数。

证明：()()0,000+-x f x f 都存在，且 ()()()()()()x f x f x f x f x x x x 0000inf 0,sup000+-∈∈=+=- 6． 设()x D 为狄利克雷函数，R x ∈0。

证明：()x D x x 0lim →不存在 7． 证明：若f 为周期函数，且()0lim =+∞→x f x ，则()0≡x f8． 证明定理3.9§4 两个重要的极限 1． 求下列极限：（1）xx x 2sin lim 0→； （2）()230sin sin lim x x x →；（3）2cos lim2ππ-→x x x ； （4）xxx tan lim→； （5）30sin tan lim xx x x -→； （6）x xx arctan lim 0→； （7）x x x 1sin lim +∞→； （8）ax ax a x --→22sin sin lim ；（9）114sin lim 0-+→x xx ； （10）x x x cos 1cos 1lim 20--→2． 求下列极限：（1）xx x -∞→⎪⎭⎫⎝⎛-21lim ； （2）()x x x 101lim α+→；（3）()xx x cot 0tan 1lim +→； （4）xx x x 1011lim ⎪⎭⎫⎝⎛-+→；（5）121323lim -+∞→⎪⎭⎫⎝⎛-+x x x x ； （6）xx x βα⎪⎭⎫⎝⎛++∞→1lim3． 证明：12cos 2cos 2cos cos lim lim 20=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞→→n n x x x xx 4． 利用归结原则计算下列极限：（1）n n n πsin lim ∞→； （2）nn n n ⎪⎭⎫⎝⎛++∞→2111lim§5 无穷小量与无穷大量1． 证明下列各式：（1）()()022→=-x x O x x （2）()+→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0sin 21x x O x x（3）()()0111→=-+x o x（4）()()()011→++=+x x o nx x n（n 为正整数）（5）()()∞→=+x x O x x 3232（6）()()()()()()()0x x x g o x g o x g o →=± （7）()()()()()()()()02121x x x g x g o x g o x g o →=∙ 2． 应用定理3.12求下列极限：（1）xx x x x cos 1arctanlim -∞→ （2）x x x cos 111lim 20--+→ 3． 证明定理3.134． 求下列函数所表示曲线的渐进线：（1）x y 1= （2）x y arctan = （3）xx x y 24323-+=5． 试确定α的值，使下列函数与αx 当0→x 时为同阶无穷小量： （1）x x sin 22sin - （2）()x x--+111（3）x x sin 1tan 1--+ （4）53243x x -6． 试确定α的值，使下列函数与αx 当∞→x 时为同阶无穷大量：（1）52x x + （2）()x x x sin 22++ （3）()()()n x x x +++11127． 证明：若S 为无上界数集，则存在一递增数列{}S x n ⊂，使得()∞→+∞→n x n 8． 证明：若f 为r x →时的无穷大量，而函数g 在某() 0r 上满足0)(>≥K x g ，则fg为r x →时的无穷大量9． 设()x f 与()x g 是当0x x →时的等价无穷小量，证明：()()()()x f o x g x f =-或()()()()x g o x g x f =-总练习题1． 求下列极限：（1）[]()x x x --→3lim ； （2）[]()111lim -→++x x ； （3）()()()()()x b x a x b x a x ---++-→3lim ；（4）22limax x x -+∞→； （5）22limax x x --∞→；（6）31111limxx x x x --+--+→；（7）⎪⎭⎫⎝⎛---→n m x x n x m11lim 1，n m ,为正整数 2． 分别求出满足下述条件的常数a 与b ：（1）011lim 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++∞→b ax x x x ； （2）0)1(lim 2=--+--∞→b ax x x x ；（3）0)1(lim 2=--+-+∞→b ax x x x3． 试分别举出符合下列要求的函数f ：（1）()()2lim 2f x f x ≠→； （2）()x f x 2lim →不存在4． 试给出函数f 的例子，使()0>x f 恒成立，而在某一点0x 处有()0lim 0=→x f x x 。

这同极限的局部保号性有矛盾吗？5． 设()()B u g A x f Au ax ==→→lim ,lim ，在何种条件下能由此推出()()B x f g ax =→lim ？6． 设()x x x f cos =，试作数列（1）{}n x 使得()∞→∞→n x n ，()()∞→→n x f n 0； （2）{}n y 使得()∞→∞→n y n ，()()∞→+∞→n y f n ； （3）{}n z 使得()∞→∞→n z n ，()()∞→-∞→n z f n 7． 证明：若数列{}n a 满足下列条件之一，则{}n a 是无穷大数列：（1）1lim >=∞→r a n n n ；（2）() ,2,1,01lim1=≠>=+∞→n a s a a n nn n8． 利用上题（1）的结论求极限：（1）211lim n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→； （2）211lim n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→9． 设+∞=∞→n n a lim ，证明（1）()+∞=+++∞→n n a a a n211lim； （2）若() ,2,10=>n a n ，则+∞=∞→n n n a a a 21lim 10．利用上题的结果求极限：（1）n n n !lim ∞→； （2）()nn n !ln lim∞→ 11．设f 为()00x - 内的递增函数。