北京市八年级上册期末数学试卷（10）一、精心选一选（本题共30分，每小题3分）1．（3分）计算4﹣2的结果是（）A．﹣8 B．﹣C．﹣D．2．（3分）下列说法中，正确的是（）A．5是25的算术平方根B．﹣9的平方根是﹣3C．±4是64的立方根D．9的立方根是33．（3分）下列四个交通标志中，轴对称图形是（）A．B．C．D．4．（3分）当b＜0时，函数y＝﹣x+b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．（3分）下列各式中，正确的是（）A．B．C．＝D．6．（3分）在△ABC和△A′B′C′中，已知∠A＝∠A′，AB＝A′B′，添加下列条件中的一个，不能使△ABC≌△A′B′C′一定成立的是（）A．AC＝A′C′B．BC＝B′C′C．∠B＝∠B′D．∠C＝∠C′7．（3分）点A（﹣1，y1）和B（2，y2）都在直线y＝﹣3x上，则y1与y2的关系是（）A．y1＜y2B．y1＝y2C．y1＞y2D．y2＝2y18．（3分）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且AB＝AD＝DC，∠BAD＝40°，则∠C为（）A．25°B．35°C．40°D．50°9．（3分）已知一次函数y＝kx+b的图象（如图），当x＞0时，y的取值范围是（）A．y＞﹣2 B．y＜0 C．﹣2＜y＜0 D．y＜﹣2 10．（3分）如图所示，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝，点E是折线段A﹣D﹣C上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点．使△PCB为等腰三角形的点E 的位置共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二、细心填一填（本题共16分，每小题2分）11．（2分）当x时，分式有意义．12．（2分）如图，△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，点E在AC的延长线上且∠E＝30°．若AD＝，则DE＝．13．（2分）在0.，﹣，，﹣π，这五个实数中，无理数是．14．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E．若DE＝1cm，则BC＝cm．15．（2分）如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD 最小时，∠PCD＝°．16．（2分）已知直线y＝kx+b（k≠0）与直线y＝﹣2x平行，且经过点（1，1），则直线y ＝kx+b（k≠0）可以看作由直线y＝﹣2x向平移个单位长度而得到．17．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC＝°．18．（2分）用长为4cm的n根火柴可以拼成如图1所示的x个边长都为4cm的平行四边形，还可以拼成如图2所示的2y个边长都为4cm的平行四边形，那么用含x的代数式表示y，得到．三、耐心算一算（本题共19分，第19题6分，第20题3分，第21、22题每题5分）19．（6分）因式分解：（1）x2﹣4y2（2）3a2+6ab+3b2．20．（3分）计算：．21．（5分）先化简，再求值：，其中x＝5．22．（5分）解分式方程：．四、认真做一做（共3个小题，第23、24题各6分，第25题5分，共17分）23．（6分）已知：如图，点A，E，F，C在同一条直线上，AD＝CB，∠B＝∠D，AD∥BC．求证：AE＝CF．24．（6分）已知：如图，平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b（k≠0）与直线y＝mx（m ≠0）交于点A（﹣2，4）．（1）求直线y＝mx（m≠0）的解析式；（2）若直线y＝kx+b（k≠0）与另一条直线y＝2x交于点B，且点B的横坐标为﹣4，求△ABO的面积．25．（5分）如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB．要求：尺规作图，并保留作图痕迹．（不要求写作法）五、仔细想一想（共3个小题，每小题6分，共18分）26．（6分）已知：x+y＝2，求（x2﹣y2）2﹣8（x2+y2）的值．27．（6分）小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料，学校与天一阁的路程是4千米，小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达天一阁，图中折线O﹣A﹣B﹣C和线段OD分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：（1）小聪在天一阁查阅资料的时间为分钟，小聪返回学校的速度为千米/分钟；（2）请你求出小明离开学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系；（3）当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？28．（6分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，且60°＜α＜120°，P为△ABC 内部一点，且PC＝AC，∠PCA＝120°﹣α．①用含α的代数式表示∠APC；②求证：∠BAP＝∠PCB；③求∠PBC的度数．北京市八年级上册期末数学试卷答案（10）一、精心选一选（本题共30分，每小题3分）1．（3分）计算4﹣2的结果是（）A．﹣8 B．﹣C．﹣D．【分析】根据负整数指数幂的运算法则进行计算，即可求出答案．【解答】解：4﹣2＝＝；故选：D．【点评】此题考查了负整数指数幂；幂的负整数指数运算，先把底数化成其倒数，然后将负整数指数幂当成正的进行计算．2．（3分）下列说法中，正确的是（）A．5是25的算术平方根B．﹣9的平方根是﹣3C．±4是64的立方根D．9的立方根是3【分析】一个数的平方是a，那么这个数叫做a的平方根，正数叫做算术平方根，一个数的立方是a，那么这个数叫做a的立方根．【解答】解：5是25的算术平方根，故A正确．﹣9没有平方根，故B错误．4是64的立方根，故C错误．9的立方根是，故D错误．故选：A．【点评】本题考查立方根，平方根和算术平方根的概念．3．（3分）下列四个交通标志中，轴对称图形是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项正确；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．4．（3分）当b＜0时，函数y＝﹣x+b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据比例系数得到相应的象限，进而根据常数得到另一象限，判断即可．【解答】解：∵k＝﹣1＜0，∴一次函数经过二四象限；∵b＜0，∴一次函数又经过第三象限，∴一次函数y＝﹣x+b的图象不经过第一象限．故选：A．【点评】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，用到的知识点为：k＜0，函数图象经过二四象限，b＞0，函数图象经过第一象限．5．（3分）下列各式中，正确的是（）A．B．C．＝D．【分析】利用分式的基本性质对各式进行化简即可．【解答】解：A、已经是最简分式，故本选项错误；B、，故本选项错误；C、＝，故本选项错误；D、利用分式的基本性质在分式的分子与分母上同时乘以x+y即可得到，故本选项正确；故选：D．【点评】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是在进行分式的运算时要同时乘除．6．（3分）在△ABC和△A′B′C′中，已知∠A＝∠A′，AB＝A′B′，添加下列条件中的一个，不能使△ABC≌△A′B′C′一定成立的是（）A．AC＝A′C′B．BC＝B′C′C．∠B＝∠B′D．∠C＝∠C′【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据图形和已知看看是否符合即可．【解答】解：A、∠A＝∠A′，AB＝A′B′AC＝A′C′，根据SAS能推出△ABC≌△A′B′C′，故A选项错误；B、具备∠A＝∠A′，AB＝A′B′，BC＝B′C′，不能判断△ABC≌△A′B′C′，故B选项正确；C、根据ASA能推出△ABC≌△A′B′C′，故C选项错误；D、根据AAS能推出△ABC≌△A′B′C′，故D选项错误．故选：B．【点评】本题考查了对全等三角形判定的应用，注意：判定两三角形全等的方法有ASA，SAS，AAS，SSS，而SSA，AAA都不能判断两三角形全等．7．（3分）点A（﹣1，y1）和B（2，y2）都在直线y＝﹣3x上，则y1与y2的关系是（）A．y1＜y2B．y1＝y2C．y1＞y2D．y2＝2y1【分析】根据一次函数的性质即可作出判断．【解答】解：∵一次函数中一次项系数﹣3＜0，﹣1＜2，∴y1＞y2．故选：C．【点评】本题考查了一次函数的性质，在解析式y＝kx+b（k≠0，且k，b是常数）中，当k＜0时，y随x的增大而减小．8．（3分）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且AB＝AD＝DC，∠BAD＝40°，则∠C为（）A．25°B．35°C．40°D．50°【分析】先根据AB＝AD，利用三角形内角和定理求出∠B和∠ADB的度数，再根据三角形外角的性质即可求出∠C的大小．【解答】解：∵AB＝AD，∴∠B＝∠ADB，由∠BAD＝40°得∠B＝＝70°＝∠ADB，∵AD＝DC，∴∠C＝∠DAC，∴∠C＝∠ADB＝35°．故选：B．【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理，三角形的外角性质的理解和掌握，解答此题的关键是利用三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．9．（3分）已知一次函数y＝kx+b的图象（如图），当x＞0时，y的取值范围是（）A．y＞﹣2 B．y＜0 C．﹣2＜y＜0 D．y＜﹣2【分析】当x＞0时，由图象知此时y＞﹣2．【解答】解：根据图象和数据可知，当x＞0时y的取值范围是y＞﹣2．故选：A．【点评】本题考查一次函数的图象，考查学生的分析能力和读图能力．一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．10．（3分）如图所示，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝，点E是折线段A﹣D﹣C上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点．使△PCB为等腰三角形的点E 的位置共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据题意，结合图形，分情况讨论：①BP为底边；②BP为等腰三角形一腰长．【解答】解：①BP为等腰三角形一腰长时，符合点E的位置有2个，是BC的垂直平分线与以B为圆心BA为半径的圆的交点即是点P；②BP为底边时，C为顶点时，符合点E的位置有2个，是以B为圆心BA为半径的圆与以C为圆心BC为半径的圆的交点即是点P；③以PC为底边，B为顶点时，这样的等腰三角形不存在，因为以B为圆心BA为半径的圆与以B为圆心BC为半径的圆没有交点．故选：C．【点评】本题综合考查等腰三角形的判定，需对知识进行推理论证、运算及探究．二、细心填一填（本题共16分，每小题2分）11．（2分）当x≠1 时，分式有意义．【分析】分式有意义的条件为1﹣x≠0，即可解得x的范围．【解答】解：要使分式有意义，则1﹣x≠0，解得x≠1．故答案为≠1．【点评】本题主要考查了分式的意义，熟练掌握其意义：对于任意一个分式，分母都不能为0，否则分式无意义，解此类问题，只要令分式中分母不等于0，求得字母的取值即可．12．（2分）如图，△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，点E在AC的延长线上且∠E＝30°．若AD＝，则DE＝．【分析】由于△ABC是等边三角形，那么AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°，而D 是BC的中点，利用等腰三角形三线合一定理可知∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝30°，于是∠CAD＝∠E，再利用等角对等边可求DE．【解答】解：如右图所示，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°，又∵D是BC中点，∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝30°，∴∠CAD＝∠E＝30°，∴DE＝AD＝．故答案是．【点评】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形三线合一定理、等角对等边．解题的关键是求出∠DAC，注意等边三角形也是特殊的等腰三角形．13．（2分）在0.，﹣，，﹣π，这五个实数中，无理数是．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：∵＝6，6是有理数，∴这一组数中的无理数有：﹣，﹣π．故答案为：﹣，﹣π．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．14．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E．若DE＝1cm，则BC＝ 3 cm．【分析】根据角平分线性质求出CD的长和∠DAE的度数，根据含30度角的直角三角形性质求出BD，代入BC＝BD+CD求出即可．【解答】解：∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，∴CD＝DE＝1，∵∠B＝30°，∴BD＝2DE＝2，∴BC＝1+2＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了对含30度角的直角三角形的性质和角平分线性质的应用，求出CD 和BD的长是解此题的关键．15．（2分）如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD 最小时，∠PCD＝45 °．【分析】根据当PC+PD最小时，作出D点关于MN的对称点，正好是A点，连接AC即可得出∠PCD的度数．【解答】解：∵当PC+PD最小时，作出D点关于MN的对称点，正好是A点，连接AC，AC为正方形对角线，根据正方形的性质得出∠PCD＝45°，∴∠PCD＝45°．故答案为：45°．【点评】此题主要考查了轴对称求最短路线问题，根据已知得出D点关于MN的对称点，正好是A点是解题关键．16．（2分）已知直线y＝kx+b（k≠0）与直线y＝﹣2x平行，且经过点（1，1），则直线y ＝kx+b（k≠0）可以看作由直线y＝﹣2x向上平移 3 个单位长度而得到．【分析】两直线平行，则函数解析式的一次项系数相同，可确定k的值；把（1，1）代入即可求出b的值，然后根据平移的性质即可求出答案．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过点（1，1），且与y＝﹣2x的图象平行，则y＝kx+b中k＝﹣2，当x＝1时，y＝1，将其代入y＝﹣2x+b，解得：b＝3．则直线y＝﹣2x+3可由直线y＝﹣2x向上平移3个单位长度而得到．故答案为：上；3．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换的知识，属于基础题，解题的关键是掌握两直线平行则k值相同．17．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC＝30 °．【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相可得AD＝BD，根据等边对等角的性质可得∠ABD＝∠A，然后求解即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣40°）＝70°，∵MN垂直平分线AB，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝40°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°．故答案为：30．【点评】本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形两底角相等的性质，等边对等角的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．18．（2分）用长为4cm的n根火柴可以拼成如图1所示的x个边长都为4cm的平行四边形，还可以拼成如图2所示的2y个边长都为4cm的平行四边形，那么用含x的代数式表示y，得到．【分析】图1中，一排有x个边长为4cm平行四边形，图2中，每一排有y个边长为4cm 平行四边形，横排线段有三排，斜线段有（y+1）段，根据图1，图2火柴根数相等，列方程求解．【解答】解：依题意，由图1可知：一个平行四边形有4条边，两个平行四边形有4+3条边，∴m＝1+3x，由图2可知：一组图形有7条边，两组图形有7+5条边，∴m＝2+5y，得1+3x＝3y+2（y+1），整理，得y＝x﹣，故答案为：y＝x﹣．【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．关键是根据图1，图2中，火柴根数相等列出方程．三、耐心算一算（本题共19分，第19题6分，第20题3分，第21、22题每题5分）19．（6分）因式分解：（1）x2﹣4y2（2）3a2+6ab+3b2．【分析】（1）根据平方差公式进行因式分解；（2）先提前公因式3，然后利用完全平方和公式进行二次分解．【解答】解：（1）原式＝（x+2y）（x﹣2y）；（2）原式＝3（a2+2ab+b2）＝3（a+b）2．【点评】本题综合考查了提取公因式法、公式法分解因式．利用公式法分解因式时，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．20．（3分）计算：．【分析】先去绝对值，然后进行同类二次根式的合并即可．【解答】解：原式＝﹣+2＝．【点评】此题考查了二次根式的加减运算，解答本题的关键是熟练掌握同类二次根式的合并，属于基础题．21．（5分）先化简，再求值：，其中x＝5．【分析】把原式的第二项被除式分母及除式分母都分解因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数把除法运算化为乘法运算，约分后，再与第一项通分，利用同分母分式的减法运算计算，可化为最简，最后把x的值代入化简的式子中即可求出值．【解答】解：＝＝﹣（3分）＝﹣＝＝＝，（4分）当x＝5时，原式＝＝．（5分）【点评】此题考查了分式的化简求值，分式的化简求值时，加减的关键是通分，通分的关键是找出各分母的最简公分母，分式的乘除关键是约分，约分的关键是找出公因式，本题属于化简求值题，解答此类题要先将原式化为最简，再代值，同时注意有时计算后还能约分，比如本题倒数第二步约去公因式x+1．22．（5分）解分式方程：．【分析】方程的两边都乘以5（x+1），把分式方程转化成整式方程，求出方程的解，再代入方程进行检验即可．【解答】解：方程的两边都乘以5（x+1）、去分母得：5x＝2x+5x+5，移项、合并同类项得：2x＝﹣5，∴系数化成1得：x＝﹣，经检验x＝﹣是原方程的解，∴原方程的解是x＝﹣．【点评】本题考查了分式方程的解法，关键是把分式方程转化成整式方程，注意一定要检验．四、认真做一做（共3个小题，第23、24题各6分，第25题5分，共17分）23．（6分）已知：如图，点A，E，F，C在同一条直线上，AD＝CB，∠B＝∠D，AD∥BC．求证：AE＝CF．【分析】根据全等三角形的判定定理SAS推知△ADF≌△CBE；然后由全等三角形的对应边相等知，AF＝CE，所以AF﹣EF＝CE﹣EF，即AE＝CF．【解答】证明：∵AD∥BC（已知），∴∠A＝∠C（两直线平行，内错角相等）；在△ADF和△CBE中，，∴△ADF≌△CBE（ASA），∴AF＝CE（全等三角形的对应边相等），∴AF﹣EF＝CE﹣EF，即AE＝CF．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质．普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS．做题时要根据已知条件的具体位置来选择方法．24．（6分）已知：如图，平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b（k≠0）与直线y＝mx（m ≠0）交于点A（﹣2，4）．（1）求直线y＝mx（m≠0）的解析式；（2）若直线y＝kx+b（k≠0）与另一条直线y＝2x交于点B，且点B的横坐标为﹣4，求△ABO的面积．【分析】（1）把点A（﹣2，4）代入直线y＝mx，运用待定系数法即可求出直线y＝mx（m ≠0）的解析式；（2）先把x＝﹣4代入y＝2x，求出点B的坐标，再将A、B两点的坐标代入y＝kx+b，运用待定系数法求出其解析式，设直线AB与x轴交于点C，则△ABO的面积＝△AOC的面积+△BOC的面积．【解答】解：（1）∵点A（﹣2，4）在直线y＝mx上，∴4＝﹣2m，∴m＝﹣2．∴y＝﹣2x；（2）设直线AB与x轴交于点C．把x＝﹣4代入y＝2x，得y＝﹣8，∴点B的坐标为（﹣4，﹣8）．∵点A（﹣2，4）、点B（﹣4，﹣8）在直线y＝kx+b上，∴，解得，∴y＝6x+16．令y＝0，得x＝﹣．∴点C的坐标为（﹣，0），∴△ABO的面积＝△AOC的面积+△BOC的面积＝××4+××8＝16．【点评】本题考查了运用待定系数法求一次函数的解析式，交点坐标的求法及三角形的面积，属于基础题型，难度中等．25．（5分）如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB．要求：尺规作图，并保留作图痕迹．（不要求写作法）【分析】画∠A的平分线AD和AB的中垂线MN，两线的交点P就是所求的答案．【解答】解：画∠A的平分线AD，画AB的中垂线MN，两线相交于点P，则P为所求．【点评】本题主要考查对线段的垂直平分线性质，角的平分线性质，作图﹣复杂作图等知识点的理解和掌握，能正确画图是解此题的关键．五、仔细想一想（共3个小题，每小题6分，共18分）26．（6分）已知：x+y＝2，求（x2﹣y2）2﹣8（x2+y2）的值．【分析】先用x表示出y，再把原式进行化简，把y的值代入求解即可．【解答】解：由x+y＝2，得y＝2﹣x，则原式＝[x2﹣（2﹣x）2]2﹣8[x2+（2﹣x）2]＝（4x﹣4）2﹣8（2x2﹣4x+4）＝16x2﹣32x+16﹣16x2+32x﹣32＝﹣16．【点评】本题考查的是整式的混合运算﹣化简求值，熟知整式混合运算的法则是解答此题的关键．27．（6分）小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料，学校与天一阁的路程是4千米，小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达天一阁，图中折线O﹣A﹣B﹣C和线段OD分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：（1）小聪在天一阁查阅资料的时间为15 分钟，小聪返回学校的速度为千米/分钟；（2）请你求出小明离开学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系；（3）当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？【分析】（1）直接根据图象上所给的数据的实际意义可求解；（2）由图象可知，s是t的正比例函数，设所求函数的解析式为s＝kt（k≠0），把（45，4）代入解析式利用待定系数法即可求解；（3）由图象可知，小聪在30≤t≤45的时段内s是t的一次函数，设函数解析式为s＝mt+n（m≠0）把（30，4），（45，0）代入利用待定系数法先求得函数关系式，再根据求函数图象的交点方法求得交点坐标即可．【解答】解：（1）∵30﹣15＝15，4÷15＝∴小聪在天一阁查阅资料的时间和小聪返回学校的速度分别是15分钟，千米/分钟．（2）由图象可知，s是t的正比例函数设所求函数的解析式为s＝kt（k≠0）代入（45，4），得4＝45k解得k＝∴s与t的函数关系式s＝t（0≤t≤45）．（3）由图象可知，小聪在30≤t≤45的时段内s是t的一次函数，设函数解析式为s＝mt+n（m≠0）代入（30，4），（45，0），得解得∴s＝﹣t+12（30≤t≤45）令﹣t+12＝t，解得t＝当t＝时，S＝×＝3．答：当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是3千米．【点评】主要考查了一次函数的实际运用和读图能力．从图象中获得所需的信息是需要掌握的基本能力，还要会熟练地运用待定系数法求函数解析式和使用方程组求交点坐标的方法．28．（6分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，且60°＜α＜120°，P为△ABC 内部一点，且PC＝AC，∠PCA＝120°﹣α．①用含α的代数式表示∠APC；②求证：∠BAP＝∠PCB；③求∠PBC的度数．【分析】①在三角形APC中，因为PC＝AC，推出∠CPA＝∠CAP，因为∠CAP+∠CPA+∠ACP ＝180°，推出∠CPA＝∠CAP＝（180°﹣∠ACP）÷2＝（60°+α）÷2＝30°+，②由①所推出的结论，可知∠BAP＝∠BAC﹣∠CAP＝α﹣（30°+）＝﹣30°，在三角形ABC中，∠BCA＝∠ABC＝（180﹣a）÷2＝90°﹣，∠PCB＝∠BCA﹣∠ACP＝90﹣﹣（120°﹣α）＝﹣30°，所以∠BAP＝∠PC，③分别延长CP、AP交BC于F点，交AB于E点，由∠BAP＝∠PCB，可得A，E，F，C四点共圆，得∠EFB＝α，所以可得BF＝EF，EF＝PF，即BF＝PF，又由∠AFC＝∠ABC+∠BAF＝90°﹣+﹣30°＝60°，即得∠PBC＝∠BPF＝30°．【解答】①解：∵AB＝AC，∠BAC＝α，PC＝AC，∴∠CPA＝∠CAP，∠BCA＝∠ABC，∵∠CAP+∠CPA+∠ACP＝180°，∴∠CPA＝∠CAP＝（180°﹣∠ACP）÷2＝（60°+α）÷2＝30°+，②证明：∵∠BAP＝∠BAC﹣∠CAP，∠BAC＝α，∠CAP＝30°+，∴∠BAP＝∠BAC﹣∠CAP＝α﹣（30°+）＝﹣30°，∴∠BCA＝∠ABC＝（180﹣a）÷2＝90°﹣，∴∠PCB＝∠BCA﹣∠ACP＝90﹣﹣（120°﹣α）＝﹣30°，∴∠BAP＝∠PCB，③解：分别延长CP、AP交AB于E点，交BC于F点，∵∠BAP＝∠PCB，∴∠PFB＝∠PEB，∴A，E，F，C四点共圆，∴∠EFB＝∠BAC＝α，∠EFA＝∠ECA，∠FEC＝∠CAF，∴BF＝EF，EF＝PF，∴BF＝PF∴∠AFC＝∠ABC+∠BAF＝90°﹣+﹣30°＝60°，∴∠PBC＝∠BPF＝30°．【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键在于熟练运用相关的性质定理，熟练角之间的数量转换，正确作出辅助线．。