因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中它都有着重要的作用．因式分解的方法较多，除了初中教材中涉及到的提取公因式法和运用公式法(只讲平方差公式和完全平方公式)外，还有运用公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法、分组分解法等．因式分解的问题形式多样，富有综合性与灵活性，因此，因式分解也是一种重要的基本技能．一、提取公因式法例13x2－6x＋3.二、公式法例2(1)8＋x3；(2)x2＋2xy＋y2－z2.三、分组分解法例3(1)2ax－10ay＋5by－bx；(2)x3－x2＋x－1.四、配方法例4(1)x2＋6x－16；(2)x2＋2xy－3y2.五、拆项添项法例5(1)x3－3x2＋4；(2)x3－2x＋1.六、求根公式法例6(1)x2－x－1；(2)2x2－3x－1.七、十字相乘法(1)x2＋(p＋q)x＋pq型式子的因式分解我们来讨论x2＋(p＋q)x＋pq这类二次三项式的因式分解．这类式子在许多问题中经常出现，它的特点是(1)二次项系数是1；(2)常数项是两个数之积；(3)一次项系数是常数项的两个因数之和．对这个式子先去括号，得到x2＋(p＋q)x＋pq＝x2＋px＋qx＋pq，于是便会想到继续用分组分解法分解因式，即x2＋px＋qx＋pq＝(x2＋px)＋(qx＋pq)＝x(x＋p)＋q(x＋p)＝(x＋p)(x＋q)．因此，x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)．运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．例7把下列各式分解因式：(1)x2＋3x＋2；(2)x2－x－20；(3)x2－52x＋1；(4)x2＋11x＋24.八、ax2＋bx＋c型因式分解我们知道，(a1x＋c1)(a2x＋c2)＝a 1a 2x 2＋a 1c 2x ＋a 2c 1x ＋c 1c 2＝a 1a 2x 2＋(a 1c 2＋a 2c 1)x ＋c 1c 2.反过来，就得到a 1a 2x 2＋(a 1c 2＋a 2c 1)x ＋c 1c 2＝(a 1x ＋c 1)(a 2x ＋c 2)．我们发现，二次项的系数a 分解成a 1×a 2，常数项c 分解成c 1×c 2，并且把a 1，a 2，c 1，c 2排列如图：，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到a 1c 2＋a 2c 1，如果它正好等于ax 2＋bx ＋c 的一次项系数b ，那么ax 2＋bx ＋c 就可以分解成(a 1x ＋c 1)(a 2x ＋c 2)，其中a 1，c 1位于上图上一行，a 2，c 2位于下一行．像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法．必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．例8 (1)6x 2＋5x ＋1；(2)6x 2＋11x －7；(3)42x 2－33x ＋6；(4)2x 4－5x 2＋3；(5)2t 6－14t 3－16.1．把下列各式分解因式：(1)a 3＋27；(2)8－m 3；(3)－27x 3＋8；(4)－18p 3－164q 3；(5)8x 3y 3－1125；(6)1216x 3y 3＋127c 3.2．把下列各式分解因式：(1)xy 3＋x 4；(2)x n ＋3－x n y 3；(3)a 2(m ＋n )3－a 2b 3；(4)y 2(x 2－2x )3＋y 2.3．把下列各式分解因式：(1)x 2－3x ＋2； (2)x 2＋37x ＋36； (3)x 2＋11x －26； (4)x 2－6x －27；(5)m 2－4mn －5n 2； (6)(a －b )2＋11(a －b )＋28.4．把下列各式分解因式：(1)ax 5－10ax 4＋16ax 3； (2)a n ＋2＋a n ＋1b －6a n b 2； (3)(x 2－2x )2－9；(4)x 4－7x 2－18； (5)6x 2－7x －3； (6)t 6－9t 3＋8；(7)7(a ＋b )2－5(a ＋b )－2； (8)(6x 2－7x )2－25.5．把下列各式分解因式：(1)3ax －3ay ＋xy －y 2； (2)8x 3＋4x 2－2x －1； (3)5x 2－15x ＋2xy －6y ；(4)4a 2－20ab ＋25b 2－36； (5)4xy ＋1－4x 2－y 2； (6)a 4b ＋a 3b 2－a 2b 3－ab 4；(7)x 6－y 6－2x 3＋1； (8)x 2(x ＋1)－y (xy ＋x )．1．把下列各式分解因式：(1)x 2＋15x ＋56；(2)x 2＋x －30；(3)x 2＋25x ＋150；(4)x 2＋83x －1. 2．把下列各式分解因式：(1)6x 2＋7x －3；(2)12x 2＋25x ＋12；(3)42x 2－5x －2；(4)72x 2＋7x －2.3．x 2＋(p ＋q )xy ＋pqy 2型式子的因式分解我们来讨论x 2＋(p ＋q )xy ＋pqy 2这类二次齐次型的因式分解，它的特点是(1)x 2的系数为1；(2)y 2的系数为两个数的积(pq )；(3)xy 的系数为这两个数之和(p ＋q )x 2＋(p ＋q )xy ＋pqy 2＝x 2＋pxy ＋qxy ＋pqy 2＝x (x ＋py )＋qy (x ＋py )＝(x ＋py )(x ＋qy )． 例 x 2＋(3＋1)xy ＋1×3y 2＝(x ＋y )(x ＋3y )对照 x 2＋(p ＋q )x ＋pq ＝(x ＋p )(x ＋q )看它们有怎样的联系，又有怎样的区别？联系：分解的方式完全一样．区别：一元二次型是二个一元一次型的积，二元二次齐次型是二个二元一次齐次型的积例1 把下列各式因式分解：(1)a 2－2ab －8b 2；(2)x ＋5xy －6y (x >0，y >0)；(3)(x ＋y )2－z (x ＋y )－6z 2；(4)m 4＋m 2n 2－6n 4.4．ax 2＋bxy ＋cy 2型的因式分解与ax 2＋bx ＋c 型的因式分解有怎样的联系，又有怎样的区别？ 例2 把下列各式因式分解：(1)6m 2－5mn －6n 2； (2)20x 2＋7xy －6y 2(3)2x 4＋x 2y 2－3y 4； (4)6(x ＋y )＋7z (x ＋y )＋2z (x >0，y >0，z >0)．5．Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F 型的因式分解．例3 (1)x 2－xy －2y 2－2x ＋7y －3；(2)ab －2a －b ＋2.6．含参数的因式分解例4 x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2＋m .例5 解方程：6x 2＋(3m －2)x －m ＝0(m 为常数)．例6 解不等式x 2－2(a ＋1)x ＋a 2＋2a ≤0.1．把下列各式分解因式：(1)x 2－6xy －7y 2； (2)x 2＋xy －56y 2； (3)8x 2＋26xy ＋15y 2；(4)7(a ＋b )2－5(a ＋b )c －2c 2； (5)2a 4＋a 2b 2－3b 4； (6)a 6－7a 3b 3－8b 6.2．把下列各式分解因式：(1)x 2－y 2－x ＋3y －2； (2)6xy ＋4x ＋3y ＋2.3．把下列各式分解因式：(1)x 2－(a ＋b )x ＋ab ； (2)(x ＋y )2－(3＋a )|x ＋y |＋3a .4．解方程x 2－(t ＋1t)x ＋1＝0.5．解不等式x 2－(a 2＋a ＋1)x ＋a 2(a ＋1)≤0(a ≥2)．答案精析例1 解 3(x 2－2x ＋1)＝3(x －1)2例2 解 (1)(x ＋2)(x 2－2x ＋4)．(2)(x ＋y )2－z 2＝(x ＋y ＋z )(x ＋y －z )．例3 解 (1)2a (x －5y )－b (x －5y )＝(x －5y )(2a －b )．(2)x 2(x －1)＋(x －1)＝(x －1)(x 2＋1)．例4 解 (1)(x ＋3)2－25＝(x ＋8)(x －2)．(2)(x ＋y )2－(2y )2＝(x ＋3y )(x －y )．例5 解 (1)x 3－2x 2－(x 2－4)＝x 2(x －2)－(x －2)(x ＋2)＝(x －2)2(x ＋1)．(2)(x 3－x )－(x －1)＝(x －1)(x ＋1＋52)(x －－1＋52)． 例6 解 (1)(x －1＋52)(x －1－52)． (2)(x －3＋174)(x －3－174)． 例7 解 (1)(x ＋1)(x ＋2)；(2)(x ＋4)(x －5)；(3)(x －2)(x －12)；(4)(x ＋8)(x ＋3)． 例8 解 (1)(2x ＋1)(3x ＋1)；(2)(2x －1)(3x ＋7)；(3)(6x －3)(7x －2)；(4)2(x ＋62)(x －62)(x ＋1)·(x －1)；(5)2(t －2)(t 2＋2t ＋4)(t ＋1)(t 2－t ＋1)． 强化训练1．解 (1)(a ＋3)(a 2－3a ＋9)；(2)－(m －2)(m 2＋2m ＋4)；(3)(2－3x )(9x 2＋6x ＋4)；(4)－18(p ＋q 2)·(p 2－12pq ＋q 24)；(5)(2xy －15)(4x 2y 2＋25xy ＋125)；(6)(16xy ＋13c )(136x 2y 2－118xyc ＋c 29)＝127(12xy ＋c )(x 2y 24－12xyc ＋c 2)． 2．解 (1)x (x ＋y )(x 2－xy ＋y 2) (2)x n (x －y )(x 2＋xy ＋y 2) (3)a 2(m ＋n －b )[(m ＋n )2＋b (m ＋n )＋b 2] (4)y 2(x －1)2(x 4－4x 3＋3x 2＋2x ＋1)．3．解 (1)(x －1)(x －2)；(2)(x ＋1)(x ＋36)；(3)(x ＋13)(x －2)；(4)(x ＋3)(x －9)；(5)(m ＋n )(m －5n )；(6)(a －b ＋4)(a －b ＋7)．4．解 (1)ax 3(x －2)(x －8)；(2)a n (a ＋3b )(a －2b )；(3)(x ＋1)(x －3)(x 2－2x ＋3)；(4)(x ＋3)(x －3)·(x 2＋2)；(5)(3x ＋1)(2x －3)；(6)(t －1)(t －2)(t 2＋t ＋1)(t 2＋2t ＋4)；(7)[7(a ＋b )＋2][(a ＋b )－1]；(8)(2x ＋1)(3x －5)(6x 2－7x ＋5)．5．解 (1)(x －y )(3a ＋y )；(2)(2x －1)(2x ＋1)2；(3)(x －3)(5x ＋2y )；(4)(2a －5b ＋6)(2a －5b －6)；(5)(1＋2x －y )(1－2x ＋y )；(6)ab (a －b )(a ＋b )2；(7)(x 3＋y 3－1)(x 3－y 3－1)；(8)x (x －y )(x ＋y ＋1)．答案精析1．解 (1)(x ＋7)(x ＋8)；(2)(x ＋6)(x －5)；(3)(x ＋10)(x ＋15)；(4)(x ＋3)(x －13)． 2．解 (1)(2x ＋3)(3x －1)；(2)(3x ＋4)(4x ＋3)；(3)(6x ＋1)(7x －2)；(4)(9x ＋2)(8x －1)．例1 解 (1)(a ＋2b )(a －4b )；(2)(x ＋6y )(x －y )；(3)(x ＋y ＋2z )(x ＋y －3z )；(4)(m ＋2n )(m －2n )·(m 2＋3n 2)．例2 解 (1)(3m ＋2n )(2m －3n ) (2)(4x ＋3y )·(5x －2y ) (3)(x ＋y )(x －y )(2x 2＋3y 2)(4)(3x ＋y ＋2z )(2x ＋y ＋z )．例3 解 (1)(x －2y )(x ＋y )－2x ＋7y －3＝(x －2y ＋1)·(x ＋y －3)；(2)(b －2)(a －1)． 例4 解 x 2＋(2m ＋1)x ＋m (m ＋1)＝(x ＋m )·(x ＋m ＋1)．例5 解 原方程的解为x ＝13或x ＝－m 2. 例6 解 ∵原不等式为(x －a )[x －(a ＋2)]≤0，∴原不等式的解为a ≤x ≤a ＋2.。