初高中数学衔接教材1.乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式2 2 (a b)(a b) a b ；（2）完全平方公式 2 2 2(a b) a 2 a b ．b我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2 2 3 3(a b) (a a b b ) a ；b（2）立方差公式 2 2 3 3(a b) (a a b b ) a ；b（3）三数和平方公式2 2 2 2 (a b c ) a b c 2 ( a b b c ；)a c（4）两数和立方公式 3 3 2 2 3(a b) a 3 a b 3 a b ；b（5）两数差立方公式3 3 2 2 (a b) a 3 a b 3 a b ．b 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．例 1 计算：2 2 (x 1)(x 1)(x x 1)(x x 1)．解法一： 原式= 2 2 2 2(x 1) (x 1) x = 2 4 2 (x 1)(x x 1)= 6 1 x ．解法二： 原式=2 2 (x 1)(x x 1)(x 1)(x x1)= 3 3 (x 1)(x1)= 6 1x ．例 2 已知 a b c 4，ab bc ac 4，求2 2 2 a b c 的值．解：2 2 2 ( )22( ) 8a b c a b c ab bc ac ．练 习1．填空：（1）1 1 1 12 2a b ( b a) （ ）； 9 4 2 3（2）(4 m 22 ) 16m 4m ( ) ；(3 )2 2 2 2 (a 2b c) a 4b c ( ) ． 2．选择题：（1）若2 1x mx k 是一个完全平方式，则k 等于（）2（A ）2m （B）142m （C）132m （D）1162m（2）不论 a，b 为何实数， 2 2 2 4 8a b a b 的值（）（A ）总是正数（B）总是负数（C）可以是零（D）可以是正数也可以是负数2．因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：2 2（1）x －3x＋2；（2）x ＋4x－12；2 ( ) 2（3）x a b xy aby ；（4）xy 1 x y ．2解：（1）如图1．1－1，将二次项 x 分解成图中的两个x 的积，再将常数项 2 分解成－1初中升高中数学教材变化分析2与－2 的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x －3x＋2 中的一次项，所以，有2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．xx 1－1 1 －2 x －ay－1x －2 x1 －2 6 －by1图 1．1－1 图 1．1－3 图1．1－4图 1．1－2说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1 中的两个x 用 1 来表示（如图1．1－2 所示）．（2）由图 1．1－3，得2x ＋4x－12＝(x－2)( x＋6)．（3）由图 1．1－4，得2 ( ) 2x a b xy aby ＝(x ay)( x by)x －1（4）xy 1 x y ＝xy＋(x－y)－1＝(x－1) (y+ 1) （如图 1．1－5 所示）．课堂练习一、填空题：y图 1．1－511、把下列各式分解因式：2 x（1） 5 6x __________________________________________________ 。

2 x（2） 5 6x __________________________________________________ 。

2 x（3） 5 6x __________________________________________________ 。

2 x（4） 5 6x __________________________________________________ 。

2（5） x a 1 x a__________________________________________________ 。

2 x（6）11 18x __________________________________________________ 。

2 x（7）6 7 2x __________________________________________________ 。

2 m（8）4 12 9m __________________________________________________ 。

2（9）5 7x 6x __________________________________________________ 。

2 6 2（10）12x xy y __________________________________________________ 。

2 x x x2、 x 4 32 ax b x x3、若 x 2 4 则a ，b 。

二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的）2 x 2 x 2 x 2 x1、在多项式（1）x 7 6 （2）x 4 3 （3） x 6 8 （4） x 7 102 x（5）x 15 44 中，有相同因式的是（）A、只有（ 1）（2）B、只有（ 3）（4）C、只有（ 3）（5）D、（1）和（2）；（3）和（ 4）；（3）和（ 5）2、分解因式 2 8ab 33b2a 得（）A、 a 11 a 3B、 a 11b a 3bC、 a 11b a 3bD、 a 11b a 3b2 a b3、 a b 8 20分解因式得（）A、 a b 10 a b 2B、 a b 5 a b 4C、 a b 2 a b 10D、 a b 4 a b 52 可分解为x 5 x b ，则a、b的值是（）4、若多项式x 3x aA、a 10 ，b 2B、 a 10 ，b 2C、a 10 ，b 2D、a 10 ，b 22 其中a、b 为整数，则m的值为（） 5、若 x mx 10x a x bA、3或9B、 3C、9D、3或9三、把下列各式分解因式2 q p1、6 2p q 11 2 32、3 5a b 6 ab22a2初中升高中数学教材变化分析2 y 4 b2 3、2y 4 6 4、b 2 82．提取公因式法例2 分解因式：2 （2）x3 9 3x2 3x（1） a b 5 a 5 b2 = a(b 5)( a 1) 解：（1）．a b 5 a 5 b（2） 3 9 3 2 3x x x=3 2(x3x ) (3x 9)=x x x 2( 3) 3( 3)2 ( 3)3( 3)= 2(x3)(x 3)．或3 9 3 2 3 x x x ＝3 2(x3x 3x 1) 8＝3(x 1) 8＝33(x 1) 2＝2 2[( x 1) 2][( x 1) (x1) 22 ] ＝2(x3)(x3)课堂练习：一、填空题：2 21、多项式6x y 2xy 4xyz中各项的公因式是_______________。

2、 m x y n y x x y __________________。

3、 2 n y x x y2 2m x y ____________________。

4、 m x y z n y z x x y z _____________________。

5、m x y z x y z x y z ______________________。

6、 2 396 3 2 513 ab x a b x 分解因式得_____________________。

27．计算 99 99 =二、判断题：（正确的打上“√”，错误的打上“×”）2 2 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,（） 1、 2a b 4ab 2ab a b2、a m bm m m a b ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, （）3 x x x x x2 23、3x 6 15 3 2 5 ,,,,,,,,,,,,,,,,, （）n ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, （）n 1 x n x14、x x 13：公式法4例3 分解因式：（1）16a （2）23x 2y x y24 2 2 22 a2 2 a a a a a 解：(1) a 16 = 4 ( ) (4 )(4 ) (4 )(2 )(2 )(2)2 23x 2y x y = (3x 2y x y )(3x 2y x y) (4x y)( 2x 3y)课堂练习一、 2 2ab b2a ，2 b2a ，3 b3a 的公因式是______________________________ 。

二、判断题：（正确的打上“√”，错误的打上“×”）24 2 2 2 22 x x x1、x 0.01 0.1 0.1 0.1 ,,,,,,,,,, （）9 3 3 32 2 2 22、9a 8b 3a 4b 3a 4b 3a 4b ,,,,,,,,,,,,,（）3初中升高中数学教材变化分析2 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,（） 3、 25a 16b 5a 4b 5a 4b2 2 2 2 ,,,,,,,,,,,,,,,,（） 4、x y x y x y x y2 ,,,,,,,,,,,,,,,,,, （）25、a b c a b c a b c五、把下列各式分解1、2 29 m n m n 2、23x133、22 4 2 4 x2 4 x x 4、x 214．分组分解法2 （2）例4 （1）x xy 3y 3x2 22x xy y 4x 5y 6．（2）2 22x xy y 4x 5y 6=2 22x ( y 4)x y 5y6= 22x (y4)x ( y 2)( y 3)= (2x y 2)( x y 3) ．或2 22x xy y 4x 5y6=2 2(2x xy y ) (4x 5y) 6= (2 x y)( x y) (4x 5y) 6= (2 x y 2)( x y 3) ．2 2 2 2 课堂练习：用分组分解法分解多项式（1）x y ab 2ax 2by2 ab b2 a b（2） 4 4 6 12 9a5．关于x 的二次三项式ax2+ bx+ c(a≠0)的因式分解．若关于x 的方程 2 0( 0)ax bx c a 的两个实数根是x1、x2 ，则二次三项式2( 0)ax bx c a就可分解为 a( x x1)(x x2 ) .例5 把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1） 2 2 1x x ；（2）2 4 4 2x xy y ．解：（1）令 2 2 1x x =0，则解得x1 1 2，x，2 1 2∴ 2 2 1x x = x ( 1 2) x ( 12)=(x 1 2)( x 1 2) ．（2）令 2 4 4 2x xy y =0，则解得 x1 ( 2 2 2) y ，x1 ( 2 2 2)y，∴ 2 4 4 2x xy y =[x 2(1 2) y][ x 2(1 2)y] ．练习1．选择题：多项式2 22x xy 15y 的一个因式为（）（A）2x 5y（B） x 3y （C）x 3y（D） x 5y4初中升高中数学教材变化分析2．分解因式：（ 1）x2＋6x ＋8；（2）8a 3－b 3；（ 3）x2－2x －1； （4） 4(x y 1) y (y 2x) ．习题1．21．分解因式： （1） （3）3 1 42a ；（2） 4x13x 9 ； 2 2 2 22 2 2b c abacbc ；（4） 3x 5xy 2y x 9y 4 ．2．在实数范围内因式分解： （1） 2 5 3x x ； （2）2 2 23 xx ；（3） 22 3x 4xy y ； （4）2 2 2 (x 2x) 7(x 2x) 12．2 2 23． ABC 三边a ， b ， c 满足a b c ab bc ca ，试判定A BC 的形状． 2＋x －(a 2－a)．4．分解因式： x2. （尝试题） 已知 abc=1，a+b+c=2，a2+b2+c2=，求 1+ab c - 1 bc1 a - + 1 ca1 b - 的值. 13.一元二次不等式的解法1、一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系2、一元二次不等式的解法步骤2 bx c ax 2bx c a 一元二次不等式 ax 0或0 0 的解集：2 bx c a 2 设相应的一元二次方程 ax0 的两根为x 1、x 2 且 x 1x 2 ， b4ac的各种情况如下表： 0 00 ，则不等式的解y 2yaxbx c2 y ax2bxcaxbx c二次函数2y ax bx c （ a0）的图象一元二次方程 2ax bx c a 0的根0 有两相异实根 x 1 , x 2 (x 1x 2) 有两相等实根bx 1 x无实根22aax ( a2 bx c 0)的解集x x x 1或x x2 x xb 2aR2 ax bx c 0 ( a0)的解集 xx 1x x2例 1 解不等式：2＋2x －3≤ 0；（2）x －x 2＋6＜0； （1）x 2＋4x ＋ 1≥ 0；（4）x 2－6x ＋ 9≤ 0；（3）4x 2＜0． （5）－ 4＋x －x5初中升高中数学教材变化分析 2x a a例 2 解关于 x 的不等式 x ( 1)解：原不等式可以化为： ( x a 1)( x a)若 a (a 1)即1a x ax 1a 2 若 a (a 1)即1 112 a 则 ( x)x ,xR2 22若 a (a 1)即1 a 则 x a 或 x 1 a2例 3 已知不等式 20( 0) ax bx c a 的解是 x 2, 或 x 3求不等式2 0 bx ax c的解． 解： 由不等式 2 0( 0)ax bx c a 的解为 x 2,或 x 3，可知a 0，且方程 20 ax bx c 的两根分别为 2 和 3，b c ∴ 5 , 6a a， b c 即 5 , 6a a． 由于 a 0，所以不等式 bx 2ax c 0 可变为b c 2 0 x x a a，即－整理，得2 5x x 6 0, 25x x 6 0,所以，不等式 20 bx ax c 的解是x ＜－ 1，或 x ＞6 5．说明： 本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题． 练 习1．解下列不等式：（1）3x 2－x －4＞ 0； （2）x 2－x －12≤ 0； （3）x2＋3x －4＞ 0；（4） 16－8x ＋x 2≤ 0．2＋2x ＋1－a 2≤ 0（a 为常数）． 3.解关于x 的不等式x作业：4.若0<a<1,则不等式(x－a)( x－1a)<0 的解是( )A. a< x< 1aB.1a<x<a1 1或x<a D. x< 或x>a C.x>a a2＋bx＋b＝0 中，a＜0，它的两根x 2＋bx＋ b＜0 的解是______.5.如果方程ax1，x2 满足x1＜x2，那么不等式ax3．解下列不等式：2－2x＋1＜0；（ 2）3x2－4＜ 0；（1）3x6初中升高中数学教材变化分析2≥－ 1；（ 4）4－x2≤0．（3）2x－x2≥0; (6)9 x2－12x>－ 4;(5)4+3 x－2x2－(1＋a) x＋ a＜0（a 为常数）．4．解关于x 的不等式x2 bx c5．关于x 的不等式ax 0的解为2 bx c求关于x 的不等式0ax 的解．x 2或 x124.三角形的“四心”6.“四心”的概念及性质内心：性质：外心：性质：重心：性质：垂心：7.典型例题例 1 求证：三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.已知D、E、F 分别为△A BC 三边B C、CA、AB 的中点，求证AD、BE、CF 交于一点，且都被该点分成2：1. 证明连结D E，设A D、BE 交于点G，QD、E 分别为BC、AE 的中点，则D E//AB，且V GDE ∽V GAB ，且相似比为1：2，AG = 2GD , BG = 2GE .1DE = AB ，2图3.2-3设A D、CF 交于点G'，同理可得，AG '= 2G' D,CG ' = 2G 'F.则G与 G '重合，图3.2-4 AD、BE、CF 交于一点，且都被该点分成 2 :1.图3.2-5 7初中升高中数学教材变化分析例2 已知V ABC 的三边长分别为BC = a, AC = b, AB = c ，I 为V ABC 的内心，且I 在V ABC的边BC、AC、AB 上的射影分别为D、E、F ，求证：b + c- a AE = AF = .2证明作V ABC 的内切圆，则D、E、F 分别为内切圆在三边上的切点，Q AE, AF 为圆的从同一点作的两条切线，AE = AF，同理，BD= BF，CD= CE.b+ c- a = AF + BF + AE + CE - BD - CD= AF + AE = 2AF = 2AE即b + c- aAE = AF = .2图 3.2-6例3 若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形.已知O 为三角形 ABC 的重心和内心.求证三角形 ABC 为等边三角形 .证明如图，连 AO 并延长交BC 于 D.Q O为三角形的内心，故AD 平分D BAC ，AB BD= （角平分线性质定理） ACDCQ O为三角形的重心， D 为BC 的中点，即BD =DC .ABAC= 1，即AB = AC .同理可得，AB= BC.V ABC 为等边三角形 .图 3.2-7图 3.2-8例4 求证：三角形的三条高交于一点.已知V ABC 中， AD ^ BC于D,BE^ AC于 E，AD 与BE交于H 点.求证 C H ^ A B.证明以CH 为直径作圆，Q oAD ^ BC, BE ^ AC, ? HDC ? HEC 90 ,D、E 在以 CH 为直径的圆上， ?FCB ? DEH .同理，E、D 在以 AB 为直径的圆上，可得? BED ? BAD .? BCH ? BAD ，o 又V ABD 与V CBF 有公共角DB ，90? CFB ? ADB 图 3.2-98。