二阶非线性动态电路分析
题目：
二阶非线性电路如图1，R=10Ω,i=ϕ+32.0ϕ，C=0.25×210-F,C U (-0)=2V.求C U (t)（t>0）,并画出t>0时ϕ-C U 的相图。

图1.二阶非线性电路
理论分析:
解：取ϕ与C U 为状态变量，t>0时： 32.0-ϕϕ-=-==i i dt du C C c => 380-400ϕϕ-=dt
du c 32.0ϕϕϕR R U Ri U u dt d C C L --=-== => 3210ϕϕϕ--=C U dt
d Matlab 求解：
此非线性动态电路难求解析解，因此利用Matlab 做数值求解，得到响应在离散时刻的近似值，再根据此离散值做出响应相关图像。

Matlab 求解的原理是利用ode45函数解微分方程组。

ode45表示采用四阶，五阶runge-kutta 单步算法。

ode45函数语法为[T,Y] = ode45(odefun, tspan,y0)，这里tspan 选择0到2.5s ，初值C U =2,ϕ=0。

首先写一个函数M 文件列出待求解方程组如下：
function dy=rlc(t,y)
dy=zeros(2,1)
dy(1)=-400*y(2)-80*y(2)^3
dy(2)=y(1)-10*y(2)-2*y(2)^3
end
在命令行输入[t,y]=ode45(@rlc,[0 2.5],[2 0])，可求出响应C U （t ）、ϕ（t ）数值解。

在命令行输入：
plot(t,y(:,1))
grid on 数值解
title('Uc-t曲线')
xlabel('t')
ylabel('Uc')
可得到Uc(t)曲线。

可以更直观的观查Uc随时间的变化。

图2 Uc响应曲线同理可得到ϕ（t）图像如图3所示：
图3 ψ-t曲线
同理可得到ϕ-Uc相图如图4所示。

图4 ϕ-Uc相图
结果分析：
观察图形可发现，该电路处于振荡放电过程，未知量L 满足不等式R<C L
2。

对于图1，Uc 与电流i 取非关联方向，Uc>0时，电容C 处于放电
过程，反之处于充电过程。

同理对于图2，ϕ（t ）斜率大于零时电感吸收能量，反之释放能量。

对于图3，电路中的放电过程为衰减振荡性质，相轨道是一条螺旋线,并以原点为其渐近点。

每一圈对应于振荡的一个周期。

随着时间推移，Uc 、ϕ逐渐衰减为零。

结论：
对于非线性动态电路，一般难有解析解，因此我们可以根据状态方程借助数值分析方法及Matlab 软件求电路响应的数值解。

根据此数值解，可以描绘出响应相关曲线，根据此曲线可直观的定性分析电路工作状态。