第一章逻辑推理在数学竞赛中，有一类问题似乎不像数学题，这类问题没有或很少给出数量或数量关系，也不出现任何图形。

解答这类问题没有什么现成的公式可用，甚至不需要什么复杂计算。

也有的问题，似乎像算术或几何问题，但解决它却很少用到算术和集合的知识，而是用逻辑推理的知识来解答。

这类问题称为逻辑推理问题。

逻辑推理是运用已知若干判断去获得一个新判断的思维方法。

在推理过程中，常常需要否定一些错误的可能性，去获得正确的结论。

解决这类问题常用的方法有：直接法；假设法；排除法；图解法；列表法和枚举法等。

逻辑推理问题的解决，需要我们深入地理解条件和结论，分析关键所在，找到突破口，进行合情合理的推理，最后做出正确的判断。

推理的过程，必须要有充足的理由和充分的依据。

论证的才能不是天生的，而是在不断的实践活动中逐渐锻炼、培养出来的。

一、直接法例 1 张、王、李三个工人，在甲、乙、丙三个工厂里分别当车工、钳工和电工，已知：（1）张不在甲厂；（2）王不在乙厂；（3）在甲厂的不是钳工；（4）在乙厂的是车工；（5）王不是电工，这三个人分别在哪个厂？干什么工作？【分析与解】此题可用直接法解答，即直接从特殊条件出发，再结合其他条件往下推，直到推出结论为止。

由条件（5）可知，王不是电工，那么王必是车工或钳工；由条件（2）可知，王不在乙厂，那么王必在甲厂或丙厂；又由条件（4）可知，在乙厂的是车工，所以王只能是钳工；又因为甲厂的不是钳工，则王必是丙厂的钳工；张不在甲厂，必在乙厂或丙厂，而王在丙厂，则张必在乙厂，是乙厂的车工，剩下的李是甲厂的电工。

所以，张是乙厂的车工，王是丙厂的钳工，李是甲厂的电工。

例2 A、B、C、D、E五人参加乒乓球比赛，每两人都要赛一场，并且只赛一场，规定胜者得2分，负者得0分。

现在知道比赛结果是：A和B并列第一名；C 是第三名，D和E并列第四名，求C得多少分？【分析与解】我们从A和B并列第一名，D和E并列第四名的已知条件直接入手分析。

因为每盘的得分只能是2分或0分，所以每人的得分必为偶数，即0分、2分、4分、6分、8分。

由于A 和B 并列第一名，他们两人比赛的负者最多只能得6分，因此，A 与B 最多只能得6分。

同理，并列第四名的D 和E 不可能都得0分，因而最少得2分。

因此，C 只能得4分。

例3 将1、2、3、4、5、6、7、8八个数分成两组，每组4个数，并且两组数之和相等。

从A 组拿一个到B 组后，B 组五个数之和将是A 组剩下三个数之和的2倍；从B 组拿一个数到A 组后，B 组剩下的三个数之和是A 组五个数之和的75。

这八个数如何分成两组？【分析与解】八个数的总和是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36，所以每组四个数之和36÷2＝18。

从A 组取一个数到B 组，两组总和不变，由题知，这时A 组中剩下的三个数之和为：36÷（2＋1）＝12，原来A 组四个数的和是18，说明从A 组取了一个（18－12）＝6到B 组。

同理，从B 组取一个数到A 组后，现在B 组三个数的和是36÷（1+75）×75＝15，说明从B 组中取了一个（18－15）＝3到A 组。

除去6和3，还剩6个数。

A 组中分别三个数的和是12，剩下的6个数中只有1＋4＋7＝12，故A 组中的四个数为1、4、6、7，B 组中的四个数为：2、3、5、8。

二、假设法例 4 星期一早晨，王老师走进教室，发现教室的坏桌凳都修了。

传达室人员告诉他：这是班里住校学生中的一个学生做的好事。

于是王老师把许兵、李平、刘成、张明这四个住校生找来了解。

（1）许兵说：桌凳不是我修的。

（2）李平说：桌凳是张明修的。

（3）刘成说：桌凳是李平修的。

（4）张明说：我没有修过桌凳。

后经了解，四个人中只有一个人说的是真话，请问桌凳是谁修的？【分析与解】根据“两个互相否定的思想不能同真”可知，条件（2）和（4）不能同真，必有一假。

假设条件（2）是真话，则条件（4）为假话，即张明修过桌凳。

又根据题目条件“四人中只有一人说真话”可知，条件（1）和（3）为假话，则由条件（1）为假话可推出，桌凳是许兵修的。

这样，许兵和张明都修过桌凳，这与题中只有一个人做好事相矛盾。

所以前面的假设不成立。

因此条件（2）是假话，条件（4）是真话，则条件（1）和（3）为假话。

所以桌凳是许兵修的。

例 5 五一小学举行科技知识竞赛，同学们对一贯刻苦学习、爱好读书的四名同学的成绩作了如下估计。

（1）丙得第一，乙得第二（2）丙得第二，丁得第三（3）甲得第二，丁得第四比赛结果一公布，果然是这些同学获得前四名。

但以上三种估计，恰好都估计对了一半，错了一半。

你知道他们的名次各是第几名吗？【分析与解】同学们的估计里有对有错。

但是最后公布的结果中，他们都只猜对了一半，错了一半。

我们可以用假设法假设某人前半句对，后半句错。

如果不成立，再从相反方向思考推理。

假设条件（1）中“丙得第一”错了，则“乙得第二”就对了。

因为条件（1）中“乙得第二”说对了，则条件（2）中“丙得第二”说错了，条件（2）中“丁得第三”说对了，则条件（3）中“丁得第四”说错了，则条件（3）中“甲得第二”对了，这与乙得第二矛盾，故最初假设不成立。

则应假设条件（1）中“丙得第一”是对的，“乙得第二”是错的。

由此便可推出：丙得第一，甲得第二，丁得第三，乙得第四。

例6 在一次乒乓球比赛前，甲、乙、丙、丁四位选手预测各自的名次。

甲说：我绝不会得到最后。

乙说：我不能得第一，也不会得最后。

丙说：我肯定得第一。

丁说：那我是最后一名！比赛揭晓后知道，四个人没有并列名次，而且只有一名选手预测错误，请问是谁预测错了。

【分析与解】因为四个人只有一个预测是错误，不妨假设甲、乙、丙、丁分别预测错误，看看可以推出的结果。

假设甲预测错误，那么丁也预测错误，不符合题意。

假设乙预测错误，那么乙得第一或最后，则丙、丁两人中必有一人预测错误，不符合题意。

假设丁预测错误，因为其他三人都预测不会得最后，所以也不成立。

因此：丙预测错误。

三、排除法例7 下图是同一个标有1、2、3、4、5、6的小正方体的三种不同的摆法。

求三个正方体朝左的一面的数字之积是多少？（1）（2）（3）【分析与解】我们可用排除法排除不符合条件的情形，最后剩下的情况就是所需的结果。

先判断图（1）中3对面的数字。

从三个正方体上看得见的数字可以知道：3对面的数字不是1、2、4、6。

因此，图（1）中朝左一面的数字是5。

由图（1）可知，2的对面不是1、3，由图（2）知，2的对面不是4，因此，2的对面一定是6，则1的对面是4。

所以，图（1）、（2）、（3）中的朝左一面的数字分别是5、1、4，则它们的积为：5×1×4＝20例8 甲、乙、丙、丁坐在同一排的1～4号座位上，小红看着他们说：“甲的两边不是乙，丙的两边不是丁，甲的座号比丙大。

”问坐在一号座位上的是谁？【分析与解】解答该题时，可以结合部分条件把四人排列的情况列出，然后排除掉不符合条件的情况，剩下的即为正确答案。

由“甲的两边不是乙，丙的两边不是丁”，可以判断出甲与丙坐在位于中间的2号、3号位上。

根据“甲的座号比丙大”可以确定丙坐在2号位上，甲坐在3号位上。

因此，丙旁边的1号位上只能坐乙。

四、列表法例9 六年级有四个班，每个班都有正、副班长各1名。

平时召开年级班长会议时，各班都只有1人参加。

参加第一次会议的是小马、小刘、小张、小林；参加第二次会议的是小宋、小刘、小朱、小马；参加第三次会议的是小宋、小陈、小马、小张。

小徐因有病，三次都没有参加，你知道他们之中，哪两个是同班的吗？【分析与解】此题中参加会议的人员每次都在更换，头绪众多，条件纷陈，确实一时难以寻找到解决问题的突破口。

因此，我们可将所有条件列在一张表格内，由图可以看出，小徐三次都没参加，而小马三次都参加了会议，说明他们两人是同一班的；小张第一、第三次都参加了会议，而小朱只参加了第二次会议，说明他们是同一班的；小刘参加了第一、第二次会议，而小陈只参加了第三次会议，说明他们是同班的。

所以：小马和小徐；小张和小朱；小刘和小陈；小林和小宋分别是同班的。

例10 已知张新、李敏、王强三位同学分别在北京、苏州、南京的大学学习化学、地理、物理。

又知：（1）张新不在北京学习 （2）李敏不在苏州学习（3）在北京学习的同学不学物理 （4）在苏州学习的同学是学化学的 （5）李敏不学地理请你判断一下，三位同学各在什么城市学什么？【分析与解】解答此题的关键是抓住三个人必须在三地之一学习三种科目的某一种这个条件，这种逻辑推理问题须从两个方面加以判定。

尽管相对的问题要求增多了，但列表法仍然适用。

结合两方面的交错因素，两表对位，一举两得。

由条件（4）可知：李敏不在苏州，不学化学，学物理，张新、王强不学物理。

由条件（3）“在北京学习的不学物理”可知：王强在北京，张新在苏州，李由上表可知：张新在苏州学化学，李敏在南京学物理，王强在北京学地理。

【专家点评】在解决逻辑推理问题时，往往并不是单独用一种方法来进行分析判断，而常常是几种方法交互使用。

如上述例题便是综合运用列表法和排除法来分析解答的。

例11 李芳、陈楠和孙海是小学教师，在语文、数学、思品、社会、音乐和美术六门课中，每人各教两门，现在已知：（1）思品老师和数学老师是邻居（2）陈楠最年轻（3）李芳老师常和社会还有数学老师谈心（4）社会老师比语文老师大（5）陈楠、音乐老师和语文老师常在一起看足球赛试分析，李芳、陈楠、孙海三位老师每人教哪两门课。

【分析与解】首先挖掘每个条件真正想告诉我们的内容，由每个条件得出：由（1）得出：思品和数学不是同一个人教由（2）（4）得出：陈楠不教社会由（3）得出：第一，李芳不是社会、数学老师第二，社会、数学不是同一个人教由（4）得出：社会、语文不是同一个人教由（5）得出：第一，陈楠不是音乐、语文老师第二，音乐、语文老师不是同一个人教下面通过打“√”“×”号列表法来进行判断，根据每人教两门功课，所以从横行上看对于每个人只能有2个“√”，而一门课只能由一个人教，所以从竖列上看，每一列只能有1个“√”。

由图示可知：李芳教语文、思品，陈楠教数学、美术，孙海教社会、音乐。

五、图解法例12 6名来自不同国家的学生一起聚会，请根据他们各自的情况安排在圆桌旁坐下，使相邻的学生都能交谈：A：中国学生会讲英语B：法国学生会讲日语C：日本学生会讲汉语D：英国学生会讲俄语E：美国学生会讲俄语F：俄国学生会讲法语【分析与解】如果用一个点代表一个学生（如上图），在两点间划一条线段表示两个学生能互相交谈，这样就能够得到一个示意图。

根据图上的箭头就可安排六名学生座位如右图。

【专家点评】构图示意法是解决数学竞赛问题的重要方法，其中常用一笔画解决一些有趣的循环设计问题。