第三节 曲面及其方程 ㈠本课的基本要求 理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程 ㈡本课的重点、难点
常用二次曲面的方程及其图形为重点，求以坐标轴为旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程为难点 ㈢教学内容
一．曲面方程的概念
曲面是空间上按照一定规律运动的点的轨迹。

定义：如果曲面S 上每一点的坐标都满足方程0),,(=z y x F 。

而不在曲面S 上的点的坐标都不满足这个方程，则称0),,(=z y x F 为曲面S 的方程，而称曲面S 为此方程的图形。

例1 求两定点),,(),,,(22221111z y x M z y x M 等距离的点的轨迹方程。

解：设),,(z y x M =
即：222222212121)()()()()()(z z y y x x z z y y x x -+-+-=-+-+-
化简有：0)]([2
1
)()()(2
22222212121121212=++-+++-+-+-z y x z y x z z z y y y x x x
二．常见的二次曲面及其方程
1．球面（空间中与某个定点等距离的点的轨迹）
设定点的坐标为),,(000z y x ，则点),,(z y x M 在以0M 为球心，以R 为球半径的球面上的充
R =
即：2202020)()()(R z z y y x x =-+-+- 此即为以0M 为球心，R 为半径的球面方程。

当0M 是原点时，为
特点：⑴是x 、y 、z 的二次方程，且222,,z y x 系数相等，符号相同； ⑵方程中不出现xy 、yz 、xz 等乘积项。

满足上述两个特点的三元二次方程0222=++++++D Cz By Ax z y x 一般为球面方程，变形：)4(4
1
)2()2()2(222222D C B A C z B y A x -++=+++++
可见，当04222>∆=-++D C B A 时，为球面，0=∆为点，0<∆为虚轨迹。

作为点的几何轨迹的曲面可以用它的点的坐标间的方程来表示。

反之，变量y x ,和z 间的方程通常表示一个曲面。

因此在空间解析几何中关于曲面的研究，有下列两个基本问题：
⑴已知一曲面作为点的几何轨迹时，建立这曲面的方程；
⑵已知坐标y x ,和z 间的一个方程时，研究这方程所表示的曲面的形状。

如方程0242222=+-+++z y x z y x 表示什么曲面？（略）
2．转曲面
一平面曲线C 绕同一平面上的一条直线l 旋转所形成的曲面称为旋转曲面，曲线C 称为面的母线，直线l 称为旋转曲面的轴。

这里只讨论以坐标为轴的旋转曲面方程。

建立yoz 面上以曲线C ：0),(=z y f 绕z 轴旋转所成的曲面方程。

设),,(z y x M 为旋转曲面上任一点，过M 作平面垂直于z 轴，交z 轴于点),0,0(z P ，交曲线C 于点),,0(000z y M ，因此有： 图
2200220
,y x y y y x z z +±=∴=+==
又∵0M 在曲线C 上，∴0),(00=z y f ，即得旋转曲面方程：0),(22=+±z y x f 同理，曲线C 绕y 轴得：0),(22=+±z x y f
例2 求旋转曲面⎪⎩⎪⎨⎧==+
014
32
2y z x 绕x 轴及z 轴旋转得曲面方程。

（该曲面称为旋转椭球面） 解：14
31432222
22=++=++
z y x z z y x x 轴：，绕轴：绕 例3 P.313.例4直线L 绕另一条与L 相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫做圆锥面。

两
直线的交点叫做圆锥面的顶点，两直线的夹角)2
0(π
<
<a a 叫做圆锥面的半顶角。

试建立
顶点在坐标原点O ，旋转轴为z 轴，半顶角为a 的圆锥面（如图）的方程。

解 在yOz 坐标面上，直线L 的方程为a y z cot =，因为旋转轴为z 轴，所以只要将上式中的y 改成22y x +±
，便得到这圆锥面的方程a y x z cot 22+±=
例4 P.313.例5将xOz 坐标面上的双曲线122
22=-c
z a x 分别绕z 轴和x 轴旋转一周，求所生
成的旋转曲面的方程。

解 绕z 轴旋转所成的旋转曲面叫做旋转单叶双曲面，如图，它的方程为122
2
22=-+c z a y x 绕x 轴旋转所成的旋转曲面叫做旋转双叶双曲面，如图，它的方程为12
2
222=+-
c z y a x 。

3．柱面──直线L 沿定曲线C 平行移动所形成的曲面，定曲线C 称为柱面的准线，动直线
L 称为柱面的母线。

图
这里只讨论准线在坐标面上，母线垂直于该坐标面的柱面。

现来建立以xoy 面上的曲线C ：0),(=y x f 为准线，平行于z 轴的直线L 为母线的柱面方程。

设),,(z y x M 为柱面上任一点，过M 作平行于z 轴的直线交xoy 面于点)0,,(1y x M ,由柱面定
义知1M 必在准线C 上，所以1M 满足方程0),(=y x f 。

由于0),(=y x f 不含z ，所以M 也满足 0),(=y x f ，而不在柱面上的点必不满足0),(=y x f ，所以0),(=y x f 为所求柱面方程。

类似有：面）
面）xz z x f yz z y f (0),(;(0),(== 例：1322
2=+y x 是以xoy 面上的椭圆为准线，母线平行于z 轴的椭圆柱面。

三．二次曲面
用一系列平行于坐标面的平面去截曲面，求得一系列的交线，对为些交线进行分析，就可看出曲面的轮廓，这种方法称为截痕法。

若0),,(=z y x F 是一次方程，则它的图形是一个平面，平面也称为一次曲面；若它是二次方
程，则它的图形称为二次曲面。

下面用截痕法讨论几个常见的二次方程所表示的二次曲面的形状。

1．椭圆锥面 2
2222z b
y a x =+
2．椭球面 ⑻)
0,0,0(122
2222>>>=++c b a c
z b y a x
所表示的曲面称为椭球面，c b a ,,称为椭球面的半轴。

由⑻知：c z b y a x c
z b y a x ≤≤≤≤≤≤,,1,1,122
2222，即：。

曲面包含在 c z b y a x ±=±=±=,,这六个平面所围成的长方体内，下面用截痕法来讨论这曲面的形状。

用xoy 面z=0和平行于xoy 面的平面)(c h h z ≤=去截曲面，交线方程分别为：
⎪⎩
⎪⎨⎧=-=+⎪⎩⎪⎨⎧==+h z c h b y a x z b
y a x 22222222
221,01
同样有zox 面与平行于zox 面的平面去截曲面，用yoz 面和与yoz 面平行的平面去截曲面，与上述结果类同。

曲面形状如图： 图
当a=b 时，⑻化为
122
222=++c
z a y x 是一个椭圆绕z 轴旋转而成的， 旋转椭球面，当a=b=c 时，为球面。

3．单叶双曲面 122
2222=-+c z b y a x
4．双叶双曲面 122
2222=--c
z b y a x
5．椭圆抛物面 z b
y a x =+22
22
6．双曲抛物面 z b
y a x =-22
22
双曲抛物面又称鞍面。

7．椭圆柱面 122
22=+b y a x
8．双曲柱面 122
22=-b
y a x
9．抛物柱面 ay x =2
（以上几种曲面书上P.315有介绍，可请同学们看书）
课堂练习P.318.习题7-3中8-11题。

小结：
作业：P.318.2,4,7。