[1]更一般的，对于连续时期，跨期贴现效用函数可以表示为： 为简单起见，本文只考虑离散时期的跨期贴现效用函数。
( 1 ) U ( c ) e u ( c ) [ t , T ] t T
1
下面我们来看DU模型的特点。
1、贴现率时间上恒定 我们知道，任何的贴现函数都可以 一般都表示成这种形式：
t T
t 1 t 1
T
t 1 t 1
t 1
t
t t 1
t
T
Байду номын сангаас
t t 1 ,
T
2、正的时间偏好和递减的边际效用 在DU模型中，即时效用函数 u ( c t ) 是凹函 数，也就是说，边际效用是递减的。这意 味着人们将更愿意把消费分散到各个时期 ，而不是集中于同一个时期。 同时，在 DU模型中，贴现率 是正的， 这就说明了时间偏好是正的。与边际效用 递减相反，正的时间偏好促使人们更多的 在当期消费。
3、跨期决策时决策者会将新的备择计划和现有的 计划结合起来考虑 DU模型的一个中心假设就是人们在跨期决策时会 将现有的计划与新的备择计划结合起来考虑。比 如说，一个人他现有的消费计划为 (ct ,..., cT ) ，他面临一个跨期决策X,我们可以将此跨期决策 同放弃现有的50000美元以获得5年后的10000美元 的跨期决策类似的理解。我们说决策者在跨期决 策时会将新的备择计划与现有的计划结合起来考 虑，也就是说，人们不会孤立的考虑跨期选择X， 而会根据X对将来的各个时期的总消费的影响来作 出决策。所以，在评价跨期选择X时，决策者会考 t c ,c t, T) ) ( c ,c 虑决策后新的消费路径 ( ，只有当 U t, T t U c , c ) 时，决策者才会接受跨期选 t, T 〉 ( 择。
D (k )
n0 = 其中 n 代表在时期n上的贴现率， 也就是说，贴现率将随着时期 n 的变 化而发生变化。但是，在 DU 模型中 ，我们可以看到，对于所有的n， = ，这意味着 DU 模型中包含着一 个重要假定——时间贴现率在每一 期均相同。

k 1
(
1 ) 1 n
n
时间贴现率恒定的假设意味着决策者的跨期偏 好是时间一致（Time-consistent）的,也就是说 后期的偏好将可以“证实”（ Confirm ）前期的 偏好。更正规的，我们可以这样写成： 我们说跨期偏好是时间一致的，如果决策者面 , ) ,c 临两个消费束 (ct ,..., cT ) 和 (c ，且有 U ( c , , c ) U ( c , , c ) ct ct ，当且仅当 ( c , c , c ) U ( c , c , c ) 时，有 U 决策者需要做的就是估计出未来每一期的效用 流，然后通过一个统一的折现率 折算成现值 ，静态的效用最大化问题就转化为动态的效用现 值最大化问题。
传
统
贴
现
模
型
—DU
模
型
跨期选择指的是在不同时间段上进行成本收益的 权衡. 经济学界关于跨期选择及时间贴现的理论已经有 了很大的发展，古典西方经济学里面被最广泛接 受的是萨缪尔逊（Paul Samuelson，1937）在文章 “A Noteon Measurement of Utility”中提出来的贴 现效用模型（The Discounted Utility Model,本文简 记为DU模型）。
T
t
>
1 1 max ( ) u ( c ) ( c , c ) B ( E ) t, T 0 11
T
4、各期效用独立
DU模型还假定一序列结果的总效用等于各期效用的求和。也 就是说，各期的效用都是相互独立的。
5、各期消费独立
DU模型的一个外在假定为决策者在t+k期的状况独立于他在 其它期的消费状况。
萨缪尔逊希望通过其DU模型给出跨期选择的一般模型， 下面我们来看DU模型具体形式是怎样的。
(ct ,..., cT ) 的跨期偏好，在 设出决策者对于消费束 效用的完备性、传递性及连续性的假定下，跨期效用函数 t ( c , c ) t, T 可以表示为 U 进一步的，对于离散时间 ，萨缪尔逊假定跨期效用函数满足如下形式[1]：
为什么我今生 要吃苦？因为 来世可以进入 天堂。这是大 多数的信仰宗 教的人的心态， 舍弃今生来换 取来生的幸福， 实际上，这就 是人们的跨期 选择。
无论吸烟者还是吸毒者或者沉迷于网络游戏的人，其 实都有戒的愿望，他们也能理性地认识到，如果上瘾， 长期的成本要比获得的收益大得多，可是实际上，理 性行为并不能准确描述个体在毒品和香烟消费上的决 策，人们在做事时往往都会倾向于拖延。
Uc ( t, . . . ,c ) D ( kuc ) ( t ) T k
t k 0 T t
1 k D(k ) { } 1
u ( c t k ) 代表决策者在t+k期的基数即时效用 在上述方程中， D (k ) ， 用来表示决策者的贴现函数，即对各时期的即时效用所 加的权数。 代表决策者的纯时间偏好率，即贴现率。
《行为经济学》第六讲
时间贴现和跨期(1)
博士 北京大学经济学院
董志勇
如果要你考虑今天和明天消费一个苹果，你会 偏好今天的一个苹果还是明天的呢？显然大部 分人明显希望今天消费，而如果再要你考虑 100天后和101天后消费一个苹果，也许答案就 没有这么明显了，这其实就说明了人们在今天 对明天的关心程度和100天对101天的关心程度 是不一致的，也就是说时间的贴现是会变化的。
也可以这样理解，假设决策者的原始拥有为 E 0 E ，接受跨期决策X将会增加其拥有，变为 0 X ，定义 B(E) 为决策者在拥有水平为 E 时的预算 集，根据 DU 模型，决策者将会接受跨期选择 X ，如果满足：
1 max ( ) u ( c ) ( c c ) B ( E X ) t , ,T 0 11