1 轨迹方程经典例题 一、轨迹为圆的例题： 1、 必修2课本P124B组2：长为2a的线段的两个端点在x轴和y轴上移动，求线段AB的中点M的轨迹方程：

必修2课本P124B组：已知M与两个定点（0,0），A（3,0）的距离之比为21，求点M的轨迹方程;（一般地：必修2课本P144B组2：已知点M(x,y)与两个定点21,MM的距离之比为一个常数m；讨论点M(x,y)的轨迹方程（分m=1，与m1进行讨论）

2、 必修2课本P122例5：线段AB的端点B的坐标是（4,3），端点A在圆1)1(22yx上运动，求AB的中点M的轨迹。

在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为22，在y轴上截得线段长为32。 （1）求圆心的P的轨迹方程；

（2）若P点到直线xy的距离为22，求圆P的方程。

如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.

MBA2

解：设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|.又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)又

|AR|=|PR|=22)4(yx所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动. 设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=20,241yyx,代入方程x2+y2

－4x－10=0,得244)2()24(22xyx－10=0整理得：x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程.

在平面直角坐标系xOy中，点)3,0(A，直线42:xyl．设圆C的半径为1，圆心在l上． （1）若圆心C也在直线1xy上，过点A作圆C的切线，求切线的方程； （2）若圆C上存在点M，使MOMA2，求圆心C的横坐标a的取值范围．

（2013陕西卷理20）已知动圆过定点)0,4(A，且在y轴上截得弦MN的长为8. （1） 求动圆圆心的轨迹C的方程； （2） 已知点)0,1(B，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点QP,，若x轴

是PBQ的角平分线，证明直线l过定点。

二、椭圆类型： 3、 定义法：（选修2-1P50第3题）点M(x,y)与定点F(2，0)的距离和它到定直线8x

的距离之比为21，求点M的轨迹方程.(圆锥曲线第二定义) 讨论：当这个比例常数不是小于1，而是大于1，或等于1是的情形呢？（对应双曲线，抛物线）

MF1F

23

4、 圆锥曲线第一定义：（选修2-1P50第2题）一个动圆与圆05622xyx外切，同时与圆091622xyx内切，求动圆的圆心轨迹方程。

5、 圆锥曲线第一定义：点M(00,yx)圆1F9)1(22yx上的一个动点, 点2F（1,0）为定点。线段2MF的垂直平分线与1MF相交于点Q(x,y),求点Q的轨迹方程;(注意点2F（1,0）在圆内)

6、 其他形式：（选修2-1P50例3）设点A,B的坐标分别是（-5,0），（5,0），直线AM,BM相交于点M，且他们的斜率的乘积为94，求点M的轨迹方程:（是一个椭圆）

（讨论当他们的斜率的乘积为94时可以得到双曲线）

（2013新课标1卷20）已知圆:M1)1(22yx，圆:N9)1(22yx，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C。 （1）求C的方程； （2）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于BA,两点，当圆P的半径最长时，求AB

（2013陕西卷文20）已知动点),(yxM到直线4:xl的距离是它到点)0,1(N的距离的2倍。 （1）求动点M的轨迹C的方程

（2）过点)3,0(P的直线m与轨迹C交于BA,两点，若A是PB的中点，求直线m的斜率。

QF1

F

2

M4

三、双曲线类型： 8、圆锥曲线第一定义：点M(00,yx)圆1F1)1(22yx上的一个

动点, 点2F（1,0）为定点。线段2MF的垂直平分线与1MF相交于点Q(x,y),求点Q的轨迹方程;(注意点2F（1,0）在圆外)

定义法：（选修2-1P59例5）点M(x,y)与定点F(5，0)的距离和它到定直线516x的距离之比为45，求点M的轨迹方程.(圆锥曲线第二定义)

四、抛物线类型：10、定义法：（选修2-1）点M(x,y)与定点F(2，0)的距离和它到定直线2x的距离相等，求点M的轨迹方程。（或：点M(x,y)与定点F(2，0)的距离比它到定直线3x的距离小1，求点M的轨迹方程。） （2013陕西卷文20）已知动点),(yxM到直线4:xl的距离是它到点)0,1(N的距离的2

倍。 （1）求动点M的轨迹C的方程 （2）过点)3,0(P的直线m与轨迹C交于BA,两点，若A是PB的中点，求直线m的斜率 已知三点(0,0)O，(2,1)A，(2,1)B，曲线C上任意一点(,)Mxy满足

||()2MAMBOMOAOBuuuruuuruuuuruuuruuur。

（1）求曲线C的方程；

）在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：（x-5）2＋y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值. （Ⅰ）求曲线C1的方程； 设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，i是过点A与x轴垂直的直线，D是直线i与x轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m>0,且m≠1）。当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C。

QF1

F

2

M5 （I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；

如图，椭圆0C：22221(0xyabab，a，b为常数)，动圆22211:Cxyt，1bta。点12,AA分别为0C的左，右顶点，1C与0C相交于A，B，C，D四点。 (Ⅰ)求直线1AA与直线2AB交点M的轨迹方程;

（四川）如图，动点M到两定点(1,0)A、(2,0)B构成MAB，且2MBAMAB，设动点M的轨迹为C。 （Ⅰ）求轨迹C的方程； （Ⅱ）设直线2yxm与y轴交于点P， 与轨迹C相交于点QR、，且||||PQPR，

求||||PRPQ的取值范围。

1.(★★★★)已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点Q的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线

2.(★★★★)设A1、A2是椭圆4922yx=1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为( ) A.14922yx B.14922xy C.14922yx D.14922xy 二、填空题 3.(★★★★)△ABC中，A为动点，B、C为定点，B(－2a,0),C(2a,0)，且满足条件sinC－

sinB=21sinA,则动点A的轨迹方程为_________. 4.(★★★★)高为5 m和3 m的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A(－5，0)、B(5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________. 6

三、解答题 5.(★★★★)已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线l于点A，又过B、C作⊙O′异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程.

6.(★★★★)双曲线2222byax=1的实轴为A1A2，点P是双曲线上的一个动点，引A1Q⊥A1P，A2Q⊥A2P，A1Q与A2Q的交点为Q，求Q点的轨迹方程.

7.(★★★★★)已知椭圆2222byax=1(a＞b＞0),点P为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，∠F1PF2的外角平分线为l，点F2关于l的对称点为Q，F2Q交l于点R.

(1)当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程； (2)设点R形成的曲线为C，直线l：y=k(x+2a)与曲线C相交于A、B两点，当△AOB的面积取得最大值时，求k的值. 7

一、1.解析：∵|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|F1Q|=2a,∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a,故动点Q的轨迹是圆. 2.解析：设交点P(x,y）,A1(－3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,－y0)∵A1、P1、P共线，

∴300xyxxyy∵A2、P2、P共线，∴300xyxxyy解得

x0=149,149,3,92220200yxyxxyyx即代入得

二、3.解析：由sinC－sinB=21sinA,得c－b=21a,∴应为双曲线一支，且实轴长为2a,

故方程为)4(1316162222axayax. 答案：)4(1316162222axayax 4.解析：设P(x,y），依题意有2222)5(3)5(5yxyx,化简得P点轨迹方程为4x2+4y2－85x+100=0. 答案：4x2+4y2－85x+100=0 三、5.解：设过B、C异于l的两切线分别切⊙O′于D、E两点，两切线交于点P.由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC| =|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P的轨

迹方程为728122yx=1(y≠0) 6.解：设P(x0,y0）(x≠±a),Q(x,y). ∵A1(－a,0),A2(a,0).

由条件yaxyaxxxaxyaxyaxyaxy220000000)( 11得 而点P(x0,y0)在双曲线上，∴b2x02－a2y02=a2b2. 即b2(－x2)－a2(yax22)2=a2b2 化简得Q点的轨迹方程为：a2x2－b2y2=a4(x≠±a). 8.解：(1)∵点F2关于l的对称点为Q，连接PQ， ∴∠F2PR=∠QPR，|F2R|=|QR|，|PQ|=|PF2| 又因为l为∠F1PF2外角的平分线，故点F1、P、Q在同一直线上，设存在