轨迹方程经典例题一、轨迹为圆的例题：1、 必修2课本P 124B 组2：长为2a 的线段的两个端点在x 轴和y 轴上移动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程：必修2课本P 124B 组：已知M 与两个定点（0,0），A （3,0）的距离之比为21，求点M 的轨迹方程;（一般地：必修2课本P 144B 组2：已知点M(x ,y )与两个定点21,M M 的距离之比为一个常数m ；讨论点M(x ,y )的轨迹方程（分m =1，与m ≠1进行讨论）2、 必修2课本P 122例5：线段AB 的端点B 的坐标是（4,3），端点A 在圆1)1(22=++y x 上运动，求AB 的中点M 的轨迹。

（2013新课标2卷文20）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为32。

（1）求圆心的P 的轨迹方程；（2）若P 点到直线x y =的距离为22，求圆P 的方程。

如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.解：设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |.又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2)又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有(x－4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动.设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=2,241+=+y y x ,代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得244)2()24(22+⋅-++x y x －10=0整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程.在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l ．设圆C 的半径为1，圆心在l 上． （1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；（2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．（2013陕西卷理20）已知动圆过定点)0,4(A ，且在y 轴上截得弦MN 的长为8.MBA（1） 求动圆圆心的轨迹C 的方程；（2） 已知点)0,1(-B ，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点Q P ,，若x 轴是PBQ ∠的角平分线，证明直线l 过定点。

二、椭圆类型：3、 定义法：（选修2-1P 50第3题）点M(x ,y )与定点F(2，0)的距离和它到定直线8=x 的距离之比为21，求点M 的轨迹方程.(圆锥曲线第二定义)讨论：当这个比例常数不是小于1，而是大于1，或等于1是的情形呢？（对应双曲线，抛物线）4、 圆锥曲线第一定义：（选修2-1P 50第2题）一个动圆与圆05622=+++x y x 外切，同时与圆091622=--+x y x 内切，求动圆的圆心轨迹方程。

5、 圆锥曲线第一定义：点M(00,y x )圆1F 9)1(22=++y x 上的一个动点, 点2F （1,0）为定点。

线段2MF 的垂直平分线与1MF 相交于点Q(x ,y ),求点Q 的轨迹方程;(注意点2F （1,0）在圆内)6、 其他形式：（选修2-1P 50例3）设点A,B 的坐标分别是（-5,0），（5,0），直线AM,BM 相交于点M ，且他们的斜率的乘积为94-，求点M 的轨迹方程:（是一个椭圆） （讨论当他们的斜率的乘积为94时可以得到双曲线）（2013新课标1卷20）已知圆:M 1)1(22=++y x ，圆:N 9)1(22=+-y x ，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C 。

（1）求C 的方程； （2）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于B A ,两点，当圆P 的半径最长时，求AB（2013陕西卷文20）已知动点),(y x M 到直线4:=x l 的距离是它到点)0,1(N 的距离的2倍。

（1）求动点M 的轨迹C 的方程（2）过点)3,0(P 的直线m 与轨迹C 交于B A ,两点，若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率。

三、双曲线类型：8、圆锥曲线第一定义：点M(00,y x )圆1F 1)1(22=++y x 上的一个动点, 点2F （1,0）为定点。

线段2MF 的垂直平分线与1MF 相交于点Q(x ,y ),求点Q的轨迹方程;(注意点2F （1,0）在圆外)定义法：（选修2-1P 59例5）点M(x ,y )与定点F(5，0)的距离和它到定直线516=x 的距离之比为45，求点M 的轨迹方程.(圆锥曲线第二定义)四、抛物线类型：10、定义法：（选修2-1）点M(x ,y )与定点F(2，0)的距离和它到定直线2-=x 的距离相等，求点M 的轨迹方程。

（或：点M(x ,y )与定点F(2，0)的距离比它到定直线3-=x 的距离小1，求点M 的轨迹方程。

）（2013陕西卷文20）已知动点),(y x M 到直线4:=x l 的距离是它到点)0,1(N 的距离的2倍。

（1）求动点M 的轨迹C 的方程（2）过点)3,0(P 的直线m 与轨迹C 交于B A ,两点，若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率 已知三点(0,0)O ，(2,1)A -，(2,1)B ，曲线C 上任意一点(,)M x y 满足||()2MA MB OM OA OB +=⋅++。

（1）求曲线C 的方程；）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的点均在C 2：（x-5）2＋y 2=9外，且对C 1上任意一点M ，M 到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值.（Ⅰ）求曲线C 1的方程；（湖北）设A 是单位圆x 2+y 2=1上的任意一点，i 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线i 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足丨DM 丨=m 丨DA 丨（m>0,且m ≠1）。

当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C 。

（I ）求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；（辽宁）如图，椭圆0C ：22221(0x y a b a b +=>>，a ，b 为常数)，动圆22211:C x y t +=，1b t a <<。

点12,A A 分别为0C 的左，右顶点，1C 与0C 相交于A ，B ，C ，D 四点。

(Ⅰ)求直线1AA 与直线2A B 交点M 的轨迹方程;（四川）如图，动点M 到两定点(1,0)A -、(2,0)B 构成MAB ∆，且2MBA MAB ∠=∠，设动点M 的轨迹为C 。

（Ⅰ）求轨迹C 的方程；（Ⅱ）设直线2y x m =-+与y 轴交于点P ， 与轨迹C 相交于点Q R 、，且||||PQ PR <， 求||||PR PQ 的取值范围。

1.(★★★★)已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线2.(★★★★)设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( ) A.14922=+y x B.14922=+x y C.14922=-y x D.14922=-x y二、填空题3.(★★★★)△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B (－2a ,0),C (2a ,0)，且满足条件sin C －sin B =21sin A ,则动点A 的轨迹方程为_________.4.(★★★★)高为5 m 和3 m 的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m ，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A (－5，0)、B (5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________.三、解答题5.(★★★★)已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB |=|BC |=6，⊙O ′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.6.(★★★★)双曲线2222by a x -=1的实轴为A 1A 2，点P 是双曲线上的一个动点，引A 1Q ⊥A 1P ，A 2Q ⊥A 2P ，A 1Q 与A 2Q 的交点为Q ，求Q 点的轨迹方程.8.(★★★★★)已知椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0),点P 为其上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，∠F 1PF 2的外角平分线为l ，点F 2关于l 的对称点为Q ，F 2Q 交l 于点R .(1)当P 点在椭圆上运动时，求R 形成的轨迹方程；(2)设点R 形成的曲线为C ，直线l ：y =k (x +2a )与曲线C 相交于A 、B 两点，当△AOB 的面积取得最大值时，求k 的值.一、1.解析：∵|PF 1|+|PF 2|=2a ,|PQ |=|PF 2|,∴|PF 1|+|PF 2|=|PF 1|+|PQ |=2a ,即|F 1Q |=2a ,∴动点Q 到定点F 1的距离等于定长2a ,故动点Q 的轨迹是圆.2.解析：设交点P (x ,y ）,A 1(－3,0),A 2(3,0),P 1(x 0,y 0),P 2(x 0,－y 0)∵A 1、P 1、P 共线，∴300+=--x yx x y y ∵A 2、P 2、P 共线，∴300-=-+x yx x y y 解得x 0=149,149,3,92220200=-=-=y x y x x y y x 即代入得 二、3.解析：由sin C －sin B =21sin A ,得c －b =21a ,∴应为双曲线一支，且实轴长为2a ,故方程为)4(1316162222a x a y a x >=-. 答案：)4(1316162222ax ay a x >=- 4.解析：设P (x ,y ），依题意有2222)5(3)5(5y x y x +-=++,化简得P 点轨迹方程为4x 2+4y 2－85x +100=0.答案：4x 2+4y 2－85x +100=0三、5.解：设过B 、C 异于l 的两切线分别切⊙O ′于D 、E 两点，两切线交于点P .由切线的性质知：|BA |=|BD |，|PD |=|PE |，|CA |=|CE |，故|PB |+|PC |=|BD |+|PD |+|PC |=|BA |+|PE |+|PC |=|BA |+|CE |=|AB |+|CA |=6+12=18＞6=|BC |，故由椭圆定义知，点P 的轨迹是以B 、C 为两焦点的椭圆，以l 所在的直线为x 轴，以BC 的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P 的轨迹方程为728122y x +=1(y ≠0) 6.解：设P (x 0,y 0）(x ≠±a ),Q (x ,y ). ∵A 1(－a ,0),A 2(a ,0).由条件⎪⎩⎪⎨⎧-=±≠-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅--=+⋅+y a x y a x x x ax y a x y a x y a x y 220000000)( 11得 而点P (x 0,y 0)在双曲线上，∴b 2x 02－a 2y 02=a 2b 2.即b 2(－x 2)－a 2(yax 22-)2=a 2b 2化简得Q 点的轨迹方程为：a 2x 2－b 2y 2=a 4(x ≠±a ). 8.解：(1)∵点F 2关于l 的对称点为Q ，连接PQ ， ∴∠F 2PR =∠QPR ，|F 2R |=|QR |，|PQ |=|PF 2|又因为l 为∠F 1PF 2外角的平分线，故点F 1、P 、Q 在同一直线上，设存在R (x 0,y 0）,Q (x 1,y 1),F 1(－c ,0),F 2(c ,0). |F 1Q |=|F 2P |+|PQ |=|F 1P |+|PF 2|=2a ,则(x 1+c )2+y 12=(2a )2.又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=221010y y c x x 得x 1=2x 0－c ,y 1=2y 0.∴(2x 0)2+(2y 0)2=(2a )2，∴x 02+y 02=a 2. 故R 的轨迹方程为：x 2+y 2=a 2(y ≠0)(2)如右图，∵S △AOB =21|OA |·|OB |·sin AOB =22a sin AOB当∠AOB =90°时，S △AOB 最大值为21a 2.此时弦心距|OC |=21|2|kak +.在Rt △AOC 中，∠AOC =45°，.33,2245cos 1|2|||||2±=∴=︒=+=∴k k a ak OA OC 专题一：求曲线的轨迹方程课前自主练习：1．如图1，ABC ∆中，已知(2,0)B -，(2,0)C ，点A 在x 轴上方运动，且tan tan 2B C +=，则顶点A的轨迹方程是 ．2．如图2，若圆C ：22(1)36x y ++=上的动点M 与点(1,0)B 连线BM 的垂直平分线交CM 于点G ， 则G 的轨迹方程是 ．3．如图3，已知点(3,0)A ，点P 在圆221x y +=上运动，AOP ∠的平分线交AP 于Q ，则Q 的轨迹方x yO Q •••P A x yO •••B •A Q P x y O B A C •••图1 图2 图3 图4 B G C M O y x ••• •程是 ．4．与双曲线2222x y -=有共同的渐近线，且经过点(2,2)-的双曲线方程为 ． 5．如图4，垂直于y 轴的直线与y 轴及抛物线22(1)y x =-分别交于点A 、P ，点B 在y 轴上，且点A 满足||AB 2||OA =，则线段PB 的中点Q 的轨迹方程是 ．几种常见求轨迹方程的方法：1．直接法：由题设所给（或通过分析图形的几何性质而得出）的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．直接法求轨迹方程的一般步骤： 建系——设点——列式——代换——化简——检验；【例1】（1）求和定圆222x y R +=的圆周的距离等于R 的动点P 的轨迹方程；（2）过点(,0)A a 作圆O ：222x y R +=(0)a R >>的割线，求割线被圆O 截得弦的中点的轨迹．解：（1）设动点(,)P x y ，则有||OP 2R =或||OP 0=．即2224x y R +=或220x y +=．故所求动点P 的轨迹方程为2224x y R +=或220x y +=．（2）设弦的中点为(,)M x y ，连结OM ，则OM AM ⊥．∵1OM AM k k ⋅=-，∴1y y x x a ⋅=--，化简得：222()()22a a x y -+=． 其轨迹是以OA 为直径的圆在圆O 内的一段弧（不含端点）．【例2】已知直角坐标平面上一点(2,0)Q 和圆C ：221x y +=，动点M 到圆C 的切线长等于圆C 的半径与||MQ 的和．求动点M解：如图，设MN 切圆C 于N ，又圆的半径||ON 1=，∴2||OM =22||||NM ON +=2||1NM +，∴||MN =||MN =||1MQ +． 设(,)M x y 1=，∴23x -=223850x y x --+=3()2x ≥．可化为2249()313x y --=　3()2x ≥　． 故所求的轨迹是以点4(,0)3为中心，实轴在x 轴上的双曲线的右支，顶点为5(,0)3，如图．【例4】已知定圆A 的半径为r ，定点B 与圆A 的圆心A 的距离为 (2)m m r >．又一动圆P 过定点B ，且与定圆A 相切．求动圆圆心P 的轨迹方程．解：以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的中点为原点建立坐标系，如图．当动圆P 与定圆A 外切时，||||PA PB -r =；当动圆P 与定圆A 外切时，||||PB PA -r =． 由双曲线的定义知动圆圆心P 的轨迹应是以A 、B 为两焦点的双曲线（外切时为右支，内切时为左支）．显然，2mc =，又2r a =，故222224m r b c a -=-=．所以所求的点P 轨迹方程是：22222144x y r m r -=-． 3．动点转移法：若动点(,)P x y 随已知曲线上的点00(,)Q x y 的变动而变动，且0、0可用、表示，则将Q 点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P 的轨迹方程．这种方法称为动点转移法（或代换法或相关点法）．【例5】已知定点(3,1)A 、B 为抛物线21y x =+，上任意一点，点P 在线段AB 的中点，当B 点在抛物线上变动时，求点P 的轨迹方程．解：设点(,)P x y ，且设点00(,)B x y ，则有2001y x =+．∵点P 是线段AB 的中点．由中点坐标公式得：003212x x y y +⎧=⎪⎨+⎪=⎩，∴002321x x y y =-⎧⎨=-⎩．将此式代入2001y x =+中，并整理得：2(21)22y x -=-，即为所求轨迹方程．它是一条抛物线．4．待定系数法：当动点的轨迹是确定的某种曲线时，设出这种曲线的方程，然后列方程，求出所设的参数，进而求出方程．如求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求． 【例7】若抛物线24y x =和以坐标轴为对称轴、实轴在y 轴上的双曲线仅有两个公共点，又直线2y x =被双曲线截得的线段长等于解：设所求双曲线方程为22221y x a b-=，将24y x =代入整理得：2222240a x b x a b -+=．∵抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等， 因此方程2222240a x b x a b -+=应有等根．∴4321640b a b ∆=-=，即22a b =．由2y x =和22221y x a b-=得：22222(4)0b a x a b --=．由弦长公式得：== 即22224a b b a =-．由2222224a b a b b a⎧=⎨=-⎩得：22a =，21b =．∴双曲线的方程是2212y x -=． 5．参数法：当动点P 的坐标x 、y 之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量t ，并用t 表示动点P 的坐标x 、y ，从而动点轨迹的参数方程()()x f t y g t =⎧⎨=⎩消去参数t ，便可得到动点P 的的轨迹的普通方程，但要注意方程的等价性，即有t 的范围确定出x 、y 的范围．【例8】抛物线24x y =的焦点为F ，过点(0,1)-作直线交抛物线于不同两点A 、B ，以AF 、BF 为邻边作平行四边形FARB ，求顶点R 的轨迹方程．解：设(,)R x y ，AB ：1y kx +=，AB 中点为00(,)M x y ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，与24x y =联立得：2440x kx -+=．216(1)0k ∆=->，124x x k +=，124x x ⋅=． 212122()4y y k x x k ++=+=，21242y y k +=-．2(2,21)M k k -，∵(0,1)F ，M 为AB 中点，∴4x k =，243y k =-．消k 得：24(3) (1)x y y =+>　． 巩固练习：1．平面上和两相交的定圆（半径不等）同时相外切的动圆圆心的轨为（（A ）椭圆的一部分 （B ）椭圆 （C ）双曲线的一部分 （D ）双曲线 2．已知动点M 与定点)0,2(F 的距离比动点M 到y 轴的距离大2，则动点M 的轨迹（ ）（A ）抛物线 （B ）抛物线的一部分 （C ）抛物线和一射线 （D ）抛物线和一直线 3．已知定直线l 和l 外一点A ，过A 与l 相切的圆的圆心轨迹是（ ）（A ）抛物线 （B ）双曲线 （C ）椭圆 （D ）直线 4．一动圆与两圆221x y +=和228120x y x +-+=都外切，则动圆圆心轨迹为（ ）（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线的一支 （D ）抛物线5．已知椭圆的焦点是1F 、2F 、P 是椭圆上的一个动点．如果延长1F P 到Q ，使得||PQ =2||PF ，那么 动点Q 的轨迹是（ ）（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线的一支 （D ）抛物线 6．已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点(,)P x y 满足2PA PB x ⋅=，则点P 的轨迹是（ ）（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 7．与圆2240x y x +-=外切，又与y 轴相切的圆的圆心的轨迹方程是（ ）（A ）28y x = （B ）28 (0)y x x =>和0y = （C ）28y x =(0)x > （D ）28 (0)y x x =>和0 (0)y x =<8．过抛物线22y x =的焦点作直线与此抛物线相交于两点P 、Q ，则线段PQ 中点的轨迹方程为（ ）（A ）221y x =- （B ）221y x =-+ （C ）222y x =- （D ）222y x =-+9．过点(,)P x y 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA =，且1OQ AB ⋅=，则点P 的轨迹方程是（ ）（A ）2233 1 (0, 0)2x y x y +=>> （B ）2233 1 (0, 0)2x y x y -=>>（C ）2233 1 (0, 0)2x y x y -=>> （D ）2233 1 (0, 0)2x y x y +=>>10．已知两点(2,0)M -、(2,0)N ，点P 为坐标平面内的动点，满足||||0MN MP MN NP ⋅+⋅=，则动点(,)P x y 的轨迹方程为（ ）（A ）28y x = （B ）28y x =- （C ）24y x = （D ）24y x =-11．与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且经过点(-的双曲线方程是（ ） （A ）224149x y -= （B ）224149y x -= （C ）224149x y -=- （D ）224149y x -=- 12．设P 为双曲线2214x y -=上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是 ．13．已知1(,0)2A -，B 是圆F ：221()42x y -+=（F 为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为 ．14．倾斜角为45︒的直线交椭圆1422=+y x 于A 、B 两点，则线段AB 中点的轨迹方程是 ． 15．求焦点在坐标轴上，中心在原点且经过2)A -和(B -两点的椭圆方程 ．16．已知双曲线与椭圆22464x y +=共焦点，它的一条渐近线方程为0x -=，则双曲线的方程是．17．已知Q 是椭圆2222 1 (0)x y a b a b +=>>　上的任意一点，从右焦点2F 作12FQF ∠的外角平分线的垂线，垂足为P ，求P 点的轨迹方程．18．如图，直线1l ： (0)y kx k =>与直线2l ：y kx =-之间的阴影区域 （不含边界）记为W ，其左半部分记为1W ，右半部分记为2W ．（1）分别用不等式组表示1W 和2W ；（2）若区域W 中的动点(,)P x y 到1l ，2l 的距离之积等于2d ，求点P 的轨迹C 的方程；19．设椭圆方程为1422=+y x ，过点(0,1)M 的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足 2OP OA OB =+，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程．20．过双曲线C ：2213y x -=的左焦点F 作直线l 与双曲线C 交于P 、Q以线段OP 、OQ 为邻边作平行四边形OPMQ ，求顶点M 的轨迹方程． 21．设点A 和B 为抛物线24 (0)y px p =>上原点以外的两个动点，已知OA OB ⊥，OM AB ⊥，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．。