② 在点2处
2
力矩 M 2
力矩定义式 M r v
P
{ 方向：垂直图平面向里， 大小； M 2 Gm0m / R
R
m
900
m0
1

角动量 L2
同上理可得 m 的速度v2 Gm0 / R
{
方向：垂直图平面向外，
L2
大小； L2 m Gm0 R
例4、地球在远日点时，它离太阳的距离为r1 1.52 1011 m，
子从静止开始以速度 v 相对绳子向上爬，求重物上升
的速度。
(复习题一、三. 19)
解 设猴子、重物对地面的速度分别为 v1、v 2 。
由猴、重物组成的系统角动量守恒，得
v1 v2
R
∵ v1 v猴绳 v绳-地 v v绳-地
v1
v2
而 v绳地 v物地 v2 , 则 v1 v v2
物体运动仅受有心力作用时， 力对力心 O点的力矩始终为零。
m 有心
在有心力作用下，运动物体
r 力F
对力心 O 的角动量守恒。
力心o
L1 L2
r1

mv1

r2

mv2
行星绕太阳运动：
引力指向太阳，行星在引
力动的(，力有而矩心且为力零)r作，//F用M，下对r绕 力太F心阳O0运,
，且有
d
2 2

d12

d
2 3
，试求：(1)小球所受重
{ 力相对 A,
解 (1) MA
B力, 矩C 的M力矩r；
(2)小球相对 F
方向：垂直图平面向里，
大小；

M
A

mgd 1
g
A,
A
B,
C的角动量。
d1 m
v
d2
d3
MB MA
(2) 角动量

MC 0

L r mv
d
m
A
vA
例6 质量同为m 的两个小球系于一轻质弹簧两端，放在
光滑水平桌面上，弹簧处于自由伸长状态，长为 a ，其
劲度系数为 k，今使两球同时受水平冲量作用，各获得
与连线垂直的等值反向初速度，如图所示。若在以后运
动过程中弹簧可达的最大长度 b 2a ，试求两球初速度
大小v0 。
解 两球和弹簧视为系统。
[C]
第五章 角动量、角动量守恒定律
本章主要阐述三个问题：
1）角动量。 2）角动量守恒定律。 33）有心力与角动量守恒定律。
5-3 有心力与角动量守恒定律
自然界中有些力具有这样的性质：力的方向始终通过 某一固定点，力的大小仅依赖于质点与这个点之间的距离。 我们称这样的力为有心力，相应的固定点称为力心。例如， 万有引力是有心力；静电作用力也是有心力。
方向：用右手螺旋法则确定，
z
方向垂直于r和p组成的平面。
L
单位：千克·米2/秒（kg·m2/s）。 o
y v
p
rm x
下面我们研究两个有代表性的例子：
（1） 质点作直线运动
在这种情况下，质点相对于O点的角动量只有量值的改变，
而方向不变。
大小：L mvrsin ，
方向：始终垂直纸面向外。
（2）质点作圆周运动 质点相对于圆心O的角动量
dt

对于质点系，因 M内
i
M
对应平动公式
i内 0 ，所以
M
F 外
d p d t
dL。 dt
3. 角动量守恒定律
对某一固定点o，若质点所受的合力矩为零，
则质即点M对 该 固0, 定点则的角M动 量d守L恒。0
L

常矢量
dt
对于质点系，若系统所受的合外力矩为零，
系统角动量守恒。有
m1v1R m2v2 R
∴ v1 v2
而 v绳地 v物地 v2 ,
则 v1 v v2
故
v2

v 2
R
T1
T2
m2 g m1 g
第五章 角动量、角动量守恒定律
---1957年10月4日，前苏联在哈萨克斯坦共和国中部的拜科努尔航天 中心成功地发射了世界上第一颗人造地球卫星---“人造卫星1号”。
B
C
{ L

A

0
方向：垂直图平面向里，
LB 大小；LB mvd 3
LC LB
例3、质量 m0 的质点固定不动，在它的万有引力的作用
下，质量 m 的质点作半径为 R的圆轨道运动。取圆周上 P
点受为的参力考矩点M，1 和如质图点所的示角，动试量求L：1 ；①②质质点点mm在在图图中中点点1处2处所
宏观: 行星绕太阳运动
微观: 电子绕原子核运动
第五章 角动量、角动量守恒定律
本章主要阐述三个问题：
11）角动量。 2）角动量守恒定律。 3）有心力与角动量守恒定律。
5-1 角动量
定义： 质点m相对o点的位矢r，动量为p=mv，则质
点相对固定点O的角动量L为
L

r

p

r

mv
大小：L=rpsin = mrvsin
∴
v2

v 2
机械能不守恒
猴加速上爬过程中，绳对猴的拉力 T1 大于猴的重力 m1 g，由于轻绳各处张力相 等，所以在另一端绳对重物的拉力T2和 T1 相等，又因为猴和物相同质量，m1 m2 ,
所以绳子拉力 T1 T2 , ，又有T2＞ m2 g,
因而重物也将加速上升。对于猴、重物、
地球组成的系统，外力 T1、T2 二者做功之
运动速率v1 2.93 10 4 m s，当地球在近日点时，它离太阳的
距离r2 1.47 1011 m，则运动速率v为多少？ (练习三、 11)
解
地球在引力(有心力)作用下绕太阳运动，
对力心O 的力矩为零，因此角动量守恒。
即， mr v mr v
11
22
∴
v
rv 11
3.03104 m
O
x
力矩为一常量；方向，垂直
于屏幕向内。
(2) 角动量
L

r

P

m
y
∴ L b mv b mgt mgbt
方向：垂直于屏幕向内。
例2、如图所示，质量 m 的小球某时刻具有水平朝右的速
度 v ，小球相对图示长方形中 A, B, C 三个顶点的距离分
别是
d1
,
d
2
,
d
3
人类历史上第一颗人造卫星
这颗卫星虽然很小，直径只 有 58 厘米，仅中 83.6 千克，内 部结构也很简单，只装有一台双 频小型发报机、温度计以及电池 等，但它却具有重要的历史意义， 宣告了人类航天时代的到来。
第五章 角动量、角动量守恒定律
--- 1958年1月31日，美国也把它的第一颗人造卫星---“探险者1号”送 入轨道。它首先发现了地球周围存在着大量被地磁场俘获的带电粒子 区域---地球辐射带。 --- 1970年4月24日，我国也成功地发射了第一颗人造卫星---“东方红1 号” ，成为继前苏联、美、法、日之后第五个能够发射卫星的国家， 也标志着我国开始跻身于世界航空科技的大国之列。此后，我国又掌 握了一箭多星技术，于1981年首次用一枚运载火箭把三颗卫星送入各 自轨道。
则系统角动量的矢量和守恒。
即
M外 0,
则
M外

dL dt

0

L Li 常矢量
i
例 质点系的内力可以改变
（A）系统的总质量。 （B）系统的总动量。 （C）系统的总动能。 （D）系统的总角动量。
[ C]
例 一质点作匀速率圆周运动时,
（A）它的动量不变，对圆心的角动量也不变。 （B）它的动量不变，对圆心的角动量不断改变。 （C）它的动量不断改变，对圆心的角动量不变。 （D）它的动量不断改变，对圆心的角动量也不断改变。
v0
a
因对称，弹簧中点 O 相对于 桌面不动。系统所受外力冲量
m
k
m
v0
矩为零，系统对 O点角动量守恒；外力做功为零，
系统机械能守恒。
由角动量守恒：
2mv0

a 2

2mv
b 2
式中，v为弹簧最大长度 b时的速度.
v0
a
m
由系统机械能守恒：
m
k
v0
2
1 2mv21 2k (b

a)2

2
l
l
m
o
第五章 角动量、角动量守恒定律
角动量的概念是在研究物体转动问题时引入的。与动 量、能量一样，角动量也是一个描述质点和质点系运动状 态的基本物理量；角动量守恒定律也是一个与动量守恒定 律和能量守恒定律并列的守恒定律。但是，角动量的概念 和数学表达要比动量、能量复杂一些。
〔例〕质点绕某一中心转动
M Mi外 M外
i
2. 角动量定理
将质点的角动量对时间求导
dL
d
(r
p) d r
p r d p
dt dt
dt
dt
第一项
d r p v (mv) 0
第二项
dt r
d
p

r

F

M
角动量定律
M

d
dt L
L
rsin
or v
m
L
p mv