直线与圆锥曲线的综合问题适用学科高中数学适用年级高二适用区域陕西西安课时时长（分钟）60分钟知识点范围问题对称问题定点、定值、最值等问题教学目标进一步理解圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质，体会“解析法”思想，会从代数与几何两个角度分析和解决曲线的最值问题，并会进行合理的选择.教学重点能利用解析法研究圆锥曲线中的范围问题、对称问题和最值问题．教学难点定点、定值、最值等问题的探究过程．教学过程一、复习预习圆锥曲线的综合问题包括：解析法的应用，与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、参数问题、应用题和探索性问题，圆锥曲线知识的纵向联系，圆锥曲线知识和三角、复数等代数知识的横向联系，解答这部分试题，需要较强的代数运算能力和图形认识能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整.二、知识讲解考点1范围问题求范围和最值的方法：几何方法：充分利用图形的几何特征及意义，考虑几何性质解决问题代数方法：建立目标函数，再求目标函数的最值．考点2对称问题要抓住对称包含的三个条件：(1)中点在对称轴上(2)两个对称点的连线与轴垂直(3)两点连线与曲线有两个交点(0>∆),通过该不等式求范围考点/易错点3定点、定值、最值等问题定点与定值问题的处理一般有两种方法：（1）从特殊入手，求出定点和定值，再证明这个点（值）与变量无关; （2）直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点（定值）．三、例题精析【例题1】【题干】已知椭圆1:22221=+by a x C （0>>b a ）与直线01=-+y x 相交于两点A 、B ．当椭圆的离心率e 满足2223≤≤e ，且0=⋅OB OA （O 为坐标原点）时，求椭圆长轴长的取值范围． 【答案】[]6,5【解析】由⎩⎨⎧=-+=+01222222y x b a y a x b ，得()()012222222=-+-+b a x a x b a由()0122222>-+=∆b a b a ，得122>+b a此时222212b a a x x +=+，()2222211ba b a x x +-=由0=⋅OB OA ，得02121=+y y x x ，∴()0122121=++-x x x x即022222=-+b a b a ，故12222-=a a b由222222ab a ac e -==，得2222e a a b -= ∴221112ea -+= 由2223≤≤e 得23452≤≤a ，∴625≤≤a 所以椭圆长轴长的取值范围为[]6,5【例题2】【题干】已知椭圆132:22=+y x C ，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4:，椭圆C 上有不同两点关于这条直线对称. 【答案】522522<<-m 【解析】解法一：设存在两点()11,y x A 、()22,y x B 关于l 对称，中点为()00,y x C ，则AB 所在直线为b x y +-=41.与椭圆联立得：06282522=-+-b bx x ， ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⨯-=+==+=25242544122542210210b b b y y y b x x x∵C 在m x y +=4上, ∴m b b +⨯=42542524， 825m b =.又∵ ()062825422>-⨯-=∆b b ，故8252<b ，即8258252<⎪⎭⎫ ⎝⎛m ，解得：522522<<-m . 由上可知: 当 522522<<-m 时,椭圆C 上有不同两点关于直线m x y +=4对称. 解法二：设存在两点()11,y x A 、()22,y x B 关于l 对称，中点为()00,y x C ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+62362322222121y x y x ， 得 ()()4123230021212121-=-=++-=--y x y y x x x x y y ， ∴ 006x y =联立m x y +=004，解的20mx =，m y 30=, ∵M 在椭圆内部，∴()1332222<+⎪⎭⎫ ⎝⎛m m 即522522<<-m 由上可知: 当522522<<-m 时,椭圆C 上有不同两点关于直线m x y +=4对称.【例题3】【题干】已知P 、Q 是椭圆124:22=+y x C 上的两个动点，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛26,1M 是椭圆上一定点，F 是其左焦点，且PF 、MF 、QF 成等差数列．求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ；【解析】证明：设()11,y x P 、()22,y x Q ，由椭圆的标准方程为12422=+y x 知 ()()1212121212222222x x x y x PF +=-++=++=同理2222x OF +=，222+=MF ． ∵QF PF MF +=2，∴()212242222x x ++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+，∴221=+x x ①当21x x ≠时，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+424222222121y x y x ，得()()0222212221=-+-y y x x ，从而有2121212121y y x x x x y y ++-=-- 设线段PQ 的中点为()n N ,1，由nx x y y k PQ 212121-=--=，得线段PQ 的中垂线方程为()12-=-x n n y ∴()012=--y n x ，该直线恒过一定点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21A ．②当21x x =时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-26,1P ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛26,1Q ，或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-26,1Q ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛26,1P 线段PQ 的中垂线是x 轴，也过点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21A ，∴线段PQ 的中垂线恒过定点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21A ．四、课堂运用【基础】1.已知A 、B 、C 三点在曲线x y =上，其横坐标依次为1，m ,4(41<<m )，当ABC∆的面积最大时，m 等于( )A.3B.49 C.25 D.23 【答案】B【解析】由题意知()1,1A ，()m m B ,,()2,4C .直线AC 所在方程为023=+-y x ,点B 到该直线的距离为10|23|+-=m m d .|41)23(|21|23|2110|23|1021||212--=+-=+-⨯⨯=⋅=∆m m m m m d AB S ABC ∵()4,1∈m ,∴当23=m 时，ABC S ∆有最大值，此时49=m . 2.设R v u ∈,，且2≤u ,0>v ,则()22292⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-v u v u 的最小值为( )A.4B.2C.8D.22【答案】C【解析】考虑式子的几何意义，转化为求圆222=+y x 上的点与双曲线9=xy 上的点的距离的最小值.3.A 是椭圆长轴的一个端点，O 是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P ，使2π=∠OPA ,则椭圆离心率的范围是_________. 【答案】122<<e【解析】设椭圆方程为12222=+b y a x (0>>b a ),以OA 为直径的圆：022=+-y ax x ,两式联立消y 得022222=+--b ax x ab a .即0222=+-b ax x e ,该方程有一解2x ,一解为a ,由韦达定理x 2=a eax -=22,a x <<20，即12202<<⇒<-<e a a e a . 4.一辆卡车高3米，宽6.1米，欲通过抛物线形隧道，拱口宽恰好是抛物线的通径长，若拱口宽为a 米，则能使卡车通过的a 的最小整数值是_________. 【答案】13【解析】由题意可设抛物线方程为ay x -=2,当2a x =时，4ay -=；当8.0=x 时，a y 64.0-=.由题意知364.04≥-aa ,即056.2122≥--a a .解得a 的最小整数为13.【巩固】1.已知抛物线12-=x y 上一定点()0,1-B 和两个动点P 、Q ，当P 在抛物线上运动时，PQ BP ⊥，则Q 点的横坐标的取值范围是_________.【答案】(][)+∞-∞-,13,【解析】设()1,2-t t P ，()1,2-s s Q∵PQ BP ⊥,∴1)1()1(11222-=----⋅+-ts t s t t , 即()0112=+--+s t s t∵R t ∈,∴必须有()()01412≥-+-=∆s s .即0322≥-+s s ,解得3-≤s 或1≥s .2.已知直线1-=kx y 与双曲线122=-y x 的左支交于A 、B 两点，若另一条直线l 经过点()0,2-P 及线段AB 的中点Q ，求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围.【答案】22+>b 或2-<b【解析】设()11,y x A ,()22,y x B .由⎩⎨⎧=--=1122y x kx y ,得()022122=-+-kx x k , 又∵直线AB 与双曲线左支交于A 、B 两点，故有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>--=<--=+>-+=∆≠-0120120)1(8)2(01221221222k x x k k x x k k k解得12-<<-k ，设()00,y x Q ，则221012k k x x x +-=+=，111200-=-=k kx y ． l 的斜率为22121112022200-+=+--=+-k k k k k x y ． ∴l 的方程为()22212+-+=x k k y ． 令0=x ，则2222-+=k k b ，又()1,2--∈k ， ∴()22,1222--∈-+k k ，即22+>b 或2-<b3.已知抛物线x y C 4:2=.(1)若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线C 的焦点F 及准线l 分别重合，试求椭圆短轴端点B 与焦点F 连线中点P 的轨迹方程；(2)若()0,m M 是x 轴上的一定点，Q 是(1)所求轨迹上任一点，试问MQ 有无最小值？若有，求出其值；若没有，说明理由.【答案】⑴12-=x y （1>x ）;⑵45m in-=m MQ【解析】由抛物线x y 42=,得焦点()0,1F ,准线1:-=x l .(1)设()y x P ,，则()y x B 2,12-,椭圆中心O ',则e BF O F =':,又设点B 到l 的距离为d ,则e d BF =:,∴d BF BF O F ::=',即()()()22222222-=+-x x y x ,化简得P 点轨迹方程为12-=x y （1>x ）.(2)设()y x Q ,,则()45211)(2222-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-=+-=m m x x m x y m x MQ （1>x ）(ⅰ)当121≤-m ,即23≤m 时，函数45212-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=m m x t 在()+∞,1上递增，故t 无最小值，亦即MQ 无最小值.(ⅱ)当121>-m ,即23>m 时，函数45212-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=m m x t 在21-=m x 处有最小值45-m ,∴45m in -=m MQ .【拔高】1.如图，ADB 为半圆，AB 为半圆直径，O 为半圆圆心，且AB OD ⊥，Q 为线段OD 的中点，已知4=AB ，曲线C 过Q 点，动点P 在曲线C 上运动且保持PB PA +的值不变.(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程；(2)过D 点的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M 、N ，且M 在D 、N 之间，设λ=DNDM，求λ的取值范围. 【答案】(1)1522=+y x ；(2)⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈1,31λ． 【解析】(1)以AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，O 为原点，建立平面直角坐标系， ∵45212222=>=+=+=+AB QB QA PB PA . ∴曲线C 为以原点为中心，A 、B 为焦点的椭圆.设其长半轴为a ,短半轴为b ,半焦距为c ,则522=a ,∴5=a ,2=c ,1=b .∴曲线C 的方程为1522=+y x . (2)设直线l 的方程为2+=kx y ,代入1522=+y x ,得()015205122=+++kx x k . ()()0511542022>+⨯-=∆k k ,得532>k .由图可知λ==21x x DN DM由韦达定理得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⋅+-=+22122151155120k x x k k x x将21x x λ=代入得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=λ+=λ+2222222225115)51(400)1(k x k k x 两式相除得)15(380)51(15400)1(2222k k k +=+=λλ+ ∵532>k ，35102<<k ，∴5205152<+<k ，即3165138042<⎪⎭⎫ ⎝⎛+<k ∴()31614<+<λλ，∵0>=DN DMλ,∴解得331<<λ ①∵DNDMx x ==21λ，M 在D 、N 中间，∴1<λ②又∵当k 不存在时，显然31==DN DM λ (此时直线l 与y 轴重合). 综上⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈1,31λ课程小结解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的.(1)对于求曲线方程中参数的取值范围问题，需构造参数满足的不等式，通过求不等式(组)求得参数的取值范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域.(2)对于圆锥曲线的最值问题，解法常有两种：当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值.课后作业【基础】1.已知抛物线px y 22=上有一内接正AOB ∆，O 为坐标原点.求证：点A 、B 关于x 轴对称；xyOAB【解析】设()11,y x A ，()22,y x B ，∵OB OA =，∴22222121y x y x +=+，∴22212122px x px x +=+，即()()022121=++-p x x x x ，∵01>x ，02>x ，0>p ，∴21x x =，21y y -=，故点A 、B 关于x 轴对称2.若直线l 过圆02422=-++y x y x 的圆心M 交椭圆149:22=+y x C 于A 、B 两点，若A 、B 关于点M 对称，求直线l 的方程．【答案】02598=+-y x【解析】()1,2-M ，设()11,y x A ，()22,y x B ，则421-=+x x ，221=+y y又1492121=+y x ，1492222=+y x ，两式相减得：04922212221=-+-y y x x ， 化简得()()()()09421212121=-++-+y y y y x x x x ， 把421-=+x x ，221=+y y 代入得981212=--=x x y y k AB故所求的直线方程为()2211--=-x y ，即042=-+y x 所以直线l 的方程为 ：02598=+-y x .3.在抛物线x y 42=上恒有两点关于直线3+=kx y 对称，求k 的取值范围. 【答案】()0,1-【解析】 （1）当0=k 时，曲线上不存在关于直线对称的两点．（2）当0≠k 时，设抛物线x y 42=上关于直线对称的两点()11,y x A ，()22,y x B ，AB 的中点为()00,y x M ，则直线AB 的斜率为k 1- ，可设直线b x ky AB +-=1: 代入x y 42=得0442=-+kb ky y016162>+=∆kb k （*） k y y 421-=+，kb y y 421-=⋅k y 20-=，()kb k kb y y k x x 24222121+=++-=+，kb k x +=202∵M 在直线3+=kx y 上，∴()3222++=-kb k k k ∴kk bk 3222---=， 代入（*）得即()()01312<⋅+-+kk k k 又032>+-k k 恒成立，所以01<<-m ． 综合（1）（2），k 的取值范围是()0,1-【巩固】1.已知P 是椭圆124:22=+y x C 的动点，点⎪⎭⎫⎝⎛0,21A 关于原点O 的对称点是B ，若PB 的最小值为23，求点P 的横坐标的取值范围． 【答案】2-=x 或20≤≤x 【解析】由⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21A ，得⎪⎭⎫⎝⎛-0,21B ，设()y x P ,()47121222121222222++=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x x y x PB ，∵23≥PB ，()49471212≥++x ，解得0≥x 或2-≤x 又22≤≤-x ∴2-=x 或20≤≤x2. 定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线x y =2上移动，记线段AB 的中点为M ，求点M 到y 轴的最短距离，并求此时点M 的坐标．【答案】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,45或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-22,45 【解析】 设()11,y x A ，()22,y x B ，()00,y x M ， 因AB 与x 轴不平行，故可设AB 的方程为a my x +=， 将它代入x y =2得02=--a my y ， ∴m y y =+21，a y y -=21由92=AB 得()()912212=-+y y m 即()()[]941212212=-++y y y y m∴()()94122=++a m m ，∴()414922m m a -+= （*） ()221210my y y =+=，()()a m a y y m x x x +=++=+=22221221210， 将（*）代入得()()4541234141149414922220=-≥-+++=++=m m m m x 当且仅当()4114922+=+m m 即22=m 时取等号，此时，41=a ，220±=y ，450=x 所以，点M 为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,45或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-22,45时，到y 轴的最短距离最小，最小值为45．3．已知椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点1F 1、2F 为顶点的三角形的周长为()124+．一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点．(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明：121=⋅k k .【答案】(1)14422=-y x ；(2)见解析． 【解析】(1)设椭圆的半焦距为c ，由题意知：22=a c ， ()12422+=+c a ，所以a ＝22，c ＝2， 又222c b a +=，因此2=b .故椭圆的标准方程为14822=+y x . 由题意设等轴双曲线的标准方程为12222=-my m x （0>m ），因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点， 所以2=m ，因此双曲线的标准方程为14422=-y x . (2)证明：()00,y x P ， 则2001+=x y k ，2002-=x y k . 因为点P 在双曲线422=-y x 上，所以42020=-y x .因此14222020000021=-=-⋅+=x yx y x y k k ， 即121=k k .【拔高】1．已知椭圆C 过点⎪⎭⎫⎝⎛23,1M ，两个焦点为()0,1-A ，()0,1B ，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 过点()0,1-A ，且与椭圆C 交于P ，Q 两点，求BPQ ∆的面积的最大值．【答案】(1)13422=+y x ；(2)3． 【解析】(1)由题意，1=c ，可设椭圆方程为112222=++by b x . 因为M 在椭圆上，所以1491122=++bb ， 解得32=b ，432-=b (舍去)． 所以椭圆方程为13422=+y x . (2)设直线l 方程为1-=ky x ，()11,y x P ，()22,y x Q ，则()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=⋅+=+⇒=--+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=4394360963413412212212222k y y k k y y ky y k yx ky x 所以4311221222121++=-⋅=∆k k y y F F S BPQ. 令t k =+12，则1≥t ，所以tt S BPQ 1312+=∆，而tt 13+在[)+∞,1上单调递增， 所以31312≤+=∆tt S BPQ ，当1=t 时取等号，即当0=k 时，BPQ ∆的面积最大值为3.。