高考达标检测（三十八） 圆锥曲线的综合问题——直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，且点A 在第一象限，若|AF |＝3，则直线l 的斜率为( )A ．1 B.2 C. 3D ．22解析：选D 由题意可知焦点F (1,0)，设A (x A ，y A )， 由|AF |＝3＝x A ＋1，得x A ＝2，又点A 在第一象限， 故A (2,22)，故直线l 的斜率为2 2.2．若直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝x 有一个公共点，则实数k 的值为( ) A. 18 B ．0C. 18或0 D ．8或0解析：选C 由⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，y 2＝x ，得ky 2－y ＋2＝0，若k ＝0，直线与抛物线有一个交点，则y ＝2， 若k ≠0，则Δ＝1－8k ＝0，∴k ＝18，综上可知k ＝0或 18.3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，过点P (3,6)的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (12,15)，则双曲线C 的离心率为( )A ．2 B.32 C.355D.52解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AB 的中点为N (12,15)，得x 1＋x 2＝24，y 1＋y 2＝30，由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式相减得：x 1＋x 2x 1－x 2a 2＝y 1＋y 2y 1－y 2b 2，则y 1－y 2x 1－x 2＝b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2＝4b 25a2.由直线AB 的斜率k ＝15－612－3＝1，∴4b 25a 2＝1，则b 2a 2＝54， ∴双曲线的离心率e ＝c a ＝1＋b 2a 2＝32. 4．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若MA ―→·MB ―→＝0，则k ＝ ( )A.12B.22C. 2D ．2解析：选D 如图所示，设F 为焦点，取AB 的中点P ，过A ，B 分别作准线l 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接MF ，MP ，由MA ―→·MB ―→＝0，知MA ⊥MB ，则|MP |＝12|AB |＝12(|AG |＋|BH |)，所以MP 为直角梯形BHGA 的中位线，所以MP ∥AG ∥BH ，所以∠GAM ＝∠AMP ＝∠MAP ， 又|AG |＝|AF |，AM 为公共边，所以△AMG ≌△AMF ， 所以∠AFM ＝∠AGM ＝90°，则MF ⊥AB ，所以k ＝－1k MF＝2.5．已知F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，A ，B 分别为其左、右顶点．O 为坐标原点，D 为其上一点，DF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段DF 交于点E ，与y 轴交于点M ，直线BE 与y 轴交于点N ，若3|OM |＝2|ON |，则双曲线的离心率为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C 如图，设A (－a,0)，B (a,0)，M (0，2m )，N (0，－3m )． 则直线AM 的方程为y ＝2m a x ＋2m ，直线BN 的方程为y ＝3max －3m .∵直线AM ，BN 的交点D (c ，y 0)， ∴2mc a ＋2m ＝3mc a －3m ，则c a＝5，∴双曲线的离心率为5.6．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455C.4105D.8105解析：选C 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎨⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0. 则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4t 2－15.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4×4t 2－15＝425·5－t 2， 故当t ＝0时，|AB |max ＝4105.二、填空题7．焦点是F (0,52)，并截直线y ＝2x －1所得弦的中点的横坐标是27的椭圆的标准方程为__________．解析：设所求的椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，直线被椭圆所截弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由题意，可得弦AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22， 且x 1＋x 22＝27，y 1＋y 22＝－37.将A ，B 两点坐标代入椭圆方程中，得⎩⎪⎨⎪⎧y 21a 2＋x 21b2＝1，y 22a 2＋x22b 2＝1.两式相减并化简，得a 2b 2＝－y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－2×－6747＝3，所以a 2＝3b 2.又c 2＝a 2－b 2＝50，所以a 2＝75，b 2＝25. 故所求椭圆的标准方程为y 275＋x 225＝1.答案：y 275＋x 225＝18．经过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，倾斜角为60°的直线与双曲线有且只有一个交点，则该双曲线的离心率为________．解析：∵经过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，倾斜角为60°的直线与双曲线有且只有一个交点，∴根据双曲线的几何性质知所给直线应与双曲线的一条渐近线y ＝bax 平行，∴b a＝tan 60°＝3，即b ＝3a ， ∴c ＝a 2＋b 2＝2a ，故e ＝c a＝2. 答案：29．抛物线x 2＝4y 与直线x －2y ＋2＝0交于A ，B 两点，且A ，B 关于直线y ＝－2x ＋m 对称，则m 的值为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2),联立⎩⎨⎧x 2＝4y ，x －2y ＋2＝0消去y ，得x 2－2x －4＝0.则x 1＋x 2＝2，x 1＋x 22＝1.∴y 1＋y 2＝12(x 1＋x 2)＋2＝3，y 1＋y 22＝32.∵A ，B 关于直线y ＝－2x ＋m 对称， ∴AB 的中点在直线y ＝－2x ＋m 上， 即32＝－2×1＋m ，解得m ＝72. 答案：72三、解答题10．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为33，过右焦点F 2(c,0)垂直于x 轴的直线与椭圆交于P ，Q 两点且|PQ |＝433，又过左焦点F 1(－c,0)作直线l 交椭圆于两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 上两点A ，B 关于直线l 对称，求△AOB 面积的最大值． 解：(1)由题意可知|PQ |＝2b 2a ＝433. ①又椭圆的离心率e ＝ca＝1－b 2a 2＝33，则b 2a 2＝23， ② 由①②解得a 2＝3，b 2＝2， ∴椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(2)由(1)可知左焦点F 1(－1,0),依题意，直线l 不垂直x 轴，当直线l 的斜率k ≠0时，可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，则直线AB 的方程可设为y ＝－1kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ＋m ，x 23＋y22＝1，整理得(2k 2＋3)x 2－6kmx ＋3k 2m 2－6k 2＝0，Δ＝(－6km )2－4×(2k 2＋3)(3k 2m 2－6k 2)＞0，则m 2k 2－2k 2－3＜0， ③ x 1＋x 2＝6km 2k 2＋3，x 1x 2＝3k 2m 2－6k 22k 2＋3.设AB 的中点为C (x C ，y C )， 则x C ＝x 1＋x 22＝3km 2k 2＋3，y C ＝2k 2m2k 2＋3. ∵点C 在直线l 上，∴2k 2m 2k 2＋3＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫3km 2k 2＋3＋1，则m ＝－2k －3k， ④此时m 2－2－3k 2＝4k 2＋6k2＋10＞0与③矛盾，故k ≠0时不成立.当直线l 的斜率k ＝0时，A (x 0，y 0)，B (x 0，－y 0)(x 0＞0，y 0＞0)，∴△AOB 的面积S ＝12·2y 0·x 0＝x 0y 0.∵x 203＋y 202＝1≥2 x 203·y 202＝63x 0y 0，∴x 0y 0≤62.当且仅当x 203＝y 202＝12时取等号．∴△AOB 的面积的最大值为62. 11．已知抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，E 上一点(3，m )到焦点的距离为4. (1)求抛物线E 的方程；(2)过F 作直线l ，交抛物线E 于A ，B 两点，若直线AB 中点的纵坐标为－1，求直线l 的方程．解：(1)抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－p2，由抛物线的定义可知3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2 ＝4，解得p ＝2，∴抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)法一：由(1)得抛物线E 的方程为y 2＝4x ，焦点F (1,0)， 设A ，B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减，整理得y 2－y 1x 2－x 1 ＝4y 2＋y 1(x 1≠x 2)． ∵线段AB 中点的纵坐标为－1， ∴直线l 的斜率k AB ＝4y 2＋y 1＝4－1×2＝－2，∴直线l 的方程为y －0＝－2(x －1)，即2x ＋y －2＝0. 法二：由(1)得抛物线E 的方程为y 2＝4x ，焦点F (1,0)， 设直线l 的方程为x ＝my ＋1，由⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1消去x ，得y 2－4my －4＝0. 设A ，B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵线段AB 中点的纵坐标为－1， ∴y 1＋y 22 ＝4m2＝－1，解得m ＝－12，∴直线l 的方程为x ＝－12y ＋1，即2x ＋y －2＝0. 12．(2018·海口调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右顶点分别为A ，B ，其离心率e ＝12，点M 为椭圆上的一个动点，△MAB 面积的最大值是2 3. (1)求椭圆C 的方程； (2)若过椭圆C 右顶点B 的直线l 与椭圆的另一个交点为D ，线段BD 的垂直平分线与y轴交于点P ，当PB ―→·PD ―→＝0时，求点P 的坐标． 解：(1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ e ＝c a ＝12，12×2ab ＝23，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1. (2)由(1)知B (2,0)，设直线BD 的方程为y ＝k (x －2)，D (x 1，y 1)，把y ＝k (x －2)代入椭圆方程x 24＋y 23＝1， 整理得(3＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0，所以2＋x 1＝16k 23＋4k 2⇒x 1＝8k 2－63＋4k 2，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－63＋4k 2，－12k 3＋4k 2， 所以BD 中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 23＋4k 2，－6k 3＋4k 2， 则直线BD 的垂直平分线方程为y －－6k 3＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －8k 23＋4k 2，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2k 3＋4k 2. 又PB ―→·PD ―→＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－2k 3＋4k 2·⎝⎛⎭⎪⎫8k 2－63＋4k 2，－14k 3＋4k 2＝0， 化简得64k 4＋28k 2－363＋4k22＝0⇒64k 4＋28k 2－36＝0， 解得k ＝±34. 故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，27或⎝⎛⎭⎪⎫0，－27.1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长为2，离心率为22，设过右焦点的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，过A ，B 作直线x ＝2的垂线AP ，BQ ，垂足分别为P ，Q .记λ＝|AP |＋|BQ ||PQ |，若直线l 的斜率k ≥3，则λ的取值范围为__________． 解析：∵椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长为2，离心率为22， ∴⎩⎨⎧ 2b ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝c ＝1，∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. ∵过右焦点的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，∴设直线l 的方程为y ＝k (x －1)， 联立⎩⎨⎧ x 22＋y 2＝1，y ＝k x －1得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0, 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，y 1＞y 2，则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1， ∴λ＝|AP |＋|BQ ||PQ |＝2－x 1＋2－x 2y 1－y 2＝4－x 1＋x 2k x 1－1－k x 2－1＝4－x 1＋x 2kx 1＋x 22－4x 1x 2 ＝4－4k 22k 2＋1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 22k 2＋12－4×2k 2－22k 2＋1＝2k 2＋2k ＝ 2＋2k2. ∵k ≥3，∴当k ＝3时，λmax ＝ 2＋23＝263，当k →＋∞时，λmin →2， ∴λ的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤2，263. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤2，263 2．已知动点M 到定点F (1,0)的距离比M 到定直线x ＝－2的距离小1.(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)过点F 任意作互相垂直的两条直线l 1，l 2，分别交曲线C 于点A ，B 和M ，N .设线段AB ，MN 的中点分别为P ，Q ，求证：直线PQ 恒过一个定点；(3)在(2)的条件下，求△FPQ 面积的最小值．解：(1)由题意可知，动点M 到定点F (1,0)的距离等于M 到定直线x ＝－1的距离， 根据抛物线的定义可知，点M 的轨迹C 是抛物线，所以点M 的轨迹C 的方程为y 2＝4x .(2)证明：设A ，B 两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.由题意可设直线l 1的方程为y ＝k (x －1)，k ≠0， 由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝k x －1得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. Δ＝(2k 2＋4)2－4k 4＝16k 2＋16>0. 因为直线l 1与曲线C 交于A ，B 两点， 所以x 1＋x 2＝2＋4k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝4k. 所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2k 2，2k . 由题知，直线l 2的斜率为－1k ，同理可得点Q 的坐标为(1＋2k 2，－2k )．当k ≠±1时，有1＋2k 2≠1＋2k 2，此时直线PQ 的斜率 k PQ ＝2k＋2k1＋2k 2－1－2k 2＝k1－k 2. 所以直线PQ 的方程为y ＋2k ＝k1－k 2(x －1－2k 2)， 整理得yk 2＋(x －3)k －y ＝0. 于是直线PQ 恒过定点E (3,0)；当k ＝±1时，直线PQ 的方程为x ＝3，也过点E (3,0)． 综上所述，直线PQ 恒过定点E (3,0)．(3)由(2)得|EF |＝2，所以△FPQ 面积S ＝12|EF |⎝ ⎛⎭⎪⎫2|k |＋2|k |＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1|k |＋|k |≥4， 当且仅当k ＝±1时，“＝”成立，所以△FPQ 面积的最小值为4.如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。