多重积分的方法总结引言：高等数学是一门严密的学科，在学习高数过程中，我认为应用最为广泛的是积分，高数中积分包含了曲面积分、曲线积分、二重积分和三重积分等，它们在许多学科中、生活中应用比较广泛，比如，要计算某个不规则物体的体积就可以运用积分来求解，很多方面均可以转化成微积分的面积，体积的思维来求，这就是它的优点，这种面积和体积是一种抽像的概念了，到了更多重积分又会有更多和意义。

那么，下面我将以二重积分和三重积分的定义、计算方法、主要应用公式和二重积分与三重积分的关系为核心来介绍多重积分。

（其中计算方法将通过例题来解释） 二重积分定义： 设二元函数z=f(x,y)定义在有界闭区域D 上,将区域D 任意分成n 个子域Δδi(i=1,2,3,…,n)，并以Δδi 表示第i 个子域的面积.在Δδi 上任取一点(ξi,ηi),作和lim n →+∞ (n/i=1 Σ(ξi,ηi)Δδi).如果当各个子域的直径中的最大值λ趋于零时,此和式的极限存在,则称此极限为函数f(x,y)在区域D 上的二重积分,记为∫∫f(x,y)d δ,即∫∫f(x,y)d δ=lim n →+∞ （Σf(ξi,ηi)Δδi ）这时,称f(x,y)在D 上可积,其中f(x,y)称被积函数,f(x,y)d δ称为被积表达式,d δ称为面积元素, D 称为积分域,∫∫称为二重积分号.同时二重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心，平面薄片转动惯量，平面薄片对质点的引力等等。

此外二重积分在实际生活，比如无线电中也被广泛应用。

二重积分的计算方法 1直角坐标系中累次积分法对于直角坐标系下的二重积分主要是对于区域的划分，可以分为如下两类区域来计算。

平面点集D={}(,)|1()2(),x y y x y y x a x b ≤≤≤≤为x 型区域；平面点集D={}(,)|1()2(),x y x y x x y c y d ≤≤≤≤为y 型区域。

x 型区域:若(,)f x y 在x 型区域D 上连续，其中[]1(),2(),y x y x a b 在上连续，则⎰⎰Dd y x f σ),(=2()(,)1()b y x dx f x y dy a y x ⎰⎰试计算：I=22y Dx e d σ-⎰⎰的值。

解：画出区域图1只能用先对x 后先对积y 分，则I=21200y y dy x e dx -⎰⎰=213013y y e dy -⎰由分部积分法，即可算得：图1I=1163e -例2 试将⎰⎰Dd y x f σ),(化为两种不同次序的累次积分，其中D 是y =x 由，2y x =-和x 轴所围成的区域.图2解 首先画出积分区域D 如图2，并求出边界曲线的交点（1,1），（0,0）及（2,0）。

则⎰⎰Dd y x f σ),( =12(,)(,)D D f x y d f x y d σσ+⎰⎰⎰⎰ =12201(,)(,)x xdx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰如果先积x 后积y,则为 ⎰⎰Dd y x f σ),( =120(,)yydy f x y dx -⎰⎰2 极坐标中的累次积分法当积分区域是圆域或圆域的一部分，或者被积函数的形式为22()f x y +时，采用极坐标变换⎩⎨⎧==θθsin cos r y r xT= 0,02,r θπ≤<+∞≤≤于是二重积分极坐标形式为例1 把(,)Df x y d σ⎰⎰化成极坐标系中的累次积分，其中D 是由圆222x y Ry +=所围成的区域解 在极坐标系中画出区域 D 如图并把 D 的边界曲线 x 2 + y 2 = 2Ry化为极坐标方程， 即为2sin r R θ=作射线 θ = 0 与 θ = π 夹紧域 D .在 [0, π] 中任作射线与域边界交两点 r 1 = 0，r 2 = 2R sin θ ， 得例2 在极坐标系中，计算 二重积分22(),Df x y d σ+⎰⎰D 是由222+1x y R =和222+2(12)x y R R R =<所围成的环形区域在第一象限的部分。

解 在极坐标系中画出区域 D ，如下图，并把D 的边界曲线化为极坐标方程， 即为1,2,r R r R ==作两条射线 θ = 0 与 θ =2π夹紧积分域 D . 在0与2π之间 任作一射线与域⎰⎰⎰⎰=DDr r r r f y x f .d d )sin ,cos (d ),(θθθσ=⎰⎰Dy x f σd ),(.d d )sin ,cos (θθθr r r r f D⎰⎰.d )sin ,cos (d 0sin 20r r r r f R ⎰⎰=πθθθθD 的边界交两点 1,2,r R r R ==所以有如果积分域 D 是整个环形，显然有三重积分定义： 如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时这和的极限总存在，则称此极限为函数f(x y z)在闭区域上的三重积分。

体积元素设三元函数z=f(x,y,z)定义在有界闭区域Ω上,将区域Ω任意分成n 个子域Δvi(i=1,2,3,…,n),并以Δvi 表示第i 个子域的体积.在Δvi 上任取一点(ξi,ηi,ζi),作和lim n →+∞ (n/i=1 Σ(ξi,ηi,ζi)Δvi).如果当各个子域的直径中的最大值λ趋于零时,此和式的极限存在,则称此极限为函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分,记为∫∫∫f(x,y,z)dv,即∫∫∫f(x,y,z)dv=lim n →+∞ （Σf(ξi,ηi,ζi)Δδi ），其中dv 叫做体积元素。

三重积分的计算方法一般来说利用4种方法可以解答大多数三重积分的问题，并且它们之间有着密切的联系。

而同一题可以有多种解法，有简有繁，这就要因题而议了。

这四种方法分别是：1、坐标面投影法要注意围成闭区间的上下两个区面在一个轴平面的投影应该相同σd )(22⎰⎰+Dy x ⎰⎰=Dr r r θd 2),(8d d 414220321R R r r R R -==⎰⎰ππθ⎰⎰⎰⎰=+DDr r r y x θσd d d )(222⎰⎰=π20321d d R R rr θ2121][2d 243R R R R r r r ⎰==ππ).(21424R R -=π2、坐标轴投影要注意Dz (平行于XY 面的横截面)容易用一个变量Z 表示。

3、使用柱面参数要特别注意Z 的上下限的确定，其上下限主要取决此区域是曲面的那一段（哪一部分曲面）4、球面坐标法。

三重积分的计算是化为三次积分进行的。

其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。

从顺序看：如果先做定积分⎰21),,(z z dz z y x f ，再做二重积分⎰⎰Dd y x F σ),(，就是“投影法”，也即“先一后二”。

步骤为：找Ω及在面xoy 投影域D 。

多D 上一点（,x y ）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。

σd dz z y x f dv z y x f Dz z ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=21]),,([),,(如果先做二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(再做定积分⎰21)(c c dz z F ，就是“截面法”，也即“先二后一”。

步骤为：确定Ω位于平面21c z c z ==与之间，即],[21c c z ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。

区域z D 的边界曲面都是z 的函数。

计算区域z D 上的二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(，完成了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分⎰21)(c c dz z F ，完成“后一”这一步。

dz d z y x f dv z y x f c c D z]),,([),,(21σ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=当被积函数f （z ）仅为z 的函数（与,x y 无关），且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截面法”尤为方便。

为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。

可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面)（1） D 是X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）（2） D 是圆域（或其部分），且被积函数形如)(),(22xy f y x f +时，可选择柱面坐标系计算（当Ω为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算） （3）Ω是球体或球顶锥体，且被积函数形如)(222z y x f ++时，可选择球面坐标系计算以上是一般常见的三重积分的计算方法。

对Ω向其它坐标面投影或Ω不易作出的情形不赘述。

三重积分的计算方法例题：1：计算三重积分⎰⎰⎰Ω=zdxdydz I ，其中Ω为平面1=++z y x 与三个坐标面0,0,0===z y x 围成的闭区域。

解1“投影法” 1.画出Ω及在xoy 面投影域D. 2. “穿线”y x z --≤≤10X 型 D ：x y x -≤≤≤≤101∴Ω：yx z x y x --≤≤-≤≤≤≤10101⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-----Ω+---=--===1010322110101102]31)1()1[(21)1(21dx y y x y x dy y x dx zdz dydx zdxdydz I x xyx x241]4123[61)1(6110410323=-+-=-=⎰x x x x dx x解2“截面法”1.画出Ω。

2. ]1,0[∈z 过点z 作垂直于z 轴的平面截Ω得z D 。

z D 是两直角边为,x y 的直角三角形，z y z x -=-=1,1⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰====Ω1110][][zz zD D D dz zS dz dxdy z dz zdxdy zdxdydz I⎰⎰⎰=+-=--==10321010241)2(21)1)(1(21)21(dz z z z dz z z z dz xy z2：计算⎰⎰⎰+dv y x 22，其中Ω是222z y x =+和z=1围成的闭区域。

解1“投影法”1.画出Ω及在xoy 面投影域D. 由⎩⎨⎧=+=1222z y x z 消去z ，得122=+y x 即D ：122≤+y x2. “穿线”122≤≤+z y x ，X 型 D ：⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤--≤≤-221111xy x x ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-≤≤--≤≤-Ω11111:2222z y x x y x x3.计算⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω---+-----=+-+=+=+xxyx x x dy y x y x dxdz y x dydxdv y x 11111112222221122222226)1(π解2“截面法”1.画出Ω。