2.8 圣维南原理
2.圣维南原理（Saint-Venant Principle）
圣维南原理可以有效 解决无法严格满足的边界 条件问题。 圣维南原理是法国力 学家圣维南于1855年关于 柱体扭转的论文中提出的， 并得到了工程的检验。但 至今没有严格的证明。
圣维南（Adhemar Jean Claude Barre de SaintVenant，1797～1886）， 法国力学家。主要研究 弹性力学，注重理论研 究成果应用于工程实际。
第二章 平面问题的基本理论
第8讲 圣维南原理
第二章 平面问题的基本理论
上一讲回顾
弹性力学平面问题的基本方程共有8个，需 要在相应的边界条件才能求解，弹性力学的边 界条件有：位移边界条件、应力边界条件和混 合边界条件。
在Su上：
(u )s (v )s
u (s ) v (s )
在S上：
(l (l
x xy
解：① 在主要边界（上、 下表面处），应精确满 MF S O 足下列边界条件： FN ( yx )y h ( y )y h 0;
q h h l
x
(
yx )y
h
0, (
h h
y )y
h
q.
y
h h h h h h
(l
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱh)
② 左、右端面为次要边界，分别列出三个积分的应力边界条件：
(
x )x 0dy xy )x 0dy
3.圣维南原理的几种推广
如果物体一小部分边界上的面力是一 个平衡力系（主矢量及主矩都等于零）， 那么这个面力就只会使近处产生显著的应 力，而远处的应力可以不计。
2.8 圣维南原理
4.圣维南原理的注意事项
仅适用于小边界；
只要求边界上应力的合力与原面力静力等 效；
例1：试列出图示问题的边界条件。
本讲结束！
2.圣维南原理（Saint-Venant Principle）
F O
x
F/2 O F/2
x
F/ A
y
y
O
x
y
2.8 圣维南原理
3.圣维南原理的几种推广
如果物体一小部分边界上的面力是一 个平衡力系（主矢量及主矩都等于零）， 那么这个面力就只会使近处产生显著的应 力，而远处的应力可以不计。
F
F
2.8 圣维南原理
2.8 圣维南原理
2.圣维南原理（Saint-Venant Principle）
如果把物体的一小部分边界上的面力变换为分布 不同但静力等效的面力，那么近处的应力分布将有显 著的改变，但是远处所受的影响可以不计。
F
F
F/ 2 F/ 2 F/ A
F
F/ 2 F/ 2 F/ 2 F/ 2 F/ A
F
F
2.8 圣维南原理
0, ql ,
2 1 ql . 2
(
x )x l dy xy )x l dy x )x l ydy
0, 0, 0.
h h h h
(
(
(
x )x 0 ydy
(
2.8 圣维南原理
5.本讲小结
圣维南原理解决了小边界条件不能完全满 足的情况。从形式上完善了边界条件。 弹性力学问题的基本数学模型已经完全建 立： 所有的弹性力学问题都可以简单描述为：平 衡方程、几何方程、物理方程共8个基本方程 （也叫控制方程），在边界条件下的解。而 长边界上边界条件应完全满足，小边界上可 使用圣维南原理放松要求。
m m
yx ) s y) s
fx (s ) fy (s )
2.8 圣维南原理
1.问题的提出
求解弹性力学问题时，使应力分量、应变分量、 位移分量完全满足8个基本方程并不困难，但要使 边界条件完全满足，往往很困难。 如图所示，在力的作用点处边界条件无法列出。
P P P P P
不仅如此，实际工程中的约束条件通常也无法严格满足。