高中数学学习材料金戈铁骑整理制作第二章检测试题(时间:90分钟满分:120分) 【选题明细表】一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.数列3,5,9,17,33,…的通项公式a n等于( B )(A)2n(B)2n+1 (C)2n-1 (D)2n+1解析:由于3=2+1,5=22+1,9=23+1,…,所以通项公式是a n=2n+1,故选B.2.数列{a n }满足a 1=1,a n =a n -1a n -1+1(n ≥2),则a 5的值为( C ) (A)13 (B)14 (C)15 (D)16解析:依题意a n >0且n ≥2时,1a n =1+1a n -1, 即1a n -1a n -1=1, ∴数列{1a n }是以1为首项,1为公差的等差数列, ∴1a 5=1+(5-1)×1=5,∴a 5=15.故选C. 3.(2014淄博高二期末)数列{a n }的通项公式a n =n 2+n,则数列｛1a n ｝的前10项和为( B )(A)910 (B)1011 (C)1110 (D)1211 解析:1a n =1n(n+1)=1n -1n+1, ∴S 10=11-12+12-13+…+110-111=1011.故选B. 4.(2014景德镇高二期末)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,满足S n =2a n -2(n ∈N +),则a n 等于( A ) (A)2n (B)2n+1 (C)2n +1 (D)2n +2解析:当n ≥2时,S n-1=2a n-1-2. ∴a n =2a n -2a n-1,∴a n a n -1=2. 又a 1=2, ∴a n =2n ,故选A.5.在等比数列{a n }中,若a 3a 5a 7a 9a 11=243,则a 92a 11的值为( C )(A)1 (B)2 (C)3 (D)9 解析:因为{a n }是等比数列, 所以a 3a 11=a 5a 9=a 72,因此a 3a 5a 7a 9a 11=a 75=243,解得a 7=3, 又因为a 92=a 7a 11,所以a 92a 11=a 7=3.故选C.6.(2014宿州质检)已知{a n }为等差数列,其公差为-2,且a 7是a 3与a 9的等比中项,S n 为{a n }的前n 项和,n ∈N *,则S 10的值为( D ) (A)-110 (B)-90 (C)90 (D)110 解析:由题意得(a 1-12)2=(a 1-4)(a 1-16), 解得a 1=20.S 10=10a 1+10×92×(-2)=110.故选D. 7.(2014南阳高二期末)已知等差数列{a n },前n 项和用S n 表示,若2a 5+3a 7+2a 9=14,则S 13等于( A ) (A)26 (B)28 (C)52 (D)13 解析:∵a 5+a 9=2a 7, ∴2a 5+3a 7+2a 9=7a 7=14, ∴a 7=2,∴S 13=(a 1+a 13)×132=a 7×13=26.故选A.8.(2014九江高二检测)一个只有有限项的等差数列,它的前5项和为34,最后5项和为146,所有项的和为234,则它的第7项等于( D ) (A)22 (B)21 (C)19 (D)18 解析:据题意知a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=34,a n-4+a n-3+a n-2+a n-1+a n =146,又∵a 1+a n =a 2+a n-1=a 3+a n-2=a 4+a n-3=a 5+a n-4, ∴a 1+a n =36. 又S n =12n(a 1+a n )=234, ∴n=13, ∴a 1+a 13=2a 7=36, ∴a 7=18.故选D.9.已知公差不为零的等差数列{a n }满足a 1,a 3,a 4成等比数列,S n 为{a n }的前n 项和,则S 3-S 2S 5-S 3的值为( A ) (A)2 (B)3 (C)15(D)4 解析:设{a n }的公差为d,则依题意有a 32=a 1·a 4,即(a 1+2d)2=a 1·(a 1+3d),整理得a 1d+4d 2=0,由于d ≠0,所以a 1=-4d.故S 3-S 2S 5-S 3=a 3a 4+a 5=-2d -d=2.故选A. 10.已知数列{a n }中,a 1=1,前n 项和为S n ,且点P(a n ,a n+1)(n ∈N *)在直线x-y+1=0上,则1S 1+1S 2+1S 3+…+1S n 等于( A )(A)2n n+1 (B)2n(n+1) (C)n(n+1)2 (D)n 2(n+1)解析:依题意有a n -a n+1+1=0,即a n+1-a n =1,所以{a n }是等差数列,且a n =1+(n-1)=n,于是S n =n(n+1)2, 所以1S n =2n(n+1)=2(1n -1n+1), 所以1S 1+1S 2+1S 3+…+1S n=2(1-12+12-13+…+1n -1n+1) =2n n+1.故选A.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 11.(2014浙江嘉兴模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1+a 5=3a 3,a 10=14,则S 12= . 解析:由a 1+a 5=3a 3,得2a 3=3a 3, ∴a 3=0. 又a 10=14,∴S 12=12(a 1+a 12)2=12(a 3+a 10)2=6×14=84. 答案:8412.设等比数列{a n }的公比q=2,前n 项和为S n ,则S 4a 2= .解析:设{a n }的首项为a 1,则S 4=15a 1,a 2=2a 1,S 4a 2=152. 答案:15213.(2014青州高二检测)已知{a n }是等差数列,a 4=-20,a 16=16,则|a 1|+|a 2|+…+|a 20|= . 解析:a 16-a 4=12d=36, ∴d=3,a n =3n-32.∴当n ≤10时,a n <0,当n ≥11时,a n >0. |a 1|+|a 2|+…+|a 20|=-(a 1+a 2+…+a 10)+(a 11+a 12+…+a 20)=(a 20-a 10)+(a 19-a 9)+…+(a 11-a 1)=100d=300. 答案:30014.已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=2,na n+1=S n+n(n+1),则{a n}的通项公式为.解析:∵na n+1=S n+n(n+1),∴(n-1)a n=S n-1+n(n-1)(n≥2) ,∴na n+1-(n-1)a n=S n+n(n+1)-S n-1-n(n-1) (n≥2).∵S n-S n-1=a n,∴a n+1-a n=2(n≥2),又当n=1时,a2=S1+2,即a2-a1=2,∴对于所有正整数n都有a n+1-a n=2,∴数列{a n}是等差数列,其中a1=2,公差d=2,∴a n=2n.答案:a n=2n三、解答题(本大题共4小题,共50分)15.(本小题满分12分)(2014济南历城高二期末)已知数列{a n}为等差数列,且a3=5,a7=13.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{b n}满足a n=log4b n,求数列{b n}的前n项和T n.解:(1)设a n=a1+(n-1)d,则{a1+2d=5,a1+6d=13,解得a1=1,d=2.所以{a n}的通项公式为a n=1+(n-1)×2=2n-1.(2)依题意得b n=4a n=42n-1,因为b n+1b n =42n+142n -1=16,所以{b n }是首项为b 1=41=4,公比为16的等比数列,所以{b n }的前n 项和T n =4×(1-16n)1-16=415(16n -1). 16.(本小题满分12分)(2014珠海高二期末)等差数列{a n }中,前三项分别为x,2x,5x-4,前n 项和为S n ,且S k =2550. (1)求x 和k 的值; (2)求T=1S 1+1S 2+1S 3+…+1S n 的值. 解:(1)由4x=x+5x-4得x=2, ∴a n =2n,S n =n(n+1), ∴k(k+1)=2550得k=50. (2)∵S n =n(n+1),∴1S n =1n(n+1)=1n -1n+1, ∴T=(1-12)+(12-13)+…+(1n -1n+1)=1-1n+1=n n+1. 17.(本小题满分12分)(2014菏泽高二期末)设数列{a n }为等差数列,且a 3=5,a 5=9;数列{b n }的前n 项和为S n ,且S n =2[1-(12)n ]. (1)求数列{a n },{b n }的通项公式;(2)若c n =a n b n(n ∈N *),T n 为数列{c n }的前n 项和,求T n . 解:(1)数列{a n }为等差数列,则公差d=12(a 5-a 3)=2, 因为a 3=5,所以a 1=1.故a n =2n-1, 当n=1时,S 1=b 1=1,当n ≥2时,b n =S n -S n-1=2[1-(12)n ]-2[1-(12)n-1]=(12)n-1, 又n=1时,b 1=1适合上式,∴b n =(12)n-1. (2)由(1)知c n =a n b n=(2n-1)·2n-1, ∴T n =1·20+3·21+5·22+…+(2n-3)·2n-2+(2n-1)2n-1, 2T n =1·2+3·22+…+(2n-3)·2n-1+(2n-1)·2n , ∴-T n =1+2·21+2·22+…+2·2n-1-(2n-1)·2n=1+2×2(1-2n -1)1-2-(2n-1)2n =1-4+(3-2n)·2n , ∴T n =3+(2n-3)·2n . 18.(本小题满分14分)(2014广州高二期末)已知数列{a n }满足a 1=35,a n+1=3a n 2a n +1,n ∈N *. (1)求证:数列{1a n -1}为等比数列;(2)是否存在互不相等的正整数m,s,t,使m,s,t 成等差数列,且a m -1,a s -1,a t -1成等比数列?如果存在,求出所有符合条件的m,s,t;如果不存在,请说明理由.解:(1)因为a n+1=3a n 2a n +1, 所以1a n+1=13a n +23. 所以1a n+1-1=13(1a n -1), 因为a 1=35,则1a 1-1=23, 所以数列{1a n -1}是首项为23,公比为13的等比数列. (2)由(1)知,1a n -1=23×(13)n-1=23n ,所以a n=3n 3n +2.假设存在互不相等的正整数m,s,t 满足条件, 则有{m +t =2s,(a s-1)2=(am -1)(a t -1).由a n=3n 3n +2与(a s -1)2=(a m -1)(a t -1),得(3s 3s +2-1)2=(3m 3m +2-1)(3t 3t +2-1).即3m+t +2×3m +2×3t =32s +4×3s . 因为m+t=2s, 所以3m +3t =2×3s .因为3m +3t ≥2√3m+t =2×3s ,当且仅当m=t 时等号成立,这与m,s,t 互不相等矛盾.所以不存在互不相等的正整数m,s,t 满足条件.。