§2.3 等差数列的前n 项和(2)
主备人： 王 浩 审核人： 马 琦
学习目标
1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；
2. 了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；
3. 会利用等差数列通项公式与前 n 项和的公式研究n S 的最大（小）值.
学习过程
一、复习回顾
1：等差数列{n a }中， 4a ＝－15， 公差d ＝3，求5S .
2：等差数列{n a }中，已知31a =，511a =，求和8S .
二、新课导学
※ 探究一：如果一个数列{}n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？
※探究二：记等差数列{}n a 的偶数项和为S 偶，奇数项和为S 奇．当项数为2n 时，则有
S S nd -=奇偶 ；当项数为21n -时，则有n S S a -=奇偶 。

※探究三：当等差数列{}n a 的项数为21n -时，有12-n S = 。

※ 典型例题
例1、已知数列{}n a 的前n 项为212
n S n n =+，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列
吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
变式：已知数列{}n a 的前n 项为212
343n S n n =++，求这个数列的通项公式.
小结：数列通项n a 和前n 项和n S 关系为
n a =11(1)
(2)n
n S n S S n -=⎧⎨-≥⎩，由此可由n S 求n a .
例2、等差数列{}m a 共有2n 项,其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且
2133n a a -=-，求该数列的公差d 。

变式：已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且745
3
n n A n B n +=+，求n n a b 。

例2、已知等差数列24
54377，，，....的前n 项和为n S ，求使得n S 最大的序号n 的值.
变式：等差数列{n a }中， 4a ＝－15， 公差d ＝3， 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值.
小结：等差数列前n 项和n S 的最大（小）值的求法. （1）通项公式法：
当10a >，0d <时，n S 有最大值；满足⎩⎨⎧≤≥+00
1
n n a a 的项数n 使得n S 取最大值．
当10a <，0d >时，n S 有最小值；满足⎩⎨⎧≥≤+00
1
n n a a 的项数n 使得n S 取最小值．
（2）函数法：由21()22
n d d
S n a n =
+-，利用二次函数的对称轴求得最大（小）值时n 的值. 三、总结提升
※ 学习小结
1. 数列通项n a 和前n 项和n S 关系；
2. 等差数列前项和最大（小）值的两种求法. ※ 知识拓展
等差数列奇数项与偶数项的性质如下： 1°若项数为偶数2n ，则S S nd 偶奇－＝；
1
(2)n n S a
n S a +≥奇偶＝； 2°若项数为奇数2n ＋1，则1n S S a +奇偶－＝；1n S na +=偶；1(1)n S n a ++奇＝；
1
S n S n +偶
奇＝.
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测
1. 下列数列是等差数列的是（ ）.
A. 2n a n =
B. 21n S n =+
C. 221n S n =+
D. 22n S n n =-
2. 等差数列{n a }中，已知1590S =，那么8a =（ ）. A. 3 B. 4 C. 6 D. 12
3. 等差数列{n a }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（ ）. A. 70 B. 130 C. 140 D. 170
4. 在小于100的正整数中共有 个数被7除余2，这些数的和为 .
5. 在等差数列中，公差d ＝
1
2
，100145S =，则13599...a a a a ++++= .
1. 在项数为2n +1的等差数列中，所有奇数项和为165，所有偶数项和为150，求n 的值.
2. 等差数列{n a }，10a <，912S S =，该数列前多少项的和最小？
3．有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求这个新数列的各项之和.
等差数列的前n 项和练习题（二）
一、选择题
1．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
2．在各项均不为零的等差数列{}n a 中，若2
110(2)n n n a a a n +--+=≥，则214n S n --=（ ）
A ．2-
B ．0
C ．1
D ．2
3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ） A ．63 B ．45 C ．36 D ．27
4．等差数列{}n a 的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m 项的和为( ) A ．130 B ．170 C ．210 D ．260
5．在等差数列}a {n 中，0a 1<，n S 为前n 项和，且163S S =，则n S 取得最小值时n 的值为（ ）
A ．9
B ．10
C ．9或10
D ．10或11
6．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，且56678,S S S S S <=>，则下列结论错误的是（ ）
A ．95S S >
B ．公差0d <
C ．70a =
D ．6S 与7S 是n S 的最大值 7．若{}n a 是等差数列，首项10a >，23240a a +>，23240a a <，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是 ( )
A ．48
B ．47
C ．46
D ．45 二、填空题
8.等差数列{}n a 中，若638a a a =+，则9s = .
9、设等差数列共有10项，其中奇数项之和为12.5，偶数项之和为15，则其首项1a =_______，公差d=________；
10．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且
53
21
n n A n B n +=-，则这两个数列的第九项之比
9
9
a b = ． 11．在等差数列{}n a 中，10a >，573a a =，前n 项和为n S ，若n S 取得最大值，则n = ． 12．在等差数列}a {n 中，（1）若20a 11=，则21S =_____ ___； （2）若20a a a a 131074=+++，则=16S ____ ___。

13．在等差数列}a {n 中，前n 项和为n S ，若1S 3=，5a a a 987=++，则99S =________。

三、解答题
14．已知等差数列{}n a 的首项为2，前10项的和为15。

记n S 为{}n a 的前n 项和，问n S 有无最大值，若有指出是前几项的和，若没有说明理由。

15、在等差数列{a n }中，已知a 1=20,前n 项和为S n ，且S 10=S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值.
16、观察：１
１＋２＋１
１＋２＋３＋２＋１
…１＋２＋３＋４＋３＋２＋１……（1）第100行是多少个数的和？这些数的和是多少？
（2）计算第n行的值．。