第四章
弹塑性波的相互作用
也可以表示为以位移为未知函数 的两阶偏微分方程：
2u 2u 1 d m 2 2 d m C0 C0 2 2 t X 0 dX dX
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弹塑性波的相互作用
采用特征线法求解，可得对应的特 征线方程和特征线上相容条件。
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弹塑性波的相互作用
消去 ，则得
X t d m 1 d m C02 C02 t X 0 dX dX
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弹塑性波的相互作用
消去 ，则得
2 0C0 t X 0 X t
4 2 0C1 (4 2 )
第四章
弹塑性波的相互作用
两弹性波波相遇后t2时刻应力图
两弹性前驱波首先相 遇于a点。两波相遇界面的 右侧有：
5 1 5 1 Y Y 5 ， 0C1 0C1
两波相遇界面的左侧有：
5 2 5 2 5 Y Y 0C1 0C1
d E m E m X X dX 0C02 d d m 0C02 m X dX dX
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弹塑性波的相互作用
如果X点和X +dX 两点卸载开始时的 m分 别如图中的a点和b点所示，某时刻t此两点的 卸载应力 分别如图中i点和h点所示，则表 达式 / X 中各项的意义如图中所示。
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弹塑性波的相互作用
弹塑性波在固定端的反射
不带(”)和(’) 的区域都是混合 波区，在物理平 面和状态平面上 有一一对应的区 域。
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弹塑性波的相互作用
弹塑性波在固定端的反射
第四章
弹塑性波的相互作用
弹塑性波在固定端的反射
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弹塑性波的相互作用
弹塑性波在固定端的反射
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弹塑性波的相互作用
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弹塑性波的相互作用
下面我们来求解 sRaQ区。 由简单波区特征线方 程，我们可以求出a 、 Q、R三点的位置和状 态，下面我们求s点的 位置和状态。
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弹塑性波的相互作用
如果网格划分的足 够小，则网格内的质点 速度和应力可以近似地 看作是均匀的。 于是特征线段Rs的 斜率可近似地按R点的 状态来确定，Qs的斜率 可近似地按Q点的状态 来确定。
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弹塑性波的相互作用
于是可得：
X S X Q C( Q )(tS tQ )
X S X R C( R )(tS tR )
S Q R a
S Q R a
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弹塑性波的相互作用
有限差分数值法求解弱间断弹塑性波相互作用
解abdc区这类在两条不 同系的特征线上给定 v 和 ，则可在以这两条 特征线和经过它们端点 的另两条特征线为界的 曲线四边形中求得单值 解的问题，常称为 Darboux问题或特征线 边值问题。
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弹塑性波的相互作用
如果用 来表示，则上四式可化为：
d b
d
b
d
d 0C
d 0C
d b b d
d c d c
b a b a
d c
c
b a
b
a
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弹塑性波的相互作用
设有一长为l 的均匀等截面杆， 原先处于静止的自然状态。两端同时 受到突加恒速冲击载荷，其值在右端 为 v3 0 ，在左端为 v4 0 。于是在 杆中有迎面传播两强间断弹塑性拉伸 波。
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弹塑性波的相互作用
强间断弹塑性加载波相互作用
第四章
弹塑性波的相互作用
两波相遇前，和弹塑性简单波的情 况完全一样。图中0，1、2、3、4各区 的状态均可作为已知，即： 0 0 0 Y 1 2 Y，1 2 0C0 3 1 0C1 (3 1 )
d E m E m X X dX
b1
0C02
d d m 0C02 m X dX dX
第四章
弹塑性波的相互作用
卸载时杆的运动学方程和动力学 方程和加载时相同，连同卸载应力应 变关系就可列出卸载区的控制方程组 为：
t X 0 t X m E ( m )
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弹塑性波的相互作用
弹塑性材料在经历塑性加载后的卸载 应力应变关系满足弹性卸载假定，即：从 卸载前塑性变形所达到的应力 m 和应变 m 卸载时，不论卸载后是否又重新加载，而 只要应力不再超过 m ，则应力应变间有线 性关系，且其斜率等于加载曲线弹性部分 的初始斜率。
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弹塑性波的相互作用
弹塑性波在固定端的反射
第四章
弹塑性波的相互作用
弹塑性波在固定端的反射
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弹塑性波的相互作用
弹塑性波在固定端的反射
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弹塑性波的相互作用
弹塑性波在固定端的反射
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弹塑性波的相互作用
弹塑性波在固定端的反射
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弹塑性波的相互作用
§4-2 卸载波的控制方程 和特征线 弹塑性材料在加载和卸载时遵循不同 的应力应变关系，因而相应地有不同的控 制方程。 在处理既有加载又有卸载的弹塑性波 的传播问题时，必须区分不同的质点在不 同的时刻是处于加载过程还是卸载过程。
d b
d
b
d 0C d 0C
对于杆的左侧有 ：
d c
d
c
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弹塑性波的相互作用
在界面上应满足质点速度相等 和应力相等条件，即有：
vd vd vd
d d d
由上述四个方程联立求解得 vd ， 和 d 。
一维应力下弹性卸载的应力应变关系
用字母上加一横来 表示卸载后的量，则一 维应力下弹性卸载的应 力应变关系可写作：
m E m （4-1）
第四章
弹塑性波的相互作用
对卸载区而言， m 和 m 都只是X的 函数，与t无关。 上式对t和X分别求导可得：
2 E 0 C0 t t t
c
d 0C
d 0C
c a
a
c a c a
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弹塑性波的相互作用
化简合并后可得：
d c b a
d c b a
上式可改写为 ： (d a ) (c a ) (b a )
(d a ) (c a ) (b a )
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弹塑性波的相互作用
弱间断弹塑性波的迎面加载 ，引 入 来代替 ，就可应用叠加原理来 求解。
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弹塑性波的相互作用
有限差分数值法求解弱间断弹塑性波相互作用
把特征线ab和ac分 别分成m段和n段 ，经 过ab线上诸分割点的左 行特征线和经过线ac上 诸分割点的右行特征线 将把区域划分成许多小 网格，而网格内的质点 速度和应力可以近似地 看作是均匀的。
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弹塑性波在固定端的反射
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弹塑性波的相互作用弹塑性波在固 Nhomakorabea端的反射
带有(”)的区域 都是恒值区，在平 面上正负特征线都 是直线，在状态平 面上只对应于一点。
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弹塑性波的相互作用
弹塑性波在固定端的反射
带有(’)的区域都是 简单波区，它总是和 恒值区相邻出现。 在状态平面上它 对应于一线段。如果 这线段是正向的，则 平面上的负向特征线 族为直线，而另一族 特征线为曲线。
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弹塑性波的相互作用
两弹塑性波相互作用的加载过程， 可概括为两种基本类型：一种是 迎面加 载，另一种是追赶加载。 追赶加载只发生在递增硬化材料中， 本节具体讨论迎面加载问题，对材料是 递减硬化还是递增硬化并无限制。
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弹塑性波的相互作用
1．强间断弹塑性波的迎面加载
先讨论线性硬化材料的情况， 这时弹性波速 C0 ( E / 0 ) 和塑性波 速 C1 ( E1 / 0 ) 都是恒值。
即：
R d a 2 b a 2 I
弹塑性波在刚壁反射后应力 扰动值加倍。
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弹塑性波的相互作用
递减硬化弹塑性材料有限长杆， 其左端(X=0)固定，右端(X=L)在t=0 时受一突加恒速撞击。弹塑性波在 固定端和撞击端间来回反射而逐渐 增强。
第四章
第四章
弹塑性波的相互作用
第一节
第二节 第三节 第四节 第五节
弹塑性加载波的相互作用
卸载波的控制方程和特征线 追赶卸载 迎面卸载 Taylor圆柱撞击试验
第四章
弹塑性波的相互作用
§4-1
弹塑性加载波的 相互作用
弹性波的相互作用时，加载和卸载遵 循同一应力应变关系，且应力应变关系是 线性的。 弹塑性波的相互作用时，加载和卸载 遵循不同的应力应变关系。且应力应变关 系是非线性的。
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弹塑性波的相互作用
如果 c b
(c b )
，代入下式
b a b a
c a c a
可得：c b 2a ，将其代入下式
d b c a 得： d a
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弹塑性波的相互作用
由 (
d
a ) (c a ) (b a ) ，b c可得 (d a ) 2(b a )
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弹塑性波的相互作用
弱间断弹塑性拉伸波相互作用
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弹塑性波的相互作用
相遇前都是已知的简单波，且有：
b a c a
b
a c
a
d ， 0C d 。 0C
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