ϕ=
⎟ ⎟ ⎜ σ r = p⎜ ⎜1 − r 2 ⎟ ≤ 0 ， σ θ = p ⎜1 + r 2 ⎟ > 0 ⎠ ⎠ ⎝ ⎝
⎛
b2 ⎞
⎛
b2 ⎞
（4-20）
其中 p =
a2 p。 b2 − a2
由式（4-19）的第三式和式（4-20）知
σ z = ν (σ r + σ θ ) + Eε 0 = 2 pν + Eε 0 = const
Fi = ∑ ΔFi ， Ti = ∑ ΔTi ， ui = ∑ Δui
时刻 t 到 t + Δt 的增量为
（4-10）
& Δt ， ΔT = T & Δt ， Δu = u &i Δt ΔFi = F i i i i
（4-11）
& ，T & 和u &i 分别称为体力率、面力率和位移率（速度） 。引入率的表达形式 式中 F i i 可以简化公式表达。 求解过程为： 已知时刻 t 时，位移 ui ，应变 ε ij ，应力 σ ij ，加载面 f (σ ij , ξ ) = 0 。在 ST 上给 & ，面力率 T & ，在 S 上给定位移率（速度） u &i 。 定体力率 F u i i &ij 和应力率 σ & ij 。 &i ，应变率 ε 求：速度 u &ij 和 σ & ij 应满足的方程为： &i ， ε 未知量 u
p
b a
σr = ⎨
⎧− p , r = a r =b ⎩0,
（4-17）
图 5-1
T = 2π ∫a σ z rdr
（1）弹性解 应力－应变关系：
b
总轴向力
（4-18）
1 ⎫ [σ r − ν (σ θ + σ z )] ⎪ E ⎪ 1 ⎪ εθ = [σ θ − ν (σ z + σ r )] ⎬ E ⎪ 1 ε z = [σ z − ν (σ r + σ θ )] = ε 0 ⎪ ⎪ E ⎭
3dε 2σ
增量理论
（4-7）
全量理论
在应力边界 ST 上：
⎧σ xl1 + τ xyl2 + τ xz l3 = Tx ⎪ ⎨τ yxl1 + σ y l2 + τ yzl3 = Ty ，即 σ ij n j = Ti ⎪τ l + τ l + σ l = T z 3 z ⎩ zx 1 zy 2
（4-28）
r ⎠⎪ ⎭
由于 σ r r =（塑性区） = σ r r =（弹性区） ，所以由式（4-27）和式（4-28）得 c c
− p + σ s ln c c 2σ s ⎛ b 2 ⎞ ⎜1 − 2 ⎟ = ⎟ a 2b 2 ⎜ ⎝ c ⎠
故有
p
σs
= ln
c 1 ⎛ c2 ⎞ + ⎜1 − 2 ⎟ ⎟ a 2⎜ ⎝ b ⎠
（4-1）
σ ij , j + Fi = 0
（2）几何方程
（ i, j = x, y, z 或 1， 2， 3）
（4-2）
∂u ∂u ∂v , γ xy = + ∂x ∂y ∂x ∂v ∂v ∂w ε y = , γ yz = + ∂y ∂z ∂y ∂w ∂w ∂u εz = , γ zx = + ∂z ∂x ∂z
在位移边界 Su 上：
（4-8）
ui = ui
（4-9）
4.1.2 问题的提法
求解弹塑性问题的目的，在于求出物体内各点的应力和位移，即应力场、位 移场。因而边值问题的提法是，给定作用在物体全部边界或内部的外界作用（包 括温度影响、外力等） ，求解物体内因此而产生的应力场和位移场。具体的说， 物体内每一点的应力、应变、位移都要满足平衡方程、几何方程、本构方程，并 要在边界上满足给定的全部边界条件。 （1）弹塑性增量理论的边值问题 物体 V ，应力边界 ST ，位移边界 Su 。 求：在外载：体积力 Fi 、面积力 Ti （在 ST 上）和给定位移 ui （在 Su 上）作用下 物体内部的应力场 σ ij ，应变场 ε ij 和位移场 ui 。 根据加载路径，可分为若干加载步：
4.2 理想弹塑性厚壁圆柱筒的弹塑性分析
轴对称问题， 采用柱坐标 （ r ,θ , z ） 。γ rθ = γ θ z = γ zr = 0 。 筒体很长，ε z = 0（平 。 面应变问题） ，或 ε z = ε 0 = const （广义平面应力问题） 平衡方程 几何方程 协调方程 边界条件
dσ r σ r − σ θ （4-14） + =0 dr r du u ， εθ = u 为径向位移（4-15） εr = dr r dεθ εθ − ε r （4-16） + =0 dr r
b2 σθ − σ r = 2 p 2 r
在 r = a 时取最大值，则 r = a 处首先屈服
(σ θ − σ r ) max = 2 p
求得弹性极限载荷（压力）为
b2 = σs a2
pe =
（2）弹塑性解
a 2σ s σs ⎛ b2 − a2 a2 ⎞ ⎟ ⎜ ， p p p 1 = = = − e e 2 ⎟ 2 ⎜ 2b 2 a2 b ⎠ ⎝
σ r + σ θ = 2 A = const ， σ z = const
引进应力函数 ϕ ：
σr =
自动满足平衡方程，则
1 dϕ ， r dr
σθ =
d 2ϕ dr 2
d 2ϕ 1 dϕ + = 2A dr 2 r dr
解得
A 2 r − B ln r + C 2 B B σ r = A − 2 ， σθ = A + 2 r r 由边界条件（4-17）确定出 A 、 B ，得
（4-29）
建立了压力 p 和弹塑性区边界 c 的关系。
c = b 时，整个圆筒屈服， p 不能再增加，得到塑性极限压力 ps ：
ps = σ s ln
b a
（4-30）
如果 σ z 为中间主应力，则屈服条件 σ θ − σ r = σ s ，
dε zp = dλ
故由
∂f = 0 ， ε zp = 常数 = 0 ∂σ z
u=
r b2 1 +ν p[(1 − 2ν )r + ] − νε 0 r [σ θ − ν (σ z + σ r )] = E E r
用 Tresca 屈服条件确定弹性极限压力：
σ θ > σ r ， σ r , max = σ r b = 0 ， σ θ , min = σ θ b = 2 p
故当 0 ≤ σ z ≤ 2 p ，即
& =0 & ij , j + F 1）平衡方程 σ i
1 &ij = (u &i , j + u & j ,i ) 2）几何方程 ε 2
&ij#43; dλs &ij σ 2μ
&； & ij n j = T 在 ST 上： σ i
&i &i = u 在 Su 上： u
⎛ b 2 ⎞ c 2σ s ⎛ b 2 ⎞ ⎫ ⎟ ⎜ ⎟ σ r = p⎜ ⎜1 − r 2 ⎟ = 2b 2 ⎜1 − r 2 ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎬ 2 2 2 ⎛ b ⎞ c σ s ⎛ b ⎞⎪ ⎟ ⎜1 + 2 ⎟ σ θ = p⎜ 2 ⎜ ⎜1 + 2 ⎟ = ⎟ ⎝ r ⎠
2b ⎝
代入边界条件（4-18） ，得
（4-21）
σz =
而
T π (b − a 2 )
2
（4-22）
ε0 =
1 T − 2νπa 2 p (σ z − 2 pν ) = E πE (b 2 − a 2 ) 1 u [σ θ − ν (σ z + σ r )] ， εθ = ） E r
（4-23）
由式（4-19）第二式和式（4-15）第二式： （ εθ =
第四章 弹塑性力学边值问题的简单实例
4.1 弹塑性力学边值问题的提法
4.1.1 基本方程
（1）平衡方程 ⎧ ∂σ x ∂τ xy ∂τ xz ⎪ ∂x + ∂y + ∂z + Fx = 0 ⎪ ⎪ ∂τ yx ∂σ y ∂τ yz + + + Fy = 0 ⎨ ∂y ∂z ⎪ ∂x ⎪ ∂τ zx ∂τ zy ∂σ z ⎪ ∂x + ∂y + ∂z + Fz = 0 ⎩ 或
（4-26）
p > pe 时，塑性区逐渐扩张。设弹、塑性区交界处 r = c ， a < c < b 。
（a）塑性区 a ≤ r ≤ c 的解
仍假定 σ z 为中间主应力，Tresca 屈服条件 σ θ − σ r = σ s ，则平衡方程（4-14）
即
dσ r σ s ，积分得： = dr r
dσ r σ r − σ θ dσ r σ s + = − =0 dr r dr r
ε ij σ ij
t + Δt
&ij Δt = ε ij + ε
t
t + Δt
& ij Δt = σ ij + σ
t
&Δt ξ t + Δt = ξ t + ξ
新的加载面：
&Δt ) = 0 & ij Δt , ξ + ξ f (σ ij + σ
（4-13）
实际计算时，需要考虑增量步长对精度、收敛性和稳定性的影响，常常需要 进行数值计算。 （2）弹塑性全量理论的边值问题（略）