混沌理论与应用
一. 混沌的研究方法
自动化学院 禹思敏
2012.10
1. 混沌研究与方法
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School of Automation
混沌研究包括混沌系统的分析、混沌系统的设计、混沌应用三大部分，概括如下：
1) 混沌系统的分析 : 对于一个给定的动力系统, 分析该系统是否为真正的混沌系统? 分析方法主要包括 : (1) 定性分析方法 : 计算李氏指数、分岔图、吸引子相图等 (2) 机理分析方法 : 分析是否存在马蹄映射、同宿轨道和异宿环等 (3) 回归排斥子法 : 分析系统中是否存在回归排斥子? 2) 混沌系统的设计 : 根据某种理论或方法, 设计出一个混沌系统, 并证明它是混沌的? 设计方法主要包括 : 混沌研究 (1) 数值试验法 : 参数错试、数值仿真、计算李氏指数三步曲设计混沌系统 (2) 反控制方法 : 根据全局有界性和正的李氏指数设计混沌系统 (3) 根据Smale马蹄映射、Shilnikov定理等设计混沌系统, 如异宿环的设计等 3) 混沌应用: 利用混沌具有稠密不稳定周期轨、不可预测性、对参数和初始条件敏感性等 (1) 混沌广义控制(包括混沌控制、反控制、混沌同步) (2) 混沌电路分析与设计 (3) 保密通信和信息安全 (4) 图像和视频加密等
csc x0 + cot x0 可以看出，如果想要从解 t = ln 的结果中很 csc x + cot x
直截了当地回答这两个问题并非易事， 但如果采用定性分析方 法却能较好地回答这两个问题。
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6. 定性分析的一个典型实例
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了解和掌握动力系统的终态行为是研究动力系统的重要
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4. 机理研究方法
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1) Smale马蹄映射 : (1) 混沌系统分析 : 对于给定系统, 分析是否存在马蹄映射? 关键是要能找到一个不变集, 并在该集上有拉伸折叠变换 (2) 混沌系统设计 : 根据马蹄映射的方法设计出混沌系统? 2) Shilnikov定理(Shilnikov不等式、同宿轨道和异宿环): (1) 混沌系统分析 : 对于给定系统, 分析是否存在同宿轨道或异宿环? (2) 混沌系统设计 : 根据Shilnikov定理设计具有同宿轨道或异宿环的混沌系统? 3) Melnikov方法 : 主要用于非自治混沌系统的分析与设计
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5. 反控制方法
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根据混沌系统的全局有界性和正的李氏指数（拉伸和折叠）来分析 和设计混沌系统。
1) 离散时间系统的反控制 : (1) Chen - Lai算法 (2) Wang - Chen算法 反控制方法 2) 连续时间系统的反控制 : (1) 建立设计准则和判定定理 (2) 控制器设计 (3) 平衡点设计 (4) 通过设计控制器和平衡点, 使系统全局有界和正李氏指数
x −2π
−π
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0
π
2π
x
= sin x 的流形与平衡点 图1 x
根据图 1，可对于上述提出的两个问题得出明确的解答结果如下： 1）在 x0 = π / 4 处，首先是越来越快地向右到达 x = π / 2 ，当到达 x = π / 2
x(t ) 随时间变化的趋势如图 2 所示。 后， 再越来越慢地趋于稳定平衡点 x = π ，
f ( x), x ∈ R 来说，其终态行为只有收 = x 方法。对于一维系统
f ( x), x ∈ R 2 来说，其 = x 敛和发散两种情况。而对于二维系统
终态行为有收敛、发散和周期三种情况。而对于三维以上系统 来说，除收敛、发散和周期三种行为外，可能有混沌行为。 在定性分析中， 可通过对平衡点稳定性的分析来掌握系统 的终态行为，平衡点指的是系统的状态不随时间变化，即
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6. 定性分析的一个典型实例
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x(t )
π
π 4
0
图 2 初始条件为 x0
t
= π / 4 时 x(t ) 随时间的变化趋势及终态
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6. 定性分析的一个典型实例
x(t )
2π
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π
0
t
−π
−2π
图 3 区间 [ −2π ,
设 t = 0 时的初始条件为 x = x0 ，得 C = ln | csc x0 + cot x0 | 。最 后得其严格的解析解为
csc x0 + cot x0 t = ln csc x + cot x
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6. 定性分析的一个典型实例
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虽然获得了严格的解析解，但解的物理意义并不明晰，尤其是 不能把握住全局。 例如， 根据解的结果， 可提出以下两个问题： 1）假定 x0 = π / 4 ，描述解的结果 x(t ) 对于所有的 t > 0 时 的定性特征是什么？当 t → ∞ 时的稳态是什么？ 2）对于任意一个初始条件 x0 ，请说明 x(t ) 当 t → ∞ 时的 行为是什么？
2）对任意初始条件 x0 ，当 t → ∞ 时 x(t ) 的行为也有类似结果，最终趋向 离它最近的稳定平衡点，在区间 [−2π , 2π ] 内任意初始条件下 x(t ) 随时间的变 化趋势如图 3 所示。 上述实例虽然有点特殊，但说明了定性分析方法的特点及优越性。今后 我们将看到，定性分析法是求解混沌问题的一种很实用的方法，应该掌握。
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6. 定性分析的一个典型实例
考虑以下非线性微分方程 = sin x x
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注意到这个方程可通过变量分离法获得严格的解析解（注意 到这样的例子是凤毛麟角） 。根据上式，得
dx dt = sin x
对上式积分，得
t = ∫ csc xdt = − ln | csc x + cot x | +C
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1. 混沌研究与方法
1) 定量研究方法 2) 定性研究方法 混沌研究方法 3) 机理研究方法 4) 反控制研究方法
自 定量研究方法
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定量研究方法指的是求出混沌系统的严格解 析解。由于混沌系统是非线性系统，要想求出其严 格的解析解，在目前情况下几乎不可能。因此，通 常只能通过用 MATLAB 编程，通过数值模拟的方 法求得混沌吸引子的相图。 这就是我们经常在许多 文献中只看到混沌吸引子的相图而没有看到解析 解的原因。
f= = x ( x) 0
通过求解方程 f ( x) = 0 ，可得系统的平衡点之值。
= sin x 的流形如图 1 所示。图中 根据定性分析法，得 x sin = x = x 0 的解（对应空心圆点和实心圆点）便是系统的平衡
点，其中空心圆点为不稳定平衡点，实心圆点为稳定平衡点。
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6. 定性分析的一个典型实例
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3. 定性研究方法
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定性研究的基础是微分动力系统的定性理论， 主要分析平衡点 的类型及其稳定性、平衡点的分岔行为等。此外，还包括计算李氏 指数、分岔图、混沌吸引子的相图等，这些也可以认为属于定性分 析的范畴或者说属于工程层面的分析方法， 但不属于严格的混沌机 理研究范畴。 尽管定性分析方法不能得出严格的解析解， 但有时却 能把握住整个系统的全局， 目前在混沌问题的研究中仍不失为一种 主要手段与方法。 一方面， 目前情况下绝大多数非线性系统很难获 得解析解，并且需要有很高的数学技巧与先验知识。另一方面，即 使是能获得严格解析解， 但有时结果的物理意义并不明晰， 采用定 性分析法却能较好地把握住全局。
2π ] 内任意初始条件时 x(t ) 随时间的变化趋势及终态
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siminyu@
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