又因为Q为n×n正交阵，所以 QT Q1
..
QT Q R R1 QT DFQL (8)
1
k l i, j
设
Qklij
cos sin
k l i或k l j k i, l j
sin
k j,l i
设R，令
0
e1
0
r12 e2
其它
r13 L r23 L
r1n r2 n
n
（11）

.
0 0 L 0 n
由（9），（10），（11）有：i sii , i 1, 2,L , n
其中 S QT DFQ ， 此时系统(1)的Lyapunov指数为
i
lim
t
i t
t
（13）
由式（12）可以求出系统的Lyapunov指数。
（12）
5.2 控制和利用混沌的意义
一、利用混沌的意义： 混沌运动的基本特征是运动轨道的不稳定性，表现在对 初值的敏感依赖性，或对小扰动的极端敏感性。 • 概念：不稳定周期轨道——若系统严格的处于其上，则它会永
道稳定在无穷多不稳定轨道中预期的一条特定轨道上。 1.表明：仔细选择小扰动可对系统的长时间行为产生大的有益变
化 对混沌系统，可以不用改变系统的整体构形，通过对系统的参 数作小的改变就可以使其稳定化于不同的周期轨道 2.表明：只以很低的能量消耗就能在同一混沌系统的不同周期
轨道之间 实现转换，产生各种各样的稳定化的周期运动。 同时混沌系统的这种敏感性还有利于迅速地引导轨道进入期望地状 态。如：NASA——将ISEE—3I/C太空船在完成主要任务后，用 仅剩地少量肼燃料送到了距太阳8千万英里地地方，首次实现了与 彗星地碰撞。这就是由于天体力学地“三体问题”对扰动敏感性地
t Z t
，则
x t, x0
，其中 z
Z0 t
x0
lim
t
1 t
log 2
x t, x0
z1, z2,L zn ，F为n维向量
，Z t z t z0 t
表示从轨道 Z0 t 的偏离量。
线性化方程为
dZ dt
DF z0 t ,t Z L
(2)
其中DF为n×n Jacobian矩阵。
结 果，在非混沌地系统中这是不可能的。 严格的说，非线性系统才是最一般的系统，线性系统内只是其中的 特殊例子，所以控制与利用混沌的工程意义也十分重要。
5.3OGY微调参数法控制系统混沌 （反馈方法控制混沌的一种）
一、背景 • 1989年 A.Hubler 发表了控制混沌的第一篇文章 • 1990年E.O，C.Grebogi，J.A.Yorke的控制混沌
法。The Ott-Grebogi-Yorke (OGY) method
• 同时：T.L.Carroll与L.M.Pecora——混沌自同步方案 Ditto——电路系统混沌现象控制实验 Hunt——控制激光系统混沌实验 Carroll——由混沌同步化进行保密通信的实验
三、混沌系统的优越性和应用前景 OGY法通过对系统参数作小扰动并反馈给系统，实现了把系统的轨
系统 → 系统变为稳定周期轨道 ↑
原驱动力 ＋驱动力的合适项（也可认为是小的扰动）
倒立摆的铅垂平衡（不是混沌系统），就是通过小车等
的适当小移动来保持在本质上是不稳定的铅垂状态。这
是一个控制不稳定不动点的例子。
• 1990年, Ott。Grebogi 和Yorke 开创性工作——基 于有无穷多的不稳定周期轨道嵌入在混沌吸引子中这 一事实，提出一种控制混沌运动的具体办法——OGY
5.1 混沌动力学系统的特性分析——同时 含有Lyapunov Exponents
一、线性定常连续系统
二、非. 线性连续系统
一中 x Ax x(0, x0 ) x0 Rn ，A为n×n常数矩阵 ，
解为xt xt, x0
或 x0
二中
dz F dt
场。令 Z
lim1ln
t t
z,t L (1)
的思想是个里程碑 • 1990年同时，L.M.Pecora，T.L.Carroll提出混
沌同步的思想 • 接着W.L.Ditto，R.Roy完成控制混沌的实验
“Control of Complex Systems”
Method of Ott-Grebogi-Yorke (OGY):
The problem is reduced to a standard linear control problem.
第五章 混沌控制
• 混沌控制是指混沌的控制与诱导。混沌的控制与诱导 是非线性动力系统与非线性控制的新理论与新方法， 是智能控制的重要组成部分。
• 由于非线性动力系统的混沌现象是由某些关键参数的 变化引起的，所以关于控制或诱导混沌的一种十分自 然的想法是直接控制或调整这些参数。
• 包括参数扰动法、纳入轨道（引导轨道）和强迫迁移 （migration），Jackson、工程反馈控制法、混沌同 调、利用混沌。
（9） (10)
R M 0 O O
M
M M O O r(n1)n
0
0L
0
en
其中
i
是和系统Lyapunov指数相关的量
.1 r1'2 r1'3 L
，rij
r1'n
表R阵上的其它量。
所以有 .
0
.
2
r2'3 L
R R1 M 0 O O
M M O O
r2' n
M
r' ( n 1)
沿偏离轨道积分方程（2）有 Z t M T Zin （3），
Z in 表示系统的初始向量，
且
dM dt
DF M
（4），令M=QR
（5） ，其中.Q为n×n正交阵，
R为n×n正定. 上三角阵，将（. 5）代入（4）有Q R Q R DF QR （6）
所以有 QT Q RR1 QTQ R R1 QT DFQRR1L (7)
远的留在这条轨道上，但只要有相对于这条轨道的极小偏差， 则偏差将随时间指数的增长，系统将会很快离开此轨道。 • 特点：对于一个具有无穷多不稳定周期轨道的集合上，这种周 期轨道，由于不稳定性存在，而使其不可能被观察到，观察到 的是一种奇怪的“似乎”随机的跳动，被称为混沌轨道。 以前人们认为：混沌运动既不可预报，又不可控制，故希望避免这 种“有害”现象，所以工程设计是总是要消除系统中任何混沌行为。 二、控制、利用思想的形成、发展 • 1950年 John Von Nenmann：利用混沌敏感性； • 1987年 Hubler 与 Luscher：引入控制混沌的思想