参数的模型算出对系统的适当的输出量， 如此
经过反复多次调整参数， 使混沌系统的混沌过
程最终达到所控制的目标。只有当控制目标对
应的参考信号达到时， 控制器才起作用， 从而
实现了真正的混沌控制。
３．５ 混沌中非周期轨道的控制方法
示意图：
３．６ 参数共振微扰法与外部周期微扰法 两种方法的机制是一致的， 参数共振微扰 法以研究杜芬系统为例， 在原杜芬方程中的项 的系数中加入一个弱周期微扰项， 所以受控杜 芬方程为： ｘ－ ｘ＋β［１＋ηｃｏｓΩｔ］ｘ３＝－ δｘ＋γｃｏｓωｔ ３．７ 传输和迁移控制法 该方法先假定目标轨道与给定动力学系 统具有相同的数学方程， 然后将两个方程叠加 起来， 从而研究如何迫使动力学系统的混沌传 输和迁移到目标轨道中去， 实现稳定控制。 ４ 混沌控制的应用 经过几十年的发展， 特别是最近十年来， 混沌控制与混沌同步及其应用的研究得到了蓬 勃发展， 并迅速成为研究领域的重要热点， 为 混沌的应用准备了必要的手段。关于控制和利 用混沌的例子有： 对混沌激光器、混沌二极管 电路实现的混沌控制大大地提高了激光输出功 率， 改善了激光性能， 在未来的“星球大战” 中或空间武器的研制中将会发挥独特的作用； 另外， 混沌控制在光学、等离子体、化学反 应、流体、电子回路、人工神经网络和生物系 统等大量实验和应用中得到验证， 并在众多领 域中有着广阔的应用前景。更深入地， 人的思 维与活动是有控制的混沌活动， 其意义与规律 远没有被人们认识和利用。可以预料， 随着控 制混沌方法的完善和普及， 它的应用领域也在 不断的扩大和深入， 控制和利用混沌的前景是 十分广阔和无美好的。
引言
的各种问题比通常想像的更不同。
控制和利用混沌是当前自然科学基础研
３ 混沌控制的方法
究的一个热点问题， 对这一问题的研究不仅具
３．１ ＯＧＹ 控制方法
有重要的理论意义， 而且具有重要的实际意
ＯＧＹ 控 制 方 法 ， 运 用 相 空 间 重 构 技父冯·诺 伊 曼 提 通 过 实 验 连 续 地 测 量 混 沌 系 统 的 某 一 状 态 变
混沌系统中去。
３．４ 混沌的自适应控制方法
首先， 假设所研究的非线性系统产生混
沌过程的动力学模型可以被构造出来， 其非线
性函数可以精确地表达。其次， 设计一种参数
预估器， 用最小二乘法来估算预估器的参数，
使得预估器的参数的改变与系统的混沌过程直
接关系。这样， 通过改变预估器的参数来实现
回归估算动力学模型的参数。最后， 利用预估
机械、海洋工程等领域取得了初步的成功。以 等待混沌运动流落到该周期轨道附近时对系统
下介绍了与混沌控制有关的基本概念和基本理 某一参数进行小扰动， 将混沌运动稳定在该周
论以及混沌应用研究的最新进展。
期轨道上。方程：
１ 混沌控制的概念 混沌控制的含义非常广泛， 一是指改变 系统的性态使之呈现或接近呈现混沌运动， 而 不需要考虑所得到运动的具体形式； 二是指引 导问题， 在相空间中将混沌轨道引入事先指定 的点或周期性轨道确定的小领域内； 三是指跟 踪问题， 通过施加控制使受控系统达到了事先 给定的动力学行为。 混沌控制的主要任务是， 根据不同领域 的实际需要， 利用非线性系统的特征， 通过各 种策略、方法与途径， 获得人们所期望的动力 学行为， 进而为众多领域的应用提供原理、方 法和技术基础。控制混沌 应 包 括 以 下 内 容 ： ａ． 利 用 混 沌 ； ｂ．创 制 混 沌 ； ｃ． （ 狭 义 的） 控 制 混 沌； ｄ．混沌同步： 混沌同步属于混沌 控 制 的 范 畴。 ２ 混沌控制的特点 ２．１ 混沌控制中的目标 轨 线 可 以 是 不 稳 定 平衡点或者不稳定周期轨道， 它们可能是高周 期的。 ２．２ 典型的混沌系统有 不 稳 定 轨 道 的 稠 密 集嵌在其中， 且非常敏感于初始条件的小扰 动。 ２．３ 大多数惯用的控制 设 计 中 ， 人 们 通 常 在状态空间的框架中工作。 ２．４ 在古典控制中， 追 踪 的 目 标 通 常 是 状 态空间的一个常向量， 它一般不是给定系统的 状态， 而控制的终端时间通常是有限的。 ２．５ 依赖于不同的情形 或 目 的 ， 混 沌 控 制 性能的衡量可以与惯用控制不同。 ２．６ 混沌控制包含唯一的任务。 ２．７ 由于非线性和混沌 与 各 种 有 关 问 题 的 内存联系， 混沌控制的范围和混沌控制所处理
δＰｉ＝－
λｕ ｆｕ·ｂ
ｆｕ·δＸｉ＝ＣδＸｉ
３．２ ＯＰＦ 技术法
将一维近似映射线性化成：
Ｕｋ＋１＝Ｐ （ ｕｋ， ｐｋ） ＝ｕＦ （ ｐ） ＋Ａ （ ｕｋ－ ｕＦ （ ｐ） ） ＋ｂ （ ｐｋ－ ｐ）
形式， 则可求解出与成比例的参数扰动
量， 使映射点直接落到不动点上。如果遇到必
须由高维映射描述的系统， 则可通过多个控制
－ ２５－
参考文献 ［１］黄润生， 黄浩．混沌及其应用［Ｍ］．武汉： 武汉大 学出版社， ２００５． ［２］ＫＷＯＫ － ＷＯＷＯＮＧ， ＳＵＮ － ＷＡＨＨＯ， ＣＨＩＮＧ － ＫＩ ＹＵＮＧ， Ａ Ｃｈａｏｔｉｃ Ｃｒｙｐｔｏｇｒａｐｈｙ Ｓｃｈｅｍｅ ｆｏｒ Ｇｅｎｅｒａｔｉｎｇ Ｓｈｏｒｔ Ｃｉｐｈｅｒｔｅｘｔ ［Ｊ］．Ｐｈｙｓｉｃｓ Ｌｅｔｔｅｒｓ Ａ， ２００３． ［３］陈 奉 苏．混 沌 控 制 及 其 应 用［Ｍ］．北 京 ： 中 国 电 力出版社， ２００６．
参数的比例扰动将映射点直接落到不动点上。
３．３ 混沌的连续变量反馈控制方法
分为外力反馈控制法和延迟自反馈控制
法， 其基本思想都是考虑非线性混沌系统的输
出信号与输入信号的自反馈。其中外力反馈控
制法是从系统外部强迫输入一定的周期信号，
延迟自反馈控制法是直接从系统本身的输出信
号取出一部分并经过一段时间延迟后再反馈到
关键词： 混沌； 混沌控制； 混沌应用； 混沌同步 Ａｂｓｔｒ ａｃｔ： Ａｓ ａ ｍａｊｏｒ ｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃ ｔｈｅｏｒｙ， Ｃｈａｏｓ ｉｓ ｅｑｕａｌｌｙ ｆａｍｏｕｓ ｗｉｔｈ ｑｕａｎｔｕｍ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ， ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｒｅｌａｔｉｖｉｔｙ． Ｃｈａｏｓ ｔｈｅｏｒｙ ｈａｓ ｂｅｅｎ ｐｒｏ－ ｄｕｃｅｄ ｅｎｏｒｍｏｕｓ ｉｍｐａｃｔ ａｎｄ ａｌｓｏ ｂｅｅｎ ｗｉｄｅｌｙ ｕｓｅｄ ｉｎ ｖａｒｉｏｕｓ ｆｉｅｌｄｓ ｓｉｎｃｅ ｉｔｓ ｂｉｒｔｈ． Ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ ｏｆ ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ ｔｈｅ ｐｅｏｐｌｅ＇ ｓ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ ｏｆ ｔｈｅ ｗｏｒｌｄ， ｃｈａｏｓ ｔｈｅｏｒｙ ｈａｓ ｉｎｃｒｅａｓｉｎｇｌｙ ｂｅｉｎｇ ｓｅｅｎ ａｓ ａ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ａｎ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｃｏｍｐｌｅｘ ｓｙｓｔｅｍｓ． Ｔｈｅ Ｃｈａｏｓ Ｃｏｎｔｒｏｌ ｉｓ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｓｔｅｐ ｔｏｗａｒｄｓ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｃｈａｏｓ ｔｈｅｏｒｙｌ．Ｓｕｍｍｅｄ ｕｐ ｔｈｅ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｓｅｅｍｓ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒｌｙ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ． Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｓｕｍｍａｒｉｚｅｄ ａｎｄ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｓｔｕｄｙ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｔｈｅ Ｐｒｅ－ ｄｅｃｅｓｓｏｒｓ＇ ｓ ｓｔｕｄｙ ｏｆ ｃｈａｏｓ ｃｏｎｔｒｏｌ ａｎｄ ｉｔｓ ｃｏｎｃｅｐｔ， ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ， ｍｅｔｈｏｄｓ， ａｎｄ ｉｔｓ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒ ｄｓ： Ｃｈａｏｓ； Ｃｈａｏｓ ｃｏｎｔｒｏｌ； Ｃｈａｏｓ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ； Ｃｈａｏｓ ｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎ
出 混 沌 可 控 的 观 点 ， ３０ 多 年 之 后 Ｈｕｂｌｅｒ 和 量， 利用测量数据构造庞加莱截面， 确定系统
Ｌｓｃｈｅｒ 引入了控制混沌的概念， 使人们根本改 的行为。再从所确定混沌吸引子中嵌入的各种
变了以往认为混沌是不可控制的保守看法。目 不稳定周期轨道中选择其中一条镶嵌在混沌吸
前， 控制与利用混沌已在生物、医学、化工、 引子上的期望不稳定周期轨道作为控制目标；
科苑论谈
混沌控制及其应用
王猛 （ 哈尔滨工程大学信息与通信工程学院， 黑龙江 哈尔滨 １５０００１）
摘 要： 作为与量子力学、相对论相齐名的一个重大科学理论， 混沌理论自产生以来产生了巨大影响同时也被广泛应用于各领域。随着科学的 发展及人们对世界认识的深入， 混沌理论越来越被人们看作是复杂系统的一个重要理论。而混沌控制是混沌理论走向应用的第一步， 对混沌控制进 行总结研究显得尤为重要。对前人在混沌控制方面的研究成果进行了总结和归纳， 阐述了混沌控制的概念、方法以及应用。