2. Control is switched off when xk1 S0
Challenge: How much time and energy is needed for control?
9
3.5. CONTROLLED SYNCHRONIZATION
3.5.1. Model of coupled pendulums
- f1 , f 2 disturbances;
- k coupling strength (stiffness of the spring). 10
3.5.2 Design of synchronization algorithm
H , , , 1 2 2 1 cos 1 2 2 1 cos k 2
期轨道做有规律的周期运动（控制混沌的目 标）。用小信号来维持此目标态的稳定性。
三、实现方法
如一个可调单参数时间连续D维系统，动力学方程为
dx dt
F
X
,
P ，X 为D维态矢量，P为可调参数。
设系统的信息仅由某个测量过程得到，所以可用系统相空
间D中标量函数z来表示该测量过程。
若在t时刻的状态为 y t D，则测得的时间序列标量函数
为 z t z y t 。
利用时间序列重构技术，采用延迟时间为T，嵌入维为M
的延迟坐标，可重构出M维延迟矢量：
x t z t , z t 1 , , z t M 1T RM
为方便起见，一般选 xt 的一个分量为常数，如
xtn M z tn MT C 为实验截面。
此方法给出了截面上的点列n RM1以及它们之间的映象
的思想是个里程碑 • 1990年同时，L.M.Pecora，T.L.Carroll提出混
沌同步的思想 • 接着W.L.Ditto，R.Roy完成控制混沌的实验
“Control of Complex Systems”
Method of Ott-Grebogi-Yorke (OGY):
The problem is reduced to a standard linear control problem.
1 2 , H H H* , 0 gain, 0 1
11
Total system energy:
H 1,1,2 ,2
1 2
12
21
cos1
1 2
2
2
21
cos 2
k 2
1
2
2
Q
(1 ,2 )
1 2
2
1 2
1
2
2,
{1,1}
QH
(x)
1 2
H ( x)
H*
2 ,
i
lim
t
i t
t
（13）
由式（12）可以求出系统的Lyapunov指数。
（12）
5.2 控制和利用混沌的意义
一、利用混沌的意义： 混沌运动的基本特征是运动轨道的不稳定性，表现在对 初值的敏感依赖性，或对小扰动的极端敏感性。 • 概念：不稳定周期轨道——若系统严格的处于其上，则它会永
远的留在这条轨道上，但只要有相对于这条轨道的极小偏差， 则偏差将随时间指数的增长，系统将会很快离开此轨道。 • 特点：对于一个具有无穷多不稳定周期轨道的集合上，这种周 期轨道，由于不稳定性存在，而使其不可能被观察到，观察到 的是一种奇怪的“似乎”随机的跳动，被称为混沌轨道。 以前人们认为：混沌运动既不可预报，又不可控制，故希望避免这 种“有害”现象，所以工程设计是总是要消除系统中任何混沌行为。 二、控制、利用思想的形成、发展 • 1950年 John Von Nenmann：利用混沌敏感性； • 1987年 Hubler 与 Luscher：引入控制混沌的思想
法。The Ott-Grebogi-Yorke (OGY) method
• 同时：T.L.Carroll与L.M.Pecora——混沌自同步方案 Ditto——电路系统混沌现象控制实验 Hunt——控制激光系统混沌实验 Carroll——由混沌同步化进行保密通信的实验
三、混沌系统的优越性和应用前景 OGY法通过对系统参数作小扰动并反馈给系统，实现了把系统的轨
第五章 混沌控制
• 混沌控制是指混沌的控制与诱导。混沌的控制与诱导 是非线性动力系统与非线性控制的新理论与新方法， 是智能控制的重要组成部分。
• 由于非线性动力系统的混沌现象是由某些关键参数的 变化引起的，所以关于控制或诱导混沌的一种十分自 然的想法是直接控制或调整这些参数。
• 包括参数扰动法、纳入轨道（引导轨道）和强迫迁移 （migration），Jackson、工程反馈控制法、混沌同 调、利用混沌。
Z in 表示系统的初始向量，
且
dM dt
DF M
（4），令M=QR
（5） ，其中.Q为n×n正交阵，
R为n×n正定. 上三角阵，将（. 5）代入（4）有Q R Q R DF QR （6）
所以有 QT Q RR1 QTQ R R1 QT DFQRR1 (7)
又因为Q为n×n正交阵，所以 QT Q1
系统 → 系统变为稳定周期轨道 ↑
原驱动力 ＋驱动力的合适项（也可认为是小的扰动）
倒立摆的铅垂平衡（不是混沌系统），就是通过小车等
的适当小移动来保持在本质上是不稳定的铅垂状态。这
是一个控制不稳定不动点的例子。
• 1990年, Ott。Grebogi 和Yorke 开创性工作——基 于有无穷多的不稳定周期轨道嵌入在混沌吸引子中这 一事实，提出一种控制混沌运动的具体办法——OGY
n+1 f n , p 。在此截面上时间连续的周期轨道表现为有限
点集的时间离散轨道，进而研究这些点邻域内离散映象的
动力学行为。
注：与一般嵌入要求不同，再此实现点集嵌入时，嵌入维M 只要与该点坐标维数相同就足够了，所以M=D-1。如 D=3，M=2。 对序列 n 可确定混沌吸引子的许多不稳定周期轨道。接着 是选出合适的不稳定周期轨道，把它稳定化。为简化，设
..
QT Q R R1 QT DFQ (8)
1
k l i, j
设
Qklij
cos sin
k l i或k l j k i, l j
sin
k j,l i
设R，令
0
e1
0
r12 e2
其它
r13 r23
r1n r2 n
（9） (10)
R
0
r( n1) n
0 0
0
en
其中
i
是和系统Lyapunov指数相关的量
.1 r1'2 r1'3
，rij
r1'n
表R阵上的其它量。
所以有 .
0
.
2
r2 ' n
r' ( n 1)
n
（11）
.
0 0
0 n
由（9），（10），（11）有：i sii , i 1, 2, , n
其中 S QT DFQ ， 此时系统(1)的Lyapunov指数为
令是不由n动序1 点列确FF 定pp的 矢pg量，M。g所以n 有FF ppp， 其|p中0 0M是2p×12矩F阵 。p
n1 pn g u eu fu s es fs n pn g eu与es是不稳定与稳定流形方向上的单位矢量，u与s是不动
点处的不稳定与稳定本征值（ u 1 s），g, eu , es , u , s 均可
5.1 混沌动力学系统的特性分析——同时 含有Lyapunov Exponents
一、线性定常连续系统
二、非. 线性连续系统
一中 x Ax x(0, x0 ) x0 Rn ，A为n×n常数矩阵 ，
解为xt xt, x0
或 x0
二中
dz F dt
场。令 Z
lim1ln
t t
z,t (1)
Andrievsky B.R.,Fradkov A.L. Feedback resonance in single and
coupled 1-DOF oscillators // Intern. J of Bifurcation and Chaos, 1999,
N 10, pp.2047-2058.
道稳定在无穷多不稳定轨道中预期的一条特定轨道上。 1.表明：仔细选择小扰动可对系统的长时间行为产生大的有益变
化 对混沌系统，可以不用改变系统的整体构形，通过对系统的参 数作小的改变就可以使其稳定化于不同的周期轨道 2.表明：只以很低的能量消耗就能在同一混沌系统的不同周期
轨道之间 实现转换，产生各种各样的稳定化的周期运动。 同时混沌系统的这种敏感性还有利于迅速地引导轨道进入期望地状 态。如：NASA——将ISEE—3I/C太空船在完成主要任务后，用 仅剩地少量肼燃料送到了距太阳8千万英里地地方，首次实现了与 彗星地碰撞。这就是由于天体力学地“三体问题”对扰动敏感性地
15
1, 1 2 - inphase motion
16
1, 1 2 , system with loss ( 0.1)
17
二、基本原理 现象：何混沌轨道中都内含无穷多个不稳定的周期轨 道（即原有混沌系统的解的轨道—若系统初始处于这 些轨道上，那么系统将永远保持在这些轨道上），这 些轨道稠密地分布到混沌吸引子的各个角落。 事实上，由于轨道不稳定（非稳定轨道），所以其附 近的系统都会远离这些轨道。 控制思想：由于有无穷多不稳定周期轨道稠密地分布 于混沌吸引子闭包上，故有可能通过对系统的参数连 续施加微小扰动，使在无穷条不稳定周期轨道中所期 望的那个不稳定周期轨道稳定化—使系统进入这个周
1 2 , H H H* , 0 gain, 0 1
13
3.5.4 Simulation results