市场占有率问题摘要本文通过对马尔可夫过程理论中用于分析随机过程方法的研究,提出了将转移概率矩阵法应用于企业产品的市场占有率分析当中,认为该理论的无后效性和稳定性特点能够帮助企业在纵向和横向资讯不够充分的情况下克服预测的误差和决策的盲目性,并给出了均衡状态下的市场占有率模型,以期通过不同方案的模拟分析,帮助企业优化决策.关键词马尔科夫链转移概率矩阵一、问题重述1.1背景分析现代市场信息复杂多变，一个企业在激烈的市场竞争环境下要生存和发展就必须对其产品进行市场预测，从而减少企业参与市场竞争的盲目性，提高科学性。
然而，市场对某产品的需求受多种因素的影响，其特性是它在市场流通领域中所处的状态。
这些状态的出现是一个随机现象，具有随机性。
为此，利用随机过程理论的马尔可夫（Markov）模型来分析产品在市场上的状态分布，进行市场预测，从而科学地组织生产，减少盲目性，以提高企业的市场竞争力和其产品的市场占有率。
1.2问题重述预测A、B、C三个厂家生产的某种抗病毒药在未来的市场占有情况二、问题分析第一步进行市场调查．主要调查以下两件事：（1）目前的市场占有情况．若购买该药的总共1000家对象（购买力相当的医院、药店等）中，买A、B、C三药厂的各有400家、300家、300家，那么A、B、C 三药厂目前的市场占有份额分别为：40%、30%、30%．称（0.4，0.3，0.3）为目前市场的占有分布或称初始分布．（2）查清使用对象的流动情况．流动情况的调查可通过发放信息调查表来了解顾客以往的资料或将来的购买意向，也可从下一时期的订货单得出．若从定货单得表1-0．表（1-5） 顾客订货情况表下季度订货情况 合计 来 自A B C A 160 120 120 400 B 180 90 30 300 C180 30 90 300 合计5202402401000第二步 建立数学模型．假定在未来的时期内，顾客相同间隔时间的流动情况不因时期的不同而发生变化，以1、2、3分别表示顾客买A 、B 、C 三厂家的药这三个状态，以季度为模型的步长（即转移一步所需的时间），那么根据表（1-5），我们可以得模型的转移概率矩阵：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3.01.06.01.03.06.03.03.04.030090300303001803003030090300180400120400120400160333231232221131211p p p p p p p p p P矩阵中的第一行（0.4，0.3，0.3）表示目前是A 厂的顾客下季度有40%仍买A 厂的药，转为买B 厂和C 厂的各有30%．同样，第二行、第三行分别表示目前是B 厂和C 厂的顾客下季度的流向．由P 我们可以计算任意的k 步转移矩阵，如三步转移矩阵：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==252.0244.0504.0244.0252.0504.0252.0252.0496.03.01.06.01.03.06.03.03.04.033)3(P P 从这个矩阵的各行可知三个季度以后各厂家顾客的流动情况．如从第二行（0.504，0.252，0.244）知，B 厂的顾客三个季度后有50.4%转向买A 厂的药，25.2%仍买B 厂的，24.4%转向买C 厂的药．三、模型假设1、购买3种类型产品的顾客总人数基本不变；2、市场情况相对正常稳定，没有出现新的市场竞争；3、没有其他促销活动吸引顾客。
四、模型的建立与求解4.1模型背景在考虑市场占有率过程中影响占有率的大量随机性因素后，可以认为这一过程充满着控制、反馈、反复，这与马尔柯夫链的过渡类状态有着相似之处，因此可将市场占有率问题认为是一个随机性马尔柯夫过程，即从一个时刻t 到下一个时刻的状态变化是随机的。
在群体数目较大或扩散时间t 的单位选取较大时，我们假定群体数目的变化在时间上是连续的，可以建立一个随机过程模型研究。
4.2建立模型根据有关数据统计，依据随机变量市场占有率数据，对[]+∞,0进行适当划分，计算得转移概率P ij ，通过P ij =P(X 1 = j | X 0 = i),可以得到P=()E j i Pij ∈,,，然后计算P (m)=(Pm ij)(,i,j E∈)。
由此可构建市场占有率预测模型，即m 阶的马尔柯夫链{}0≥n Im：的转移矩阵：P m )( = mN N N N N N p p p p p p p p p ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 212222111211=p m （1—1）得到m 阶的转移概率，就可以得到m 个周期后的市场占有率的转移矩阵。
假设初始市场占有率为 ),,,()0()0(2)0(1)0(N P P P S =，则有m 个周期之后的市场占有率为P S P S S m m m ⋅=⋅=-)1()0()( 即得mn n n n n n n m m m p p p p p p p p p p p p P S P S S ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛===- 212222111211)0()0(2)0(1)0()1()(),,(（1—2）如果按公式（1-2）继续逐步求市场占有率，会发现，当m 大到一定的程度，S (m )将不会有多少改变，即有稳定的市场占有率，设其稳定值为：),,,(21n p p p S =，且满足121=+++n p p p ．如果市场的顾客流动趋向长期稳定下去，则经过一段时期以后的市场占有率将会出现稳定的平衡状态，即顾客的流动，不会影响市场的占有率，而且这种占有率与初始分布无关．按照实际意义，我们可以近似的看待最终的市场占有率，得出计算式：⎪⎩⎪⎨⎧==∑=ni k P SPS 01 （1—3） 一般N 个状态后的稳定市场占有率（稳态概率）),,(21N p p p S =可通过解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑=1),,(),,(12122221112112121nk k nn n n n n n n p p p p p p p p p p p p p p p p （1—4） 求得最终稳态时的市场占有率P ，而（1—4）的前N 个方程中只有N-1个是独立的，可任意删去一个． 4.3模型求解设),,()(3)(2)(1)(k k k k p p p S =表示预测对象k 季度以后的市场占有率，初始分布则为),,()0(3)0(2)0(1)0(p p p S =，市场占有率的预测模型为P S P S S k k k ⋅=⋅=-)1()0()( （1-6）现在，由第一步，我们有)3.0,3.0,4.0()0(=S ，由此，我们可预测任意时期A 、B 、C 三厂家的市场占有率．三个季度以后的预测值为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅==252.0244.0504.0244.0252.0504.0252.0252.0496.0)3.03.04.0(),,(3)0()3(3)3(2)3(1)3(P S p p p S)2496.02496.05008.0(=大致上，A 厂占有一半的市场，B 厂、C 厂各占四分之一．依次类推下去可以求得以后任一个季度的市场占有率，最终达到一个稳定的市场占有率。
当市场出现平衡状态时，从公式（1-3）可得方程如下：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3.01.06.01.03.06.03.03.04.0),,(),,(321321p p p p p p由此得⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113.01.03.01.03.03.06.06.04.0pp p p p p p p p p p p 经整理，并加上条件1321=++p p p ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-+=+-=++-1p p p 00.7p 0.1p 0.3p 00.1p 0.7p 0.3p 00.6p 0.6p 0.6p 321321321321 上方程组是三个变量四个方程的方程组，在前三个方程中只有二个是独立的，任意删去一个，从剩下的三个方程中，可求出唯一解：5.01=p ， 25.02=p ， 25.03=p这就是A 、B 、C 三家的最终市场占有率．五、模型的推广马尔科夫分析法，是研究随机事件变化趋势的一种方法。
市场商品供应的变化也经常受到各种不确定因素的影响而带有随机性，若其无“后效性”，则用马尔科夫分析法对其未来发展趋势进行市场趋势分析，提高市场占有率的策略预测市场占有率是供决策参考的，企业要根据预测结果采取各种措施争取顾客。
马尔科夫过程是一种重要的随机过程，它假定系统可以分成若干类别或者状态，研究对象在不同的状态之间随机游动。
如果研究对象随时间的变化是离散的，称之为马尔科夫链。
马尔科夫链是一种基本模型，这种模型主要联系空间的分类、状态转移概率矩阵、状态空间的分解、平稳分布等。
六、模型的评价与改进6.1模型的优点马尔科夫链模型简单易懂，恰好能解决题目所提的问题，计算量小，而且该模型使用起来比较方便。
6.2模型的缺点由于实际中还要考虑诸多因素：比如厂家促销活动、经营的淡季与忘季等。
所以马尔科夫链模型只能忽略这些因素而得出理想化结果。
结束语：本文通过理论叙述和简单的应用实例说明，帮助读者理解马尔可夫模型在产品市场占有率预测中的应用。
本文介绍的方法简单实用，且有很大的可信度。
可以推广到股票市场的股价预测和其它相似的领域的预测。
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