焦点在y轴:
y 2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
建系
以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2标的中 垂线为y轴系建立直角坐标系。
M(x, y)
设标
设M(x, y)， y ，F2(c, 0). F1(-c, 0)
x
y
(-c, 0)
F2
(c, 0)
列式
动点M 的集合是： { M | | MF | | MF |= ± 2 a } 1 2 O O x F F
4. 双曲线的标准方程对比
定义
图象
| |MF1| - |MF2| | = 2a(0 < 2a < 2c)
y
F1
y
F2 F2
O
x
O
F1
x
方程 焦点
a、b、c的 关系
x2 y 2 2 1 2 a b
F c, 0
y 2 x2 2 1 2 a b
F 0, c
2 2 2
c a b
预习自测
x2 y 2 1. 双曲线 1 上一点P到点(5, 0)的距离是 16 9
15，则该点到点(-5, 0)的距离是（ D ） A. 7 B. 23 C. 5或25 D. 7或23
x2 y 2 x2 2. 椭圆 1 与双曲线 y 2 1 有相同的 9 m m
焦点，则m＝_____. 4
2. 思考： 平面内与定点F1，F2的距离之差等于的 点的集合（轨迹）会是什么曲线呢？
动手实践
根据下列条件画图，想一想：会是 什么图形呢？
平面内与定点F1，F2的距离之差等于 定长的点的集合（轨迹）。
问题导学
3. 双曲线的定义 定点F1,F2距离之差的绝对值 平面内与_________________________ 定长2a (｜F1F2｜> 2a > 0 )的点的集合 等于______ （轨迹）叫做双曲线，两定点F1，F2叫双曲 焦点，定点之间的距离叫双曲线的焦距 线的____ ____。
y
F1
Байду номын сангаас
y
F2 F2
O
x
O
F1
x
方程 焦点
a、b、c的 关系
x2 y 2 2 1 2 a b
F c, 0
y 2 x2 2 1 2 a b
F 0, c
2 2 2
c a b
反馈测评
x2 y2 1 的两个焦点F1，F2，A是双曲 1. 双曲线 9 16
线上的一点，且|AF1| = 8，则|AF2| =_______.
问题导学
4. 双曲线标准方程的特点
焦点在 ①双曲线的标准方程表示的是_______ 坐标轴上，中心在坐标原点 的双曲线；方 _______________________
1 两数的平方差 ，右边是___. 程的左边是____________ x2项 是正项，焦 ②焦点在x轴的双曲线____
2项 y 点在y轴的双曲线____是正项.
1 2
( x c) 2 y 2 ( x c) 2 y 2 2a
化简 验证
(a c ) x a y (a c )a 2 2 x y 2 1(a 0, b 0) 2 a b
2 2 2 2 2 2 2 2
F1
令b2 a2 c2
证明所求的方程就是双曲线的方程
预习自测
3. 求满足下列条件的双曲线的标准方程 （1）a = 3，b = 4，有焦点在x轴上；
3 5 ). （2）焦点为(0, -5)， (0, 5)，且过点 P(2, 2
x2 y 2 (1) 1 9 16
y2 y2 (2) 1 9 16
探究一、求下列条件的双曲线的标准方程
（1）焦点在y 轴上，焦距为6，过点A(1, 4); （2）a + b = 14，c = 10; 3 5 和 4 7 （3）过点 P P2 ( , 4) ) 1 ( 2, 3 2 探究二、求与⊙C1：(x + 3)2 + y2 = 1和⊙C2：
(1)当｜F1F2｜＝ 2a时，动点的轨迹是 以F1，F2为端点的直线F1F2上的两条射线 _____________________________________. 无轨迹 (2)当｜F1F2｜< 2a时，_______.
问题导学
3. 双曲线的标准方程 焦点在x轴:
x2 y 2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
x2 y2 1 表示双曲线，求实数m 2. 若方程 | m | 2 5 m 的取值范围。
双曲线及其标准方程
复习导入
1. 椭圆的定义 定点F1，F2的距离之和 等于 平面内与______________________ 定长2a (｜F1F2｜< 2a )的点的集合（轨迹） ______ 焦点 ，两 叫做椭圆，定点F1，F2叫椭圆的_____ 焦距 。 定点之间的距离叫椭圆的______
(x-3)2 + y2 = 9都外切的圆M的圆心的轨迹方程。
总结拓展
1、双曲线的定义 定点F1,F2距离之差的绝对值 平面内与_________________________ 定长2a (｜F1F2｜> 2a )的点的集合（轨 等于______ 迹）叫做双曲线，两定点F1，F2叫双曲线的 焦点 焦距 。 ____，两定点之间的距离叫双曲线的______
｜ ｜MF1｜-｜MF2｜ ｜ =2a (2a>2c>0)
2、轨迹的讨论
(1)当｜F1F2｜> 2a时，轨迹是_______； (2)当｜F1F2｜＝2a时，轨迹是_______； (3)当｜F1F2｜< 2a时， _________.
4. 双曲线的标准方程对比
定义
图象
| |MF1| - |MF2| | = 2a(0 < 2a < 2c)