双曲线及其标准方程（第一课时）
教学目标：
1．掌握双曲线的定义，能说出其焦点、焦距的意义；
2．能根据定义，按照求曲线方程的步骤推导出双曲线的标准方程，熟练掌握两类标 准方程；
3．能解决较简单的求双曲线标准方程的问题；
4．培养学生观察、分析、归纳和逻辑推理能力。

教学重点：双曲线的定义和标准方程。

教学难点：双曲线标准方程的推导过程。

教学过程：
一、创设情景，引入新课：
师：我们先来思考这样一个问题：（打开几何画板）已知定点)0,1(1-F 和)0,1(2F ，定圆1C 的圆心为1F ，且半径为r ，动圆2C 过定点2F ，且与定圆相切。

（1）若4=r ，试求动圆圆心的轨迹；（2）若1=r ，试求动圆圆心的轨迹。

（教师结合几何画板演示分析）：
师：当4=r 时，我们得到的轨迹是什么？
生：是椭圆。

是：为什么？
生：因为当4=r 时动圆2C 内切于定圆1C ，所以两个圆的圆心距1MF 满足 214MF MF -=，移项后可以得到：421=+MF MF 满足椭圆的定义，所以得到的轨迹是一个
以1F 、2F 为定点，4为定长的椭圆。

师：很好。

那么，当1=r 呢，此时动圆2C 与定圆1C 相切有几种情况？
生：有两种情况：内切和外切。

师：我们先来考察两圆外切时的情况（演示），我们得到的轨迹满足什么条件？
生（同时教师板书）：由于两圆外切，所以两个圆的圆心距1MF 满足 211MF MF +=，移项后可以得到：121=-MF MF 。

(教师演示轨迹)
师：我们再来考察两圆内切时的情况（演示），我们得到的轨迹又满足什么条件？ 生（同时教师板书）：由于两圆内切，所以两个圆的圆心距1MF 满足 121-=MF MF ，移项后可以得到：121-=-MF MF 。

(教师演示轨迹)
师（同时演示两种情况下的轨迹）：我们可以得到与定圆相切且过定点的动圆的圆心满足
121±=-MF MF 即121=-MF MF ，圆心的轨迹我们称之为双曲线。

二、新课讲解：
1、定义给出
师：今天我们来学习双曲线。

同学们能否结合刚才的问题给双曲线下个一般定义？ 生：双曲线是到平面上两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹。

这两个定点叫
做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。

师：由椭圆的定义，一般情况下，我们设该常数为2a 。

那么什么情况下表示的是双曲线的右支，什么情况下表示的是双曲线的左支？ 生：当a MF MF 221=-时，表示的是双曲线的右支，当a MF MF 221-=-时，表示的是双曲线的左支。

2、定义探究
（教师引导学生分情况讨论）：
师：这个常数2a 有没有限制条件？
生：有。

这个常数2a 要比焦距21F F 小。

师：很好。

为什么要有这个限制条件呢？其他情况会是怎样的呢？我们一起来分析一下：
（1）若a=0，则有021=-MF MF 即21MF MF =，此时轨迹为线段21F F 的中垂线；
（2）若2a=21F F ,则有2121F F MF MF ±=-，此时轨迹为直线21F F 上除去线段21F F 中间部分，
以1F 、2F 为端点的两条射线；
（3）若2a>21F F ,则根据三角形的性质，轨迹不存在。

3、双曲线标准方程的推导过程：
师：我们学过求曲线的方程的一般步骤，现在我们一起根据定义求双曲线的标准方程。

（师生互动，
共同推导之）
第一步：建立直角坐标系；
第二步：设点：设M(x ，y)，焦点分别为)0,(1c F -和)0,(2c F ，M 到焦点的距离差的绝对值等于2a ； 第三步：启发学生根据定义写出M 点的轨迹构成的点集： {}a MF MF M P 221±=-=；
第四步：建立方程：a y c x y c x 2)()(2222±=+--++；
第五步：化简，得到)0,0(12222>>=-b a b
y a x
教师强调：我们得到了焦点在x 轴上，且焦点是)0,(1c F -和)0,(2c F 的双曲线标准方程为
)0,0(12
222
>>=-b a b y a x ，这里222b a c += 师：那么如果焦点在y 轴上呢？（学生练习）
生（练习后）：此时的标准方程应该是)0,0(122
22>>=-b a b
x a y 。

4．双曲线标准方程的探讨：
师：刚才我们共同推导了双曲线的标准方程。

请同学想一下，双曲线标准方程中字母a 、b 、c 的关
系如何？是不是b a >？ 生：a 、b 、c 满足等式222b a c +=，所以有222b c a -=，可以得到c b a <,，但不能判断b a >。

师：很好。

我们在求双曲线标准方程过程中还发现，确定焦点对求双曲线方程很重要。

那么如何根
据方程判定焦点在哪个坐标轴上呢？
生：由于焦点在x 轴和y 轴上标准方程分别为122
22=-b y a x 和12222=-b
x a y ，我们发现焦点所在轴相关的未知数的分母总是a ，所以可以由a 来判定。

师：很好。

如果我们知道的方程是12
32
2=-y x ，那么你如何寻找a ？ 生：因为a 所在的这一项未知数的系数是正的，所以只要找正的系数就可以了。

师：如果方程是12
32
2-=-y x 呢？ 生：先化成标准方程。

师：请同学总结一下。

生：化标准，找正号。

5．运用新知：
【练习】已知方程11
922
=+-m y x 表示双曲线，则m 的取值范围是__________，此时 双曲线的焦点坐标是________________，焦距是________________；
【变式】若将9改成m +2，则m 的取值范围是________________________。

【例1】已知双曲线两个焦点的坐标为)0,5(1-F 、)0,5(2F ，双曲线上一点P 到1F 、2F 的距离的差的
绝对值等于6，求双曲线的标准方程。

解：因为双曲线的焦点再x 轴上，所以设它的标准方程为
)0,0(12222
>>=-b a b
y a x ，
因为2a=6，2c=10，所以a=3，c=5。

所以1635222=-=b ，
所以所求双曲线的标准方程为116
92
2=-y x 。

【变式】已知两个定点的坐标为)0,5(1-F 、)0,5(2F ，动点P 到1F 、2F 的距离的差
等于6，求P 点的轨迹方程。

解：因为621=-PF PF ，所以P 的轨迹是双曲线的右支，设双曲线标准方程为
)0,0(12
2
22>>=-b a b y a x ， 因为2a=6，2c=10，所以a=3，c=5。

所以1635222=-=b ，
所以所求P 点的轨迹方程为)3(116
92
2≥=-x y x 。

【例2】已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线上两点1P 、2P 的坐标分别为
)5,4
9()24,3(、-，求双曲线的标准方程。

解：因为双曲线的焦点在y 轴上，所以设所求双曲线的标准方程为 )0,0(122
22>>=-b a b
x a y ， 因为点1P 、2P 在双曲线上，所以点1P 、2P 的坐标适合方程，代入得： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--1492513)24(22222
22b a
b a 可解得：⎪⎩⎪⎨⎧==91622b a 。

所以所求双曲线得标准方程为：19
162
2=-x y 。

【变式】已知双曲线的焦点在坐标轴上，并且双曲线上两点1P 、2P 的坐标分别为
)5,4
9()24,3(、-，求双曲线的标准方程。

（分情况讨论） 【练习】（1）ABC ∆一边两个端点是)6,0(B 和)6,0(-C ，顶点A 满足8=-AC AB ， 求A 的轨迹方程。

（2）ABC ∆一边的两个端点是)6,0(B 和)6,0(-C ，另两边所在直线的斜率之积是9
4，求顶点A 的轨迹。

三、本课小结：
师：我们总结一下本节课我们学了什么？
生：1、双曲线的定义；2、双曲线标准方程推导过程；3、运用已有知识解决一些
简单的问题。

四、作业：
课本P108：2、3、4
问题：一炮弹在M 处爆炸，在1F 、2F 处听到爆炸声。

已知两地听到爆炸声的时间差为2s ，又知两地相距800m ，并且此时的声速为s m /340，那么M 点一定在哪条曲线上？。