函数与方程与恒成立、存在性问题练习
1当
1(,3)||13
a x log x ∈<时，恒成立，则实数a 的范围是____ 2.已知2
sin cos 0a x x +->，x R ∈恒成立，则a 的范围为
3.若关于x 的不等式
a
x x ≥++-21恒成立，试求a 的范围为
4.方程x(x -1)=a 有四个不相等的实数解求实数a 的范围为
5.如果方程cos 2
x －sinx ＋a ＝0在(0，π2]上有解，求a 的取值范围为
6.sinx=lgx 的实数解的个数为
7.已知函数
2x
y a =+有零点，则实数a 的取值范围为 8.已知关于x 的方程
()
2log 20,1a x a a -=>≠有两解，则实数a 的范围为
9．方程lnx+2x=6的解一定位于区间（k ，k+1）内则k 的值为
10.已知函数f x =x 2−1,g x =a x −1 .
(1)若关于x 的方程 f(x) =g(x)只有一个实数解，求实数a 的取值范围；（a<0） (2)若x ∈R 时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a 的取值范围。

(a ≤−2)
11. 已知函数a x ax x f 21)(2++-=（a 是常数且R a ∈）
（1）若函数)(x f 的一个零点是1，求a 的值；（2）求)(x f 在][2,1上的最小值)(a g ； （3）记{}
0)(<∈=x f R x A 若φ=A ，求实数a 的取值范围.
解(1) 由题意知3
2022)1(=∴=+-=a a a f …………………2分
（2）][2,1,12)(2∈-+-=x a x ax x f
ⅰ 当0=a 时3)2()(-==f a g ………………3分
ⅱ 当 0<a 时，对称轴为021<=a
x 36)2()(-==a f a g
ⅲ 当0a >时抛物线开口向下，对称轴为12x a
= 若
1
12a
< 即12a >时，()(1)32g a f a ==-
若1122a ≤≤即11
42
a ≤≤时，11()()2124g a f a a a ==--
若
1
22a
>即104a <<时，()(2)63g a f a ==- ………………7分
综上所述： 163,4111()21,442132,2a a g a a a a a a ⎧-<⎪⎪
⎪=--≤≤⎨
⎪
⎪
->⎪⎩
……………… 8分
（3）由题意知：不等式0)(<x f 无解 即 0212
≥++-a x ax 恒成立
即2
12++≥
x x a 对任意R x ∈恒成立
令1+=x t 则)(3
22
t g t t t
a =+-≥
对任意R t ∈恒成立 ………………12分
ⅰ 当0=t 时0)0(=g ……………… 13分 ⅱ 当0>t
时 41
3)3()(max +=
=g t g （要具体展开计算） ⅲ 当0<t 时4
1
3)3()(min -=-=g t g （要具体展开计算）
max )(t g a ≥∴ 即4
1
3+≥a ………………16分。