函数单调性、奇偶性、对称性、周期性解析一、函数的单调性1．单调函数与严格单调函数设()f x 为定义在I 上的函数，若对任何12,x x I ∈，当12x x <时，总有(ⅰ) )()(21x x f f ≤，则称()f x 为I 上的增函数，特别当且仅当严格不等式12()()f x f x <成立时称()f x 为I 上的严格单调递增函数。

(ⅱ) )()(21x x f f ≥，则称()f x 为I 上的减函数，特别当且仅当严格不等式12()()f x f x >成立时称()f x 为I 上的严格单调递减函数。

2．函数单调的充要条件★若()f x 为区间I 上的单调递增函数，1x 、2x 为区间内两任意值，那么有：1212()()0f f x x x x ->-或1212)[()()]0f f x x x x -->（★若()f x 为区间I 上的单调递减函数，1x 、2x 为区间内两任意值，那么有：1212()()0f f x x x x-<-或1212)[()()]0f f x x x x --<（3．函数单调性的判断(证明) (1)作差法(定义法) (2)作商法4复合函数的单调性的判定对于函数()y f u =和()u g x =，如果函数()u g x =在区间(,)a b 上具有单调性，当(),x a b ∈时(),u m n ∈，且函数()y f u =在区间(,)m n 上也具有单调性，则复合函数(())y f g x =在区间(),a b 具有单调性。

5．由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断对于两个单调函数()f x 和()g x ，若它们的定义域分别为I 和J ，且I J ⋂≠∅： (1)当()f x 和()g x 具有相同的增减性时，函数1()()()F x f x g x =+、2()()()F x f x g x =⋅的增减性与()f x (或()g x )相同，3()()()F x f x g x =-、4()()(()0)()f x F xg x g x =≠的增减性不能确定；(2)当()f x 和()g x 具有相异的增减性时，我们假设()f x 为增函数，()g x 为减函数，那么： ①1()()()F x f x g x =+、2()()()F x f x g x =⋅的增减性不能确定； ② 3()()()F x f x g x =-、4()()(()0)()f x F x g x g x =≠为增函数，5()()(()0)()g x F x f x f x =≠为减函数。

二、函数的奇偶性1. 奇偶性的定义如果对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x =-，则称函数()f x 为偶函数；如果对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x =--，则称函数()f x 为奇函数。

2.奇偶性的几何意义具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称，奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称。

3.函数奇偶性的判断(证明) (1)比较()f x 与()f x ±-的关系；(2)()()f x f x -（()0f x -≠）与1±的关系； (3)()()f x f x ±-与0的关系4.由具有奇偶性的函数的四则运算所得到的函数的奇偶性的判断对于两个具有奇偶性的函数()f x 和()g x ，若它们的定义域分别为I 和J ，且I J ⋂≠∅： (1)当()f x 和()g x 具有相同的奇偶性时，假设为奇函数，那么： ①函数1()()()F x f x g x =+、3()()()F x f x g x =-也为奇函数； ②2()()()F x f x g x =⋅、4()()(()0)()f x F xg x g x =≠为偶函数； (2)当()f x 和()g x 具有相异的奇偶性时，那么：①1()()()F x f x g x =+、3()()()F x f x g x =-的奇偶性不能确定； ②2()()()F x f x g x =⋅、4()()(()0)()f x F x g x g x =≠、5()()(()0)()g x F x f x f x =≠为奇函数。

若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.三、函数的对称性1.函数自对称（1）关于y 轴对称的函数（偶函数）的充要条件是)()(x f x f =-（2）关于原点()0,0对称的函数（奇函数）的充要条件是0)()(=-+x f x f （3）关于直线y x =对称的函数的充要条件是1()()f x f x -=2.两个函数的图象对称性（1）)(x f y =与)(x f y -=关于x 轴对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=y 对称。

（2）)(x f y =与)(x f y -=关于y 轴对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=x 对称。

（3）)(x f y =与)2(x a f y -=关于直线a x =对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)2()(x a g x f -=，即它们关于a x =对称。

（4）)(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足a x g x f 2)()(=+，即它们关于a y =对称。

（5）)2(2)(x a f b y x f y --==与关于点(),a b 对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足b x a g x f 2)2()(=-+，即它们关于点(),a b 对称。

（6）)(x a f y -=与)(b x y -=关于直线2ba x +=对称。

（7）()y f x =与1()y fx -=关于直线y x =对称。

若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a 对称; 3.几个常见的函数方程（1）正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=. （2）指数函数()xf x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.（3）对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠.（4）幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==.（5）余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+，()(0)1,lim1x g x f x→==.四、函数的周期性主要结论1．如果函数)(x f y =对于一切x ∈R,都有)()(x a f x a f -=+ (⇔)()2(x f x a f =-),那么函数y=f(x)的图像关于直线a x =对称⇔)(a x f y +=是偶函数2．如果函数)(x f y = 对于一切x ∈R, 都有f(a+x)=f(b-x)成立，那么函数)(x f y =的图像关于直线x=2b a +（由x=2)()(x b x a -++确定）对称 3. 如果函数)(x f y =对于一切x ∈R, 都有b x a f x a f 2)()(=-++成立, 那么函数)(x f y =的图像关于点),(b a 对称4.两个函数图像之间的对称性（1）函数)(x f y = 与函数)(x f y -=的图像关于直线0=x (即y 轴)对称；函数)(x f y = 与函数)(x f y -=的图像关于直线0=y ; 函数)(x f y = 与函数)(x f y --=图像关于坐标原点对称。

（2）函数)(),(x b f y x a f y -=+=,的图像关于直线2ba x -=(由xb x a -=+确定)对称（3）函数)(x f y =与函数)(x f A y -=的图像关于直线2Ay =对称（由[][]2)()(x f A x f y -+=确定（4）函数)(x f y =与函数)(x n f m y --=的图像关于点)2,2(mn 中心对称 5.左加右减（对一个x 而言），上加下减（对解析式而言）：若将函数)(x f y =的图像右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图像；若将曲线0),(=y x f 的图像右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图像6.函数)0)((>+a a x f 的图像是把)(x f y =的图像沿x 轴向左平移a 个单位得到的；函数)0)((<+a a x f 的图像是把)(x f y =的图像沿x 轴向右平移a 个单位得到的；函数)(a wx f y +=的图像是把)(b wx f y +=的图像沿x 轴向左平移wba -个单位得到的 7.定义：对于函数)(x f ，如果存在一个非零常数T 。

使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+，则)(x f 的最小正周期为T ，T 为这个函数的一个周期8.如果函数)(x f 是R 上的奇函数，且最小正周期为T ，那么0)2()2(=-=Tf T f 9. 如果函数)(x f 所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做)(x f 的最小正周期，如果函数)(x f 的最小正周期为T 则函数)(ax f 的最小正周期为aT，如果)(x f y =是周期函数，那么)(x f y =的定义域无界10.关于函数的周期性的几个重要性质：（1）如果)(x f y =是R 上的周期函数，且一个周期为T ，那么))(()(Z n x f nT x f ∈=± （2）函数图像关于b x a x ==,轴对称)(2b a T -=⇒ （3）函数图像关于()()0,,0,b a 中心对称)(2b a T -=⇒（4）函数图像关于a x =轴对称，关于()0,b 中心对称)(4b a T -=⇒ （5）)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f 或)0)(()(1)(≠-=+x f x f a x f 或)()(x f a x f =+或[]1(),(()0,1)2f x a f x =+∈, 则)(x f 的周期T=2a（6）)1)((,)(11)(≠-=+x f x f a x f ，则)(x f 的周期T=3a（7）)(1)(1)(x f x f a x f -+=+则)(x f 的周期T=4a ；（8）()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ；（9）)()()(a x f x f a x f --=+，则)(x f 的周期T= 6a。