上 海 交 通 大 学 试 卷（ A 卷 ）课程 线性代数（B 类） 学期 2011－2012第1学期班级号 学号 姓名一．单项选择题 （每题3分，共18分）1．设A ，B 为n 阶方阵，且A A =2，B B =2。

则 （ ） （A ）)()(B r A r =时，A ，B 不相似； （B ）)()(B r A r ≠时，A ，B 相似； （C ）)()(B r A r =时，A ，B 相似； （D ）以上都有可能。

2．设A 为n 阶反对称矩阵 ，则 （ ） （A ）0)(=+E A r ； （B ）n E A r =+)(； （C ）n E A r <+<)(0； （D ）以上都有可能。

3．设B A ,为n 阶方阵，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A C 00。

则伴随矩阵*C 为 （ ）（A ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛**B A A B ||00||； （B ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛**B B A A ||00||； （C ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛**A AB B ||00||； （D ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛**A B B A ||00||。

4．设A 为n m ⨯的实矩阵，矩阵)(A A T正定的充分必要条件为 （ ） （A ）m A r =)(； （B ）m A r <)(； （C ）m A r <)(； （D ）n A r =)(。

5．设α是单位向量，矩阵ααTk E A +=，其中1-≠k 。

则 （ ）我承诺，我将严格遵守考试纪律。

（A ）A 为正交矩阵； （B ）A 为正定矩阵； （C ）A 为可逆矩阵； （D ）A 为反对称矩阵。

6．设向量组321,,ααα线性无关，向量321,,βββ线性相关但相互不成比例，且， 321332123211,,αααβαααβαααβk k k ++=++=++=。

则 （ ） （A ）2-=k 或 1=k ； （B ）1=k ；（C ）2-≠k 且 1≠k ； （D ）2-=k 。

二．填空题 （每题3分，共18分）7．设行列式 411131112=D ，j i A 是D 中元素j i a 的代数余子式，则∑∑==3131i j ji A＝ 。

8．已知4阶行列式4||j i a 的展开式中某项为42143123)1(a a a a k-。

则=k 。

9. 设33)(⨯=ij a A ,j i A 是||A 中j i a 的代数余子式，j i j i A a =，13121132a a a ==。

已知011<a ，则=11a 。

10．设A 是实对称可逆矩阵，则线性变换x A y =将二次型Ax x f T=化为二次型____________________。

11．已知实二次型323121232221321222)1()1()1(),,(x x x x x x x x x x x x f λλλλλλ++++++++=是正定二次型，则常数λ的取值为 。

12．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111111a a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211β，已知线性方程组β=Ax 有解但不唯一。

则常数a ＝ 。

三．解答题 （每题8分，共48分） 13．设实向量()T na a a ，，， 21=α,n 阶矩阵T E A αα+=，行列式||A D n=。

（1）计算3D ； （2）证明：1-≥n n D D 。

14．已知非齐次线性方程组 b Ax =为 ⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++=-+lkx x x x kx x x x kx 32132132134 。

（1）试求行列式||A ；（2）试问：常数l k ，为何值时，方程组有唯一解、无解、有无穷多解。

当方程组有无穷多解时，求出其通解15．已知B A ,为3阶矩阵，其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100020011A 。

（1）化简等式 E BA BA A -=*； （2）求满足（1）中等式的矩阵B 。

16．已知二次型Ax x x x x f T =)(321，，经正交变换 y Q x =化为标准型 2322212y y y -+，且正交矩阵Q 的第三列为T )313131(，，。

（1）试求：正交矩阵Q 和实对称矩阵A ；（2）证明：矩阵E A B 3+=为正定矩阵。

17．已知矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=210010000010010y A 有1个特征值为3。

（1）试求：常数y ，以及矩阵)(A A T的特征值； （2）试求：可逆矩阵P ，使得矩阵)()(AP AP T为对角阵，并求出此对角阵。

18．已知向量空间3R 的两个基为)(a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0112α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1113α。

及)(b ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0111β，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1122β，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2223β。

向量32132αααα++=。

试求：（1）基)(a 到基)(b 的过渡矩阵A ；（2）α在基)(b 下的坐标y 。

四．论述或证明题 （每题8分，共16分） 19. （1）试叙述实矩阵A 为正交矩阵的定义；（2）证明：n 阶实矩阵A 是正交矩阵的充分必要条件为，在欧氏空间中对任意n 维列向量α，内积)()(αααα，，=A A 。

20. 设A ，B 为n 阶方阵，证明：齐次方程组0)(=x AB 与0=Bx 为同解方程的充分必要条件是秩)()(B r AB r =。

线 性 代 数（B 类）参 考 答 案一 单项选择题 C B A D C D 二 填空题7.36； 8.5； 9. 76-； 10. y A y f T 1-=； 11. 31->λ； 12. 2-。

三 解答题13．（1）23222123231332221231212131111a a a a a a a a a a a a a a a a a a D +++=+++=； (4分)（2）∑=+=+++=ki i k k k kk k a a a a a a a a a a a a a a a a D 1222122212121211111，21nn n a D D =--， 所以1-≥n n D D 。

(4分)14．（1）)2()1(||2++=k k A ； (2分) （2）2,1≠-≠k k ，有唯一解；1-=k 时无解，2=k 且1-≠l 时无解； (2分) 2=k 且1-=l 时有无穷多解，通解为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11102531c α。

(4分)15．（1）2||-=A ，E B E A =+)2(。

（4分）（2）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+=-1200030014121)2(1E A B 。

（4分） 16．（1）⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=3/16/203/16/12/13/16/12/1Q ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=011101110A 。

(6分)（2）B 实对称，且特征值为4,4,1,都大于零，所以正定。

(2分)17．（1） 因为 0)2(8|3|=-=-y A E ，所以2=y 。

A A T 的特征值为9111，，，。

(4分)（2）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=11011000020000221P ， ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==900010000100001)()()(P A A P AP AP TT T 。

(4分) 18．（1）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-2100010102102112211001101111A 。

(4分)（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-1123212/102/10010101x A y 。

(4分)四 论述与证明题19．（1）E A A AA tT==； (2分)（2）必要性：因为E A A T =，所以)()()(αααααααα，，===TT T A A A A 。

(2分) 充分性：因为 0)()(=-=-ααααααE A A A A TTTTT，所以E A A T -为反对称矩阵。

又 E A A T-为对称矩阵，故0=-E A A T 。

得E A A T=，A 为正交矩阵。

(4分)20。

必要性：它们的基础解系等价，所以)()(B r n AB r n -=-，故)()(B r AB r =。

(4分)充分性：显然0=Bx 的解都是组0)(=x AB 的解。

若有0)(=x AB 的解不是0=Bx 的解，则它们的基础解系不等价。

得)()(B r AB r ≠。

矛盾。

(4分)。