上海交通大学试卷(答案)
（2018至2019学年第2学期）
课程名称概率论(MS107)
第1题：[10分]
以下两题任选一题解答：
(1)箱子中有20个白球和30个黑球。

球被一个个取出直到箱子中只剩下同样颜色的球为止。

试计算剩下
的球全为白球的概率。

(2)一个罐子中有10个黑球和12个白球。

每次从罐子中等概率挑出一个球，再放回两个与之同色的球。

试说明前七次挑球看到颜色序列为(白白黑白白黑白)的概率与看到(黑黑白白白白白)的概率一致。

第2题：[10分]
以下两题任选一题解答：
(i)设Y1,...,Y n为一列独立同分布存在期望的随机变量。

令X1=Y1+···+Y n
n ,X2=Y1+···+Y n−1
n−1
,...,
X n−1=Y1+Y2
2
,X n=Y1。

试说明X1,X2,...,X n是一个鞅序列。

(ii)一个罐子中有10个黑球和12个白球。

每次从罐子中等概率挑出一个球，再放回九个与之同色的球。

令X n表示第n次取放球操作后罐子中黑球所占比例。

试说明(X n)是一个鞅序列。

第3题：[10分]
设A 为自然数集合的一个子集，且lim n →∞|A ∩{1,...,n }|
n
=δ。

对s >1,令P s (A )=
∑n ∈A n −s
∑∞n =1n
−s 。

求证：lim s →1+P s (A )=δ。

第4题：[15分]
设(Ω,F ,P )为一个概率空间，G 为F 的子σ-代数，X ∈L 1(Ω,F ,P ),Y ∈L 1(Ω,G ,P )。

试说明Y ≤E (X |G )几乎必然成立当且仅当∫
G (Y −X )dP ≤0对所有G ∈G 成立。

如果条件Y ∈L 1(Ω,G ,P )被替换为Y ∈L 1(Ω,F ,P )，请判断前述结论是否仍成立。

第5题：[15分]
(a)假定X,Y∈L1(Ω,F,P)且E(X|Y)≤Y与E(Y|X)≤X都几乎必然成立。

试说明P(X=Y)=1。

(b)假定X,Y∈L1(Ω,F,P)且E(X|Y)≤Y与E(Y|X)≥X都几乎必然成立。

试说明P(X≤Y)>0。

(c)对任意ϵ∈(0,1],试构造概率空间(Ω,F,P),随机变量X,Y∈L1(Ω,F,P)，使得E(X|Y)≤Y,
E(Y|X)≥X，且P(X≤Y)=ϵ。

第6题：[20分]
令(Ω,F,P)为一个概率空间，X∈L1(Ω,F,P)。

试说明P(X=0)=1当且仅当E(|X|Y)=0对所有Y∈m(F)成立。

第7题：[20分]
设(X n)为一随机变量序列，X为一随机变量。

考虑以下三个陈述。

(A)逐点收敛：P(X n→X)=1。

(B)依概率收敛：对任意ϵ>0,P(|X n−X|>ϵ)→0,n→∞。

(C)L1收敛：E(|X n−X|)→0。

试说明(A)蕴含(B),而在|X n|<2019的前提下还有(B)蕴含(C)。

第8题：[0分]
本题不计入期末考试总分。

如果你还有时间将第1题与（或）第2题中你未选择解答的题目在此进行正确解答，我们可以考虑酌情提升你的平时表现分（包括作业与期中考试）。