C
交点.
B
05．如图是某施工队一张破损的图纸，已知 a、b 是一个角的两
边，现在要在图纸上画一条与这个角的平分线平行的直线，请你帮助这个施
工队画出这条平行线，并证明你的正确性.
09．如图，在一个正方体的 2 个面上画了两条对角线 AB、 AC，A那．么60两°条对角B线．的7夹5角°等于（ ） C ． 90 ° D．135°
PB＝5cm，PC＝6cm，则点 P 到直线 l 的距离为（ ） A．
4cm
B． 5cm C．不大于 4cm
D．不小于 6cm
A
O1
B
02 如图，一辆汽车在直线形的公路 AB 上由 A 向 B 行驶，M、N 为位于公路两 侧的村庄；
⑴设汽车行驶到路 AB 上点 P 的位置时距离村庄 M 最近.行驶到 AB 上点 Q 的位置时，距离村庄 N 最近，请在图中的公路上分别画出点 P、Q 的位置.
经典·考题·赏析 【例 1】如图，三条直线 AB、CD、EF 相交于点 O，一共构成哪 几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？
【解法指导】
AE
【变式题组】
01．如图，已知直线 AB、CD 相交于点 O，OA 平分∠EOC，且∠EOC
D ＝100°，则∠BOD 的度数是（ ）
A．20° B． 40°
C．50°
【例３】如图，直线 l1、l2 相交
于点 O，A、B 分别是 l1、l2上的点，
A
试用三角尺完成下列作图：
问：当有 100 条直线相交于一点时共有 对顶角. 【例２】如图所示，点 O 是直线 AB 上一点，OE、OF 分别 平分∠BOC、
⑴经过点 A 画直线 l2 的垂线.
⑵画出表示点 B 到直线 l1的垂线段.
EＧ
⑵由∠BCD＋∠ADC＝180°，可推得 AD∥BC；根据同旁 内角互补，两直线平行.
旁内角共有（ ）
A
A．4 对 B． 8 对 C．12 对
D．16 对
⑶由∠ACD＝∠BAC 可推得 AB∥DC；根据内错角相等，两 B 直线平行.
【变式题组】
C
D 01．如图，推理填空.
A
02．如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角.
C A
E 10．在同一平面内有 9 条直线如何安排才能满足
下面的两个条件？
B
⑴任意两条直线都有交点；
F
⑵总共有 29 个交点.
第 13 讲 平行线的性质及其应用
考点·方法·破译
1. 掌握平行线的性质，正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联 系
；
2. 初步了解命题，命题的构成，真假命题、定理； 3．灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明，确定两直
＝90°，求证：AB∥CD．
A
B
【解法指导】⑴由∠CBD＝∠ADB，可推得 AD∥BC；根据内错角相等，两
3
E
C
D
04．如图，已知∠ABC＝∠ACB，BE 平分∠ABC，CD 平分∠ACB，∠EBF＝∠ EFB，求证：CD∥EF.
于 11°.
A
D
E
B
C
F
【例７】如图⑴，平面内有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，
F
∠2 和∠6：
F
C
1
4
A
2 36 B
5
D E
【变式题组】
01．如图，若 EO⊥AB 于 O，直线 CD 过点 O，∠EOD︰∠EOB＝1︰3，求∠AOC、
∠AOE 的度数.
E
D
02．如图，O为直线 AB 上一点，∠BOC＝3∠AOC，OC 平分∠AOD．
⑴求∠AOC 的度数； ⑵试说明 OD 与 AB 的位置关系.
3. 如图，按各组角的位置判断错误的是（ ） A. ∠1 和∠2 是同旁内角 B. ∠3 和∠4 是内错角 C. ∠5 和∠6 是同旁内角 D. ∠5 和∠7 是同旁内角
B6
1
解：∵AD 是∠BAC 的平分线（已知）
3
2
5
4
∴∠BAC＝2∠1（角平分线定义） 又∵EF 平分∠DEC（已知）
∴
7C （ ）
A．4cm B．5cm
C．小于 4cm
D． 不 大 于 4cm
⑴∵∠A＝ （ 已 知 ） ∴AC∥ED（ ）
06．将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点重合），则∠AOB＋
⑵∵∠2＝ （ 已 知 ）
∠DOC
∴AC∥ED（ ）
＝.
C D
A
O
第 6 题图
A B
B
1
E
G F
H 第 7 题图
D a
b C
c 21
⑶∵∠A＋ ＝180°（ 已 知 ）
∴AB∥FD．
34
65 78
14．如图，请你填上一个适当的条件 使 AD∥BC．
F
第 9 题图
A
E D
07．如图，矩形 ABCD 沿 EF 对折，且∠DEF＝72°，则∠AEG＝ . 08．在同一平面内，若直线 a1∥a2,a2⊥a3,a3∥a4,…则 a1 a10.（a1与 a10
图⑴
图⑵
A．∠AMF B．∠BMF C．∠ENC 03．下列语句中正确的是（ ）
D．∠END
【解法指导】如图⑵，我们可以将所有的直线移动后，使它们相交于同一点， 此时的图形为图⑵.
证明：假设图⑵中的 12 个角中的每一个角都不小于 31° 则 12×31°＝372°＞360° 这与一周角等于 360°矛盾 所以这 12 个角中至少有一个角小于 31° 【变式题组】 01．平面内有 18 条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中至少有一个角小
A．在同一平面内，一条直线只有一条垂线 B．过直线上 一点的直线只有一条 C．过直线上一点且垂直于这条直 线的直线有且只有一条
D．垂线段就是点到直线的距离
04．如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC 于 D，则下列结论中，正确的个数有（
）
①AB⊥AC ②AD 与 AC 互相垂直 ③点 C 到 AB 的垂线段是线段 AB ④线段
至少有 一个 角小于 31°.
l6 l5
l4 l3 l2
l1
l5 l6
l4 l3 l2 l1
．∠ACF 是 α 的余角
D．α 与∠ACF 互补
E
A
A
α
E A
M B
B
D
C
第 1 题图
C F
F
N
D
第 2 题图
BD
C
第 4 题图
02．如图，已知直线 AB、CD 被直线 EF 所截，则∠EMB 的同位角为
（）
不重合） 09．如图所示，直线 a、b 被直线 c 所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠5，
②∠1＝∠7，③∠2＋∠3＝180°，④∠4＝∠7，其中能判断 a∥b 的条件的 序号是 .
10．在同一平面内两条直线的位置关系有 .
11．如图，已知 BE 平分∠ABD，DE 平分∠CDB，且∠E＝∠ABE＋∠EDC．试
O l2
【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条
B
∠AOC．
线段.
⑴求∠EOF 的度数；
⑵写出∠BOE 的余角及补角.
F
【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的
定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；
C
【变式题组】
l1
E 01．P 为直线 l 外一点，A、B、C 是直线 l 上三点，且 PA＝4cm，
D．80°
⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.
⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两
E
边的反向延长线.
C
B
D
⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.
F
1
4
有 6 对对顶角. 12 对邻补角. 【变式题组】
A
O
B
32
01．如右图所示，直线 AB、CD、EF 相交于 P、Q、R，则：
3 4 78 21 6 5
5
34 6 21
H
1 2 3 4
F
⑴∵∠A＝∠ （ 已 知 ）
∴AC∥ED（ ）
⑵∵∠C＝∠ （ 已 知 ）
∴AC∥ED（ ）
⑶∵∠A＝∠ （ 已 知 ）
∴AB∥DF（ ）
F E
B
C
D
甲
乙
丙
02．如图，AD 平分∠BAC，EF 平分∠DEC，且∠1＝∠2，试说明
A
DE 与 AB 的位置关系.
a
b
线的位置关系，感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用.
经典·考题·赏析
【例１】如图，四边形 ABCD 中，AB∥CD， BC∥AD，∠A＝38°，
求∠C 的度数.
65°，求∠BOE 和∠AOC 的度数.
【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依
E
据，也可以作为该图形具备的性质，由图可得：∠AOF＝
90°，OF⊥AB．
A O
C
A
E
【例５】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，
并说出它们的名称： ∠1 和∠2：
D
∠1 和∠3：
B
∠1 和∠6：
03．如图，已知 AB⊥BC 于 B，DB⊥EB 于 B，并且∠CBE︰∠ABD＝1︰2，请
作出∠CBE 的对顶角，并求其度数.
A
B
D
⑵当汽车从 A 出发向 B 行驶的过程中，在
的路上距离 M 村越
来越近..在
的路上距离村庄 N 越来越近，而距离村庄Ｍ越来越远.