§4 相似准则的导出
– 特定相似准则的意义：牛顿数中的力只表示作用力 特定相似准则的意义： 合力，合力的组成并未被揭示， 合力，合力的组成并未被揭示，牛顿相似准则只具 有一般意义， 有一般意义，解决具体模型试验的比尺关系必须根 据特定运动现象来导出 1 ∂p P ∂u xP ∂u xP 2 一、控制方 + ν P ∇ u xP = + u xP XP − ρ P ∂x P ∂t P ∂x P 程方法 – 原型流动 ∂u xP ∂u xP + u yP + u zP 的N-S方程 方程 ∂y P ∂z P 1 ∂p M ∂u xM ∂u xM 2 XM − + ν M ∇ u xM = + u xM ρ M ∂x M ∂t M ∂x M – 模型流动 的N-S方程 方程 ∂u xM ∂u xM + u yM + u zM ∂y M ∂z M
– 水力模型试验的好处： Money,time,safety 水力模型试验的好处： 如：核电站设计采用千年一遇波浪 – 重要作用：大中型水利、港口工程 重要作用：大中型水利、 – 如何进行水力模型试验 需要处理好以下问题 （1）流动相似 （2）现象和数据还原 实验简单、 （3）实验简单、变量最少 （4）实验资料分析
• 请应用 定理推导圆柱绕流阻力公式， 请应用π定理推导圆柱绕流阻力公式， 定理推导圆柱绕流阻力公式 λL =设计模型试验。 10 设计模型试验。 并按 • 若已知原型水下圆柱直径为 ，按照 若已知原型水下圆柱直径为2m， 设计的模型进行试验得到单位长柱体 绕流阻力为25N，试求实际柱体绕流 绕流阻力为 ， 阻力。 阻力。
Fp = m p
• 比尺关系： 比尺关系：
du p dt p
du M FM = mM dt M
代入
Fp = λ F FM m p = λm mM
u p = λu u M
t p = λt t M
λF λt du M FM = mM λm λu dt M
• 必须有
• 结论： 结论： F、m、u、t中只有三个可以任意选定 、 、 、 中只有三个可以任意选定 第四个变量必须受描述物理现象的物理方程制约
NeP = NeM
FP FM = 2 2 2 2 ρ P LP vP ρ M LM vM
• 牛顿相似准则： 两个相似的流动牛顿数相等 牛顿相似准则： • 物理意义：模型与原型中两个流动的作用力与 物理意义： 惯性力之比应相等
§3 相似条件
• 流动相似的充分和必要条件 –模型与原型为同一物理方程所表述 模型与原型为同一物理方程所表述 –模型与原型单值条件所包含的物理量相似 模型与原型单值条件所包含的物理量相似 • 几何条件和边界条件：几何形状、边界性质 几何条件和边界条件：几何形状、 • 初始条件：开始时刻的流动情况 初始条件： • 物性条件：液体密度、粘滞系数（采用不同 物性条件：液体密度、粘滞系数（ 液体） 液体） – 有关的相似准数相等 上述三个条件为实现流动相似的必要和充分条件 相似准则从哪儿来？ 相似准则从哪儿来？
2 λp λν λv λv λv λg = = 2 = = 2 λ ρ λL λL λt λL
λ p λµ λv λ ρ λv λ ρ λ λρ λg = = 2 = = 2 λL λL λt λL
– 比值： 重力 动水压强 粘滞力 比值： 当地 惯性力 模型与原型对应点上同名力之间比值相等 同除以惯性力
λt = t P t M
vP LP t P λL 速度比尺 λ = = = v vM LM t M λt 2 aP LP t P λL 加速度比尺 λ = = = 2 a 2 aM LM t P λt
三、动力相似 含义： 含义： （1）任何对应点上作用同名力 ） （2）各同名力互相平行且大小具有同一比值 ） 闭合多边形）： 根据达朗贝尔原理 （闭合多边形）： 考虑惯性力，任意相应点上的力的多边形相似 考虑惯性力， 作用力：重力、粘性力、表面张力、弹性力、 作用力：重力、粘性力、表面张力、弹性力、惯性力 （Gravity, Tangential, Surface tension, Elasticity, Inertia force） ）
λF λt =1 λm λu
牛顿相似准则的导出
• 质量比尺关系
mP ρ PVP 3 λm = = = λρ λL mM ρ M VM
• 特征流速代表各点流速 对应点流速都相似） （对应点流速都相似）
λu = λv = λL λt
λF λt =1 λm λu
• 代入 满足关系式 代入,
λF =1 2 2 λ ρ λ L λv
流动相似的条件： 流动相似的条件： 模型与原型的物理属性相同 为同一物理方程所描述 物理量比尺不能随意取
机械运动相似的系统满足什么定律？ 机械运动相似的系统满足什么定律？ Newton第二定律 第二定律
du F =m dt
公式适用于模型和原型中任意对应点
Fp = m p
du p dt p
du M FM = mM dt M
λL = LP LM 2 2 2 λ A = AP AM = L p LM = λL 3 3 3 λV = VP VM = L p LM = λL
二、运动相似 含义： ） 含义：（1）任何对应质点的迹线几何相似 （2）流过相应线段所需时间又具有同一比例 ） 速度场、 速度场、加速度场几何相似 设时间比尺为
第十七章 相似原理及水力模型试验
概述 §1 §2 §3 §4 §5 §6 相似的基本概念 动力相似的基本准则—牛顿相似定律 动力相似的基本准则 牛顿相似定律 相似条件 相似准则的导出 单项力作用下的相似准则 水力模型试验说明
概述
– 试验与实验的区别： 试验与实验的区别：
Experiment: 认识基本运动规律为目的 Model Test: 针对某一特定工程问题进行的研究
Step5：根据量纲和谐原理求出各量指数 ：
[ MLT ] = [ L M ] [ LT ] [ L]
1 x1
−2
−3
−1 y1
z1
1 = x1 1 = −3 x1 + y1 −2 = − y1
x1 = 1 y1 = 2 z1 = 2
π2 =
2 −1 −3 1 x2
ν ρ U D
x2 y2 z2
[ L T ] = [ L M ] [ LT ] [ L]
λG = λT = λS = λE = λI
GP TP SP EP IP = = = = GM TM S M EM I M
三种相似的关系
•几何相似为前提条件 几何相似为前提条件 •动力相似为主导因素 动力相似为主导因素 •运动相似是几何相似和动力相似的表现 运动相似是几何相似和动力相似的表现
动力相似的基本准则—牛顿相似定律 §2 动力相似的基本准则 牛顿相似定律
– 水力模型定义： 水力模型定义：
模拟水利工程、工程流体力学中的流动过程、 模拟水利工程、工程流体力学中的流动过程、 流动状态和流动现象的物理模型 (physical model)
– 为什么要进行水力模型试验： 为什么要进行水力模型试验：
问题的复杂性
– 水力模型试验的实质： 水力模型试验的实质：
缩尺模型，以小见大， 缩尺模型，以小见大，预演
vM = v P
νM = νP
Froude 数
g P LP
=
2 M
1
g M LM
λ
32 L
λL
νM 1 vP λL = vP νP λL
{
λ = 50 ν M = ν P / 354
2 P
v
2 M
Froude number
Euler number Reynolds number Strauhal number
λν =1 λL λv λL =1 λt λv
• 在很多情况下，写不出描述所研究现象 在很多情况下， 的方程，这时如何得到相似准数？ 的方程，这时如何得到相似准数？
λ p 1 ∂p M λν λv λg X M − + 2 ν M ∇ 2u xM λ ρ λ L ρ M ∂x M λL λv ∂u xM λ ∂u xM ∂u xM ∂u xM = + (u xM + u yM + u zM ) λ t ∂t M λ L ∂x M ∂y M ∂z M
2 v
– 由流动相似得到
0 = x2 2 = −3 x2 + y2 + z2 −1 = − y2 x2 = 0 y2 = 1 z2 = 1
−1 y2
z2
Step6：组成无量纲表达式 ：
F π1 = 2 2 ρU D
π2 =
ν
UD
按照什么相似准数设计模型试验？ 按照什么相似准数设计模型试验？
1 π2 = = UD Re
ν
相似准数为 Reynolds 数
π 1 = f (π 2 )
Step7：确定模型试验数据 ： • 采用同样液体－水 采用同样液体－ – 速度比尺 λ = 1
v
λv λ L =1 λν
2 L
λL = 0.13 L v来自– 时间比尺 – 力的比尺
λt = λL λv = λ = 100
λF = λρ λ λ / λt = 1
原型： 原型：2.5N/m
– 两个相似流动之间的比尺关系
ρ P = λ ρ ρ M ν P = λνν M p P = λ p pM
X P = λ g X M u xP = λv u xM u yP = λv u yM u zP = λv u zM t P = λt t M λ x = λ y = λ z = λL
LP = λ L LM
§1 相似的基本概念
–最简单的对相似的理解：平面几何（静） 最简单的对相似的理解：平面几何（ 最简单的对相似的理解 –水力模型试验的相似： 水力模型试验的相似： 水力模型试验的相似 几何、运动、动力相似（Prototype，Model） 几何、运动、动力相似（Prototype，Model） 一、几何相似含义 (Geometric similarity) 原型与模型的几何形状和几何尺寸相似 原型与模型的任何相应线性长度保持固定比例关系） （原型与模型的任何相应线性长度保持固定比例关系）