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相似理论与模型试验例题集


(1) (2)
[ξ ] = [L];⎡⎣t0 −ty ⎤⎦ = [D]; [t0 −tD ] = [D]
式中 L—长度;T—时间; D—温度;Q—热量。
④把各物理量纲代入π项式,列出因次 (量纲)等价式(3)
[π] =[D]k [T]b ⎡⎣L2T−1⎤⎦c [L]d ⎡⎣QT−1L−1D−1⎤⎦e ⎡⎣QL−3⎤⎦f [L]g [D]h [D]i [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] π = D T L Q k−e+h+i b−c−e 2c+d−e−3f +g e+f
相似理论与模拟实验例题
例1 静态应力模型 这是一个弹性模型,可求解静态应力问题。 a、 求导准则 平衡方程: ∂σ x + ∂τ yx + ∂τ zx + X = 0
∂x ∂y ∂z
∂τ xy + ∂σ y + ∂τ zy + Y = 0
∂x ∂y ∂z
∂τ xz + ∂τ yz + ∂σ z + Z = 0
Cl2 = 1 Cτ Ca
④将(3)式代入(5)式得
x2
( x ' )2
τ a =1
τ ' a'
经整理得 τ a = τ 'a' = π 。
( ) x2
x' 2
(5)
(1)式中有4个参数(n=4)。基本量
[L];[T];[D] (k=3),则准则数为n-k=4-3=1个。
导出之准则称傅里叶(J.Fourier)准则,记
型,故有:
CE= Cσ=Cp=CR=1 ;Cμ=1;Cρ=1
(2)
式中 CR为强度相似常数;
Cμ为钢筋配筋率相似常数;
Cρ为钢纤维体积率的相似常数。
在这种情况下,只要确定适当的几何相似常 数就可以了。
试验得到的模型强度就等于结构强度。
例3、一钢桥跨度10m,最大集中荷重为10t,现 用一个1m长,几何形状与钢桥相似之梁作试验, 求桥的应力。
复合结构,要使模型和原型各组成部分应力变形严格
相似,必须要使加载变形前后结构模型与原型始终保
持几何相似,故有Cl= Cδ,即Cε=1,因此,上述应力 变形相似条件可写为:
Cp/ Cσ=1;CE Cε/ Cσ=1;Cv=1
(1)
为了使模型的破坏荷载和破坏形态与原结构完全
相似,不但要满足上述弹性状态下应力应变相似,而
则可写出以下函数式
( ) ϕ⎡⎣t、τ、a、x、λ、δ、ξ、t0 −ty 、(t0 −tD)⎤⎦=0
②写出π项式
( ) ( ) π = tkτbacxdλeδ fξ g t0 −ty h t0 −tD i
③列出各参数的基本因次
[t] = [D];[τ ] = [T ]; [a] = ⎡⎣L2T −1⎤⎦ ;[x] = [L]; [λ ] = ⎡⎣QT L −1 −1D−1 ⎤⎦ ;[δ ] = ⎡⎣QL−3 ⎤⎦ ;
= P'
2

(7)
p
σ σ'
=

p' L ⎞2
⎜⎝ L ' ⎟⎠
即 Cσ
= CP Cl2
(8)

C得E:=
1, CE
CP
=
=
Cσ ,则Cσ
Cl2
=1
。代入(1)式
钢桥长10m,模型长1m,则Cl
= 10 1
=10

CP =
P P'
= Cl2
= 102
= 100
P' = P 100
(9)
原钢桥上集中荷载。则模型对应处应力荷载
模型试验相似指标为: 由几何方程得:Cε Cl /Cδ=1; 由边界方程得:Cp/Cσ=1; 由物理方程得:CECε/Cσ=1,Cv = 1 。 其中:Cl为几何相似常数;
Cp为荷载(面力)相似常数;
CE为弹性模量相似常数; Cδ为位移相似常数; Cε为应变相似常数; Cσ为应力相似常数; Cv为泊松比相似常数。 钢筋钢纤维高强混凝土结构是由三种材料组成的
解 假设应力σ 与荷载P,长度L和材料弹性模量E
有关。则可写出方程
f (σ , P, L, E ) = 0
将(1)式转换成准则方程
f
⎛ ⎜⎝
σ
K M2
, PK, LM , E
K M2
⎞ ⎟⎠
=
0
令:
LM = 1 PK = 1 即
M K
= =
1 L 1 P
⎫ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪⎭
(1) (2)
(3)
将(3)式代入(2)式得:
= 5×2 = 20
1 2
γ ' = 2γ ,故可在石膏中
这就是说,不是 cε 非取1不可,在小变形范围内
,可取cε ≤ 8
对于相似材料试验,如果:
Cl=20,Cr=1/2,CE=2,Cu=1
则有:Cε=CrCl/CE=5
Cδ= CεCl=5*20=100 但对C于x− =大1多0 数结构试验,采用严格相似,则
d2 y' dl ' 2
= Kq'
l'
2
(2)
式中符号同(1)。
②写出单值条件的相似常数式:
CE
=
E E'
; CI
=
J⎫
J
'
⎪ ⎪
Cy
=
y y'
; Cl
=
l l'
⎪ ⎬ ⎪
Cq
=
q q'
⎪ ⎪ ⎭
③将(3)式代入(1)式得:
( ) ( ) CE E'CJ J '
Cyd2 y' Cl 2 dl ' 2
= =
t t' ; a a'
Cτ ; Cl
=τ τ'
=x x'
⎫ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪⎭
③将(3)式代入(1)式得:
( ) Ct∂t'
Cτ ∂τ '
= Caa'
Ct∂2t ' Cl 2 ∂x'
2

( ) Cl2
Cτ Ca
∂t '
∂τ '
= a'
∂ 2t ' ∂x' 2
(3) (4)
比较(4)式和(2)式得:
cε =1,这时不考虑自重应力场,上部荷载采用施
加边界面力模拟。
例2 对钢筋钢纤维高强混凝土梁或柱的强度特性 (极限承载力)试验研究。
由于钢筋钢纤维高强混凝土结构的强度高,几何 尺寸大,不易进行原型的破坏性试验,可采用缩尺结 构模型。
根据试验目的,此类试验不但要搞清加载过程中 结构截面上的应力分布情况,而且还要测量模型的破 坏荷载。所以,模型设计不但要满足应力、变形的相 似条件,而且还要满足强度相似条件。根据相似理论 和弹性力学的基本方程,采用方程分析法,可推导出 其静力模型相似指标为:
X'
=0
对于平衡方程:
cσ cγ cL
(
∂σ ' x
∂x '
+
∂τ
' yx
∂y '
+
∂τ
' zx
∂z '
)
+
X'
=0
相似指标:ccγ σcL = 1
,相似准则π1=
σ γL
=
σ' γ ' L'

由几何方程: c ε .c L = 1 , л2= εL


δ
由物理方程: cε c E = 1

,л3=
CE=
E E'
=2
,由
cσ cγ cL
=1
得: cγ
=
cσ cL
=
2 = 1 =γ 20 10 γ '
即 γ ' = 10γ (石膏的混合料比岩石大10倍,很难,
找不到这种材料。)
为此:取cε ≠1而是 cε =5,cσ = cε .cE = 5 * 2 = 10
加铁则屑即cγ 可= c。cELcε
f
⎛ ⎜
⎜⎜σ
⎜ ⎝
⎛ ⎜⎝
1
P 1 ⎞2 L ⎟⎠
,
P
1 P
,L
1 L
,
E
⎛ ⎜⎝
1
P 1 ⎞2 L ⎟⎠
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
=
0
f
⎛ σ L2
⎜ ⎝
P
,1,1,
E L2 P
⎞ ⎟ ⎠
=
0
(4)
由(4)式得到两个准则:
π1
=
σ L2
P
π2
=
EL2 P
①当试验模型的材料与钢桥材料相同(即E相同)
为:
F0
=
τa
x2
例6、求在半无限平面的不稳定导热的准则方程。
解: ①罗列参数,写出现象的函数式。
已知在半无限平面不稳定导热问题的影响参
数有:
温度 t ;时间 τ ;导温系数a ;
几何量 x ;导热系数 λ ;
结冰时单位体积潜热δ ;
冻结壁面位置ξ ;初始温度 t0;
冻结温度 tD ;冷源温度 t y 。
且还要满足以下强度相似条件:
强度相似条件: (a) 模型与原型的材料,在加载全过程中应 力应变曲线相似;
(b) 结构各部分材料的强度相似; (c) 结构破坏的强度准则相似。
显而易见,要完全满足上述相似条件,模型材料
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