一、 子弹大木块【例2】如图所示,质量为M 的木块固定在光滑的水平面上,有一质量为m 的子弹以初速度v 0水平射向木块,并能射穿,设木块的厚度为d ,木块给子弹的平均阻力恒为f .若木块可以在光滑的水平面上自由滑动,子弹以同样的初速度水平射向静止的木块,假设木块给子弹的阻力与前一情况一样,试问在此情况下要射穿该木块,子弹的初动能应满足什么条件?【解析】若木块在光滑水平面上能自由滑动,此时子弹若能恰好打穿木块,那么子弹穿出木块时(子弹看为质点),子弹和木块具有相同的速度,把此时的速度记为v ,把子弹和木块当做一个系统,在它们作用前后系统的动量守恒,即mv 0=(m +M )v对系统应用动能定理得fd =12mv 20-12(M +m )v 2由上面两式消去v 可得fd =12mv 20-12(m +M )(mv 0m +M )2整理得12mv 20=m +M M fd即12mv 20=(1+m M)fd 据上式可知,E 0=12mv 20就是子弹恰好打穿木块所必须具有的初动能,也就是说,子弹恰能打穿木块所必须具有的初动能与子弹受到的平均阻力f 和木块的厚度d (或者说与f ·d )有关,还跟两者质量的比值有关,在上述情况下要使子弹打穿木块,则子弹具有的初动能E 0必须大于(1+mM)f ·d .72、如图所示,静止在光滑水平面上的木块,质量为、长度为。
—颗质量为的子弹从木块的左端打进。
设子弹在打穿木块的过程中受到大小恒为的阻力,要使子弹刚好从木块的右端打出,则子弹的初速度应等于多大?涉及子弹打木块的临界问题分析:取子弹和木块为研究对象,它们所受到的合外力等于零,故总动量守恒。
由动量守恒定律得:①要使子弹刚好从木块右端打出,则必须满足如下的临界条件:②根据功能关系得:③解以上三式得:二、板块1、如图1所示,一个长为L、质量为M的长方形木块,静止在光滑水平面上,一个质量v从木块的左端滑向右端,设物块与木块间的动为m的物块(可视为质点),以水平初速度摩擦因数为 ,当物块与木块达到相对静止时,物块仍在长木块上,求系统机械能转化成内能的量Q 。
图1解析:可先根据动量守恒定律求出m 和M 的共同速度,再根据动能定理或能量守恒求出转化为内能的量Q 。
对物块,滑动摩擦力f F 做负功,由动能定理得:2022121)(mv mv s d F t f -=+- 即f F 对物块做负功,使物块动能减少。
对木块,滑动摩擦力f F 对木块做正功,由动能定理得221Mv s F f =,即f F 对木块做正功,使木块动能增加,系统减少的机械能为:><=-+=--1)(2121212220d F s F s d F Mv mv mv f f f t本题中mg F f μ=,物块与木块相对静止时,v v t =,则上式可简化为:><+-=2)(2121220t v M m mv mgd μ又以物块、木块为系统,系统在水平方向不受外力,动量守恒,则:><+=3)(0tv M m mv联立式<2>、<3>得:)(220m M g Mv d +=μ故系统机械能转化为内能的量为:)(2)(22020m M Mmv m M g Mv mg d F Q f +=+⋅==μμ【例10】如图所示,—质量为M 、长为l 的长方形木板B 放在光滑的水平地面上,在其右端放一质量为m 的小木块A ,m <M .现以地面为参照系给A 和B 以大小相等、方向相反的初速度(如图),使A 开始向左运动、B 开始向右运动,但最后A 刚好没有滑离B 板.以地面为参照系,(1)若已知A和B的初速度大小为,求它们最后的速度的大小和方向.(2)若初速度的大小未知,求小木块A向左运动到达的最远处(从地面上看)离出发点的距离.【分析与解】(1)A刚好没有滑离B板,表示当A滑到B板的最左端时,A、B具有相同的速度.设此速度为V,根据m<M,可知,判断出V的方向应与B板初速度同向,即向右.A和B的初速度的大小为,则由动量守恒可得:解得:方向向右(2)本题应着重理解物理过程的定性分析方法,在此基础上形成正确的物理图景.注意以下说理分析:A在B板的右端时初速度向左,而到达B板左端时的末速度向右,若以地面为参考,可见A在运动过程中必经历先向左受摩擦力作用而作减速运动,直到相对地面速度为零的阶段,而后经历因B板速度方向向右,A相对B板向左,故A所摩擦力方向向右,A 向右作初速度为零的加速运动直到有共同速度为的阶段,如下图所示.在前一阶段,摩擦力阻碍A向左运动,在后一阶段,摩擦力为动力,使A向右加速.设为A开始运动到速度变为零过程中向左运动的过程,为A从速度为零增加到速度过程中向右运动的路程,L为A从开始运动到刚到达B的最左端的过程中B运动的路程.设A与B之间的滑动摩擦力为,则由功能关系可知:对于B:对于A:由几何关系由以上四式解得三、弹簧11.(8分)如图2所示,质量M=4 kg的滑板B静止放在光滑水平面上,其右端固定一根轻质弹簧,弹簧的自由端C到滑板左端的距离L=0.5 m,这段滑板与木块A(可视为质点)之间的动摩擦因数μ=0.2,而弹簧自由端C到弹簧固定端D所对应的滑板上表面光滑.小木块A以速度v0=10 m/s由滑板B左端开始沿滑板B表面向右运动.已知木块A的质量m=1 kg,g取10 m/s2.求:(1)弹簧被压缩到最短时木块A的速度; 2 m/s(2)木块A压缩弹簧过程中弹簧的最大弹性势能. 39 J★4、(09·山东·38)(2)如图所示,光滑水平面轨道上有三个木块,A、B、C,质量分别为m B=m c=2m,m A=m,A、B用细绳连接,中间有一压缩的弹簧(弹簧与滑块不栓接)。
开始时A、B以共同速度v0运动,C静止。
某时刻细绳突然断开,A、B被弹开,然后B又与C发生碰撞并粘在一起,最终三滑块速度恰好相同。
求B与C碰撞前B的速度。
0 v解析:(2)设共同速度为v ,球A 和B 分开后,B 的速度为B v ,由动量守恒定律有0()A B A B B m m v m v m v +=+,()B B B C m v m m v =+,联立这两式得B 和C 碰撞前B 的速度为095B v v =。
例 2. 在原子核物理中,研究核子与核子关联的最有效途径是“双电荷交换反应”。
这类反应的前半部分过程和下述力学模型类似,两个小球A 和B 用轻质弹簧相连,在光滑的水平直轨道上处于静止状态,在它们左边有一垂直于轨道的固定挡板P ,右边有一小球C 沿轨道以速度v 0射向B 球,如图1所示,C 与B 发生碰撞并立即结成一个整体D ,在它们继续向左运动的过程中,当弹簧长度变到最短时,长度突然被锁定,不再改变,然后,A 球与挡板P 发生碰撞,碰后A 、D 都静止不动,A 与P 接触而不粘连,过一段时间,突然解除锁定(锁定及解除锁定均无机械能损失),已知A 、B 、C 三球的质量均为m 。
图1(1)求弹簧长度刚被锁定后A 球的速度。
(2)求在A 球离开挡板P 之后的运动过程中,弹簧的最大弹性势能。
解析:(1)设C 球与B 球粘结成D 时,D 的速度为v 1,由动量守恒得10)(v m m mv +=当弹簧压至最短时,D 与A 的速度相等,设此速度为v 2,由动量守恒得2132mv mv =,由以上两式求得A 的速度0231v v =。
(2)设弹簧长度被锁定后,贮存在弹簧中的势能为E P ,由能量守恒,有P E mv mv +⋅=⋅2221321221撞击P 后,A 与D 的动能都为零,解除锁定后,当弹簧刚恢复到自然长度时,势能全部转弯成D 的动能,设D 的速度为v 3,则有23)2(21v m E P ⋅=以后弹簧伸长,A 球离开挡板P ,并获得速度,当A 、D 的速度相等时,弹簧伸至最长,设此时的速度为v 4,由动量守恒得4332mv mv =当弹簧伸到最长时,其势能最大,设此势能为E P ',由能量守恒,有'3212212423P E mv mv +⋅=⋅解以上各式得2361'mv E P =。
例4. 用轻弹簧相连的质量均为2kg 的A 、B 两物块都以s m v /6=的速度在光滑的水平地面上运动,弹簧处于原长,质量为4kg 的物体C 静止在前方,如图3所示,B 与C 碰撞后二者粘在一起运动。
求:在以后的运动中,图3(1)当弹簧的弹性势能最大时物体A 的速度多大? (2)弹性势能的最大值是多大? (3)A 的速度有可能向左吗?为什么?解析:(1)当A 、B 、C 三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大,由于A 、B 、C 三者组成的系统动量守恒,有A CB A B A v )m m m (v )m m (++=+解得:s m v A /3=(2)B 、C 碰撞时B 、C 组成的系统动量守恒,设碰后瞬间B 、C 两者速度为'v ,则s m v v m m v m C B B /2'')(=+=,设物块A 速度为v A 时弹簧的弹性势能最大为E P ,根据能量守恒J v m m m v m v m m E A C B A A C B P 12)(2121')(21222=++-++=(3)由系统动量守恒得B C B A A B A v m m v m v m v m )(++=+设A 的速度方向向左,0<A v ,则s m v B /4> 则作用后A 、B 、C 动能之和J v m m v m E B C B A A k 48)(212122>++=实际上系统的机械能J v m m m E E A C B A P 48)(21'2=+++=根据能量守恒定律,'E E k >是不可能的。
故A 不可能向左运动。
四、 曲面与摆球(1)(a)图中B 是半径为R 的14圆弧轨道,A 、B 最初均处于静止状态,现让A 自由下滑,求A 滑离B 时A 和B 的速度大小之比.(2)(b)图中B 也是半径为R 的14圆弧轨道,初态时B 静止不动,滑块A 以速度v 0沿轨道上滑,若滑块已滑出轨道B ,求滑出时B 的速度大小.(3)(c)图中B 为一半径为R 的半圆形轨道,开始时B 静止不动,滑块A 以一初速度v 0使其沿轨道下滑,若A 能从轨道的另一端滑出,求滑出时B 的速度为多大?(4)(d)图中小球来回摆动,求小球摆至最低点时A 、B 速度大小之比.【答案】(1)v A ∶v B =M ∶m (2)v B =mv 0M +m (3)v B =0(4)v A ∶v B =M ∶m【拓展2】如图所示,一不可伸长的轻质细绳,静止地悬挂着质量为M 的木块,一质量为m 的子弹,以水平速度v 0击中木块,已知M =9m ,不计空气阻力.问:(1)如果子弹击中木块后未穿出(子弹进入木块时间极短),在木块上升的最高点比悬点O 低的情况下,木块能上升的最大高度是多少?(设重力加速度为g )(2)如果子弹以水平速度v 0击中木块,在极短时间内又以水平速度v 04穿出木块,则在这一过程中子弹、木块系统损失的机械能是多少?【解析】(1)因为子弹与木块作用时间极短,子弹与木块间的相互作用力远大于它们的重力,所以子弹与木块组成的系统水平方向动量守恒,设子弹与木块开始上升时的速度为v 1,则mv 0=(m +M )v 1因不计空气阻力,所以系统上升过程中机械能守恒,设木块上升的最大高度为h ,则12(m +M )v 21=(m +M )ghh =v 20200g(2)子弹射穿木块前后,子弹与木块组成的系统水平方向动量守恒,设子弹穿出时木块速度为v 2,则mv 0=m (v 04)+Mv 2,在这一过程中子弹、木块系统损失的机械能为ΔE =12mv 20-12m (v 04)2-12Mv 22=716mv 2【例4】光滑的水平面上有A 、B 两辆小车,m B =1 kg ,原来静止.小车A 连同支架的质量为m A =1 kg ,现将小球C 用长为L =0.2 m 的细线悬于支架顶端,m C =0.5 kg.开始时A 车与C 球以v 0=4 m/s 的共同速度冲向B 车,如图所示.若A 、B 发生正碰后粘在一起,不计空气阻力,取g =10 m/s 2.试求细线所受的最大拉力.【正解】小车A 与小车B 相碰的瞬间,C 的速度保持v 0不变,A 、B 组成的系统动量守恒:m A v 0=(m A +m B )v AB解得v AB =m A v 0m A +m B =1×41+1 m/s =2 m/s方向与v 0相同.A 、B 结合成整体的瞬间,C 的速度仍为v 0,所以C 相对于A 、B 整体的相对速度为v相=v 0-v AB =2 m/sA 、B 碰后,C 相对于悬点做圆周运动,在最低点时绳子的拉力最大,由牛顿第二定律可得F -m C g =m C v 2相L ,即F =m C g +m C v 2相L =(0.5×10) N +0.5×220.2N =15 N4、(2012新课标)(2)(9分)如图,小球a 、b 用等长细线悬挂于同一固定点O 。