第四章 静电场本章提要1. 库仑定律两个静止的点电荷之间的作用力满足库仑定律，库仑定律的数学表达式为1212002204q q q q kr rπε==F r r 其中922910(N m /C )k =⨯⋅122-1-2018.8510(C N m )4k επ-==⨯⋅⋅2. 电场强度∙ 电场强度表示单位正电荷在静电场中所受的电场力。

其定义式为q =F E 其中，0q 为静止电荷。

∙ 在点电荷q 的电场中，电场强度为0204q r πε=E r3. 电场强度的计算∙ 点电荷系的电场N21014iii i q r πε==∑r 0E ∙ 电荷连续分布的带电体系的电场2 01d4qqrπε=⎰r E 0其中的积分遍及q 电荷分布的空间。

4. 高斯定理∙ 电通量电场强度通量简称电通量。

在电场强度为E 的某点附近取一个面元，规定S ∆=∆S n ，θ为E 与n 之间的夹角，通过S ∆的电通量定义为e cos E S θ∆ψ=∆=∆E S通过电场中某闭合曲面S 的电通量为d e sψ=⎰⎰E S∙ 高斯定理在真空中，通过电场中任意封闭曲面的电通量等于该封闭曲面内的所有电荷电量的代数和除以0ε。

即i 01d sq=∑⎰⎰E S 内ε使用高斯定理可以方便地计算具有对称性的电场分布。

5. 电势∙ 电势能电荷q 0在电场中某点a 所具有的电势能等于将q 0从该点移到无穷远处时电场力所作的功。

即0 d a a a W A q ∞∞==⎰E l∙ 电势电势是描述电场能的属性的物理量。

电场中某点a 的电势定义为0 d a a a U W q ∞==⎰E l∙ 电势的计算（1） 已知电场强度的分布，可通过电势的定义做场强的积分来计算电 势。

（2）若不知道电场强度的分布，可通过下述的求和或积分来计算电势： 点电荷系产生的电场中的电势为N104i a i iq U r πε==∑电荷连续分布的带电体系电场中的电势为0d4a qq U rπε=⎰6. 静电场的环路定理静电场的电场强度沿任意闭合路径的线积分为零，即 d lE l ∙=⎰07. 静电场对导体的作用∙ 导体的静电平衡导体中不发生任何电荷定向运动的状态称静电平衡状态。

∙ 导体表面的电场导体表面附近的电场强度与该表面处的电荷面密度成正比，即εσ=E 8. 静电场对电介质的作用∙ 电介质的极化在外电场作用下电介质表面出现束缚电荷的现象称电介质的极化。

电介质的极化有位移极化和取向极化两类。

电介质的极化程度用电极化强度来描述。

对于各向同性的电介质，其中每一点的电极化强度P 与该点的电场强度E 的关系为P =e 0χεE其中，e χ称电极化率。

∙ 介质中的高斯定理穿过电场中任意封闭曲面的电位移通量等于该曲面所包围的自由电荷的代数和，即∑⎰⎰=∙ii Sq S D d其中，电位移通量0r εεεD E E ==。

∙ 电容器电容器的电容定义为A BqC U U =-真空中的电容0C 与介质中的电容C 的关系为r 0C C ε=9. 静电场的能量2e e 1d d 2VV W w V E V ε==⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中，w e 称为电场的能量密度，积分区域遍及整个电场空间。

思考题4-1 020 4qq r ==πεr 与FE E 两式有什么区别与联系。

答： 前者是关于电场强度的定义式，适合求任何情况下的电场。

后者是由库 仑定律代入定义式推导而来，它表示点电荷的电场强度。

4-2 一个均匀带电球形橡皮气球，在其被吹大的过程中，下列各场点的场强将如何变化？(1)气球内部；(2)气球外部；(3)气球表面。

答：(1) 因为电荷分布在球面上，球内部无电荷，在球内取半径为r ( r <R ) 的球形高斯面，由高斯定理易知球内的场强E 内= 0。

(2) 在球外取半径为r ( r >R )的球形高斯面，由高斯定理易知球外空间的场强E 外=204r q πε。

由此可知，球外空间的场强与气球吹大过程无关。

(3)因为球表面的场强E 表=204Rq πε，在球吹大的过程中，R 变大，所以，球表面的场强随气球的吹大而变小。

4-3 下列几种说法是否正确，为什么？（1） 高斯面上电场强度处处为零时，高斯面内必定没有电荷。

（2） 高斯面内净电荷数为零时，高斯面上各点的电场强度必为零。

（3） 穿过高斯面的电通量为零时，高斯面上各点的电场强度必为零。

（4） 高斯面上各点的电场强度为零时，穿过高斯面的电通量一定为零。

答：（1）错，因为依高斯定理，E = 0 只说明高斯面内净电荷数（所有电荷的代数和）为零。

（2）错。

高斯面内净电荷数为零，只说明整个高斯面的d s⎰⎰ E S 的累积为零。

并不一定电场强度处处为零。

（3）错。

穿过高斯面的电通量为零时，只说明整个高斯面的d s⎰⎰ E S 的累积为零。

并不一定电场强度处处为零。

（4）对。

E = 0，则整个高斯面的d s⎰⎰ E S 的累积为零。

所以电通量为零。

4-4 试利用电场强度与电势的关系式d d l UE l=-分析下列问题： （1） 在电势不变的空间内，电场强度是否为零？ （2） 在电势为零处，电场强度是否一定为零？ （3） 在电场强度为零处，电势是否一定为零？ 答：（1）是。

当电势处处相等时，电势沿任何方向的空间变化率为零，由d d l UE l=-可知，场强为零。

实际例子：静电平衡的导体内。

（2）否。

因为电势为零处，电势梯度d d Ul不一定为零，所以E l 也不一定为零。

实际例子：电偶极子连线中点处。

（3）否。

因为如果E l 等于零，则电势梯度为零，但电势不一定为零。

实际例子：两个相同电荷连线中点处。

4-5 如图4-1所示，将两个完全相同的电容器串联起来，在与电源保持连接时，将一个电介质板无摩擦地插入电容器C 2的两板之间，试定性地描述C 1、C 2上的电量、电容、电压及电场强度的变化。

答：插入电介质板后，C 2增大。

C 2增大致使整个电路的电容增大。

由于电路中的总电压U 没有变化，所以每个电容器所储存的电量q 1 = q 2增加，增加的电量全部由电源提供。

由于10C S d ε=不变，当电容器C 1储存的电量增加时，其两端的电压U 1= q 1/C 1增大。

又由于电路中的总电压不变，故电容器C 2两端的电压U 2减小。

再根据U = Ed 可知，U 2减小，则E 2减小；U 1增大，则E 1增大。

4-6 将一个空气电容器充电后切断电源，然后灌入煤油，问电容器的能量有何变化？如果在灌煤油时，电容器一直与电源相连，能量又如何变化？答：电容器灌入煤油后，电容量增大。

但由于切断了电源，电容器极板上的电量没有改变。

由C q W e 22=可知电容器的能量W e 会减少。

减少的那部分能量转化成煤油分子因极化而增加的内能。

如果灌煤油时，电容器一直与电源相连，由能量公式22CU W e =可知，C 增大而U 不变时，电容器的能量W e 增大。

这时电源向电容器充电，将电源的化学能转化为电容器的内能。

练习题4-1 由相距较近的等量异号电荷组成的体系称电偶极子，生物细胞膜及土壤颗粒表面的双电层可视为许多电偶极子的集合。

因此，电偶极子是一个十分重要的物理模型。

图4-2所示的电荷体系称电四极子，它由两个电偶极子组合而成，其中的q 和l 均为已知，对图4-2中的P 点(OP 平行于正方形的一边)，证明当x l 时图4-14043x plE p πε≈其中，p=ql 称电偶极矩。

解：电四极子可看成两个电偶极子的组合。

设左边和右边两个电偶极子在P 点产生的场强分别为E 左和E 右，由教材例题4-1可知()()3024l p E x πε=+左方向向下 ()()302 4l p E x πε=-右方向向上其中，p =ql 。

P 点处的合场强为()()()()32233322000232444ll l l x l pp p E E E x x x πεπεπε+=-=-=-+⎡⎤-⎣⎦左右由于2lx上式可简化为()4034plE x πε=方向向上证毕。

4-2 一个均匀带电细棒长为l ，带电总量为q 。

证明，在棒的垂直平分线上离棒为a 处的电场强度为220421a l a qE +=πε证明：由题设条件可知，细棒的电荷线密度为q l ρ=。

在图4-3中，对称的取距离中点O 为x 处的电荷元d q ，d d d /q x q x l ρ==。

两个电荷元在P 点产生的电场强度d E 和d 'E 的水平分量相互抵消，在P 点产生的合场强为d E 和d 'E 沿竖直向上的分量之和。

即图 4-3()()()122222032220 d 2d cos 2d 4d 2 E E q aa x a x aq x l a xθπεπε==++=+合 于是，整个细棒在P 点处的场强为()22320 0220d d 2 l l aq x E E l a xπε==+⎰⎰合积分该式，整理后可得220421a l a qE +=πε4-3 一个半径为R 的带电圆盘，电荷面密度为σ，求：（1）圆盘轴线上距盘心为x 处的任一点P 的电场强度；（2）当R →∞时，P 点的电场强度为多少?（3）当x R 时，P 点的电场强度又为多少?图4-4解：（1）在半径为R 的带电圆盘上取内半径为r 、外半径为r+d r 的细圆环，如图4-4所示。

利用教材中例题4-2的结果可知，该细圆环上的电荷在P 点产生的场强为()()3232222200 d 2 d d 44x S x r r E x rx rσσππεπε==++于是，整个圆盘上的电荷在P 点产生的场强为()()3212222200 d 122Rx r r x E x r x R σσεε⎛⎫⎪==- ⎪++⎝⎭⎰（2） 当R →∞时，R x 。

此时，上式可化为2E σε=即此时可将带电圆盘看作无限大带电平面。

（3）当x R 时，可将带电圆盘看作点电荷，此时P 点电场强度为22200444R qE x x σππεπε==4-4 大多数生物细胞的细胞膜可以用两个分别带有电荷的同心球壳系统来模拟。

在图4-5中，设半径为1R 和2R 的球壳上分别带有电荷1Q 和2Q ，求：（1）I 、II 、III 三个区域中的场强；（2）若1Q =－2Q ，各区域的电场强度又为多少？画出此时的电场强度分布曲线 (即E －r 关系曲线)。

从这个结果，你可以对细胞膜的电场强度分布有个概略的了解。

解：（1）在区域I ，做半径为r ﹤R 1的球形高斯面。

因为高斯面内无电荷，根据高斯定理1d i Siqε=∑⎰⎰E S 内可得区域I 中的电场强度为E 1= 0在区域II ，以12R r R <<为半径做球形高斯面。