第六章 稳恒磁场本章提要1. 磁感应强度描述磁场力的属性的物理量是磁感应强度，常用B 来表示。

其定义式为 qvF B max=在SI 制中，B 的单位为特斯拉（T ）。

B 另一个单位为高斯(G)，两者的换算关系为1T=104G2. 毕奥—萨伐尔定律（1） 毕奥—萨伐尔定律∙ 毕奥—萨伐尔定律的微分形式电流元I d l 在真空中任一点P 所产生的磁感应强度d B 的大小与电流元的大小成正比，与电流元I d l 和r 的夹角的正弦成正比，与电流元到P 点的距离的平方 成反比。

d B 的方向垂直于I d l 和r 所组成的平面，指向与矢积I d l ×0r 的方向相同，即002d d 4I r l r B m p ´=其中， 7-20410N A m p -=醋，称真空磁导率。

∙ 毕奥—萨伐尔定律的积分形式002d d 4llI r μπ⨯==⎰⎰l r B B（2）几种典型的磁场分布 ∙ 无限长直电流的磁场分布02IB rm p =∙ 载流长直螺线管内的磁场分布0B nI m =∙ 运动电荷的磁场分布0024q r v r B m p ´=3. 磁高斯定理∙ 磁通量穿过磁场中某一面积S 的磁通量定义为d B S m sΦ=蝌∙ 磁高斯定理通过空间中任意封闭曲面的磁通量必为零，即d 0SB S =蝌g Ò4. 安培环路定理在真空中的稳恒磁场内，磁感应强度B 的环流等于穿过积分回路的所有传导电流强度代数和的0μ倍，即0in d LI B r m ?åòÑ5. 安培力与洛仑兹力（1）安培力载流导线在磁场中受到的宏观力称安培力。

安培力服从安培定律。

∙ 安培定律的微分形式放在磁场中任一点处的电流元d I l 所受到的磁场作用力d F 的大小与电流元d I l 的大小和该点的磁感应强度B 的大小成正比，还与电流元d I l 的方向和B 的方向之间的夹角θ的正弦成正比，d F 的方向为d I ⨯l B 所确定的方向。

即d d I =⨯F l B∙ 安培定律的积分形式对于任意载流导线，若将其视为由无数个电流元组成的，则其在磁场中所受的作用力为d F l B lI =⨯⎰（2）洛仑兹力一个定向运动的电荷在磁场中所受的力即洛仑兹力，其满足的基本规律为q =⨯f υB洛仑兹力的几个重要应用： ∙ 质谱仪 ∙ 霍耳效应6. 磁介质（1） 磁介质及分类能在磁场作用下发生变化，并且能够反过来影响磁场的介质称磁介质。

一般用磁介质中的磁感应强度B 的大小与真空中的磁感应强度0B 的大小之比来描述磁介质被磁化后对原来外磁场的影响，即r 0BB μ=其中，r μ称磁介质的相对磁导率。

按r μ值大小，磁介质可分为抗磁质（r 1m <）、 顺磁质（r 1m >）和铁磁质（r 1m ?）。

（2） 磁场强度 磁场强度的定义式为μ=BH其中，0r μμμ=称绝对磁导率，简称磁导率。

磁场强度的单位为A ·m -1。

（3） 磁介质中的安培环路定理磁介质中的磁场强度H 沿任何闭合环路的线积分等于穿过以此积分环路为 周界的任意曲面的传导电流的代数和，即0d i ilI ⋅=∑⎰H l思考题6-1 为什么不能简单地定义B 的方向就是作用在运动电荷上的磁力方向? 答：运动电荷磁力的方向不仅与磁感应强度B 的方向有关，还与电荷的运动方向、电荷的正负有关。

如果电荷运动的方向与磁场方向在同一直线上，此时电荷受力为零，因此不能定义B 的方向就是作用在运动电荷上的磁力方向。

6-2 在电子仪器中，为了减小与电源相连的两条导线的磁场，通常总是把它们扭在一起。

为什么?答：可以将扭在一起的两条通电导线看成是交织在一起的两个螺线管。

管外的磁场非常弱；因两个螺线管的通电电流大小相等、方向相反，而且匝数基本相当，管内的磁场基本上可以相互抵消。

因此，与电源相连的两条导线，扭在一起时比平行放置时产生的磁场要小得多。

6-3 在无电流的空间区域，如果磁感应线是平行直线，则磁场一定是均匀 的。

试证明之。

答：如图6-1，磁感应线是平行直线，作一个长方形闭合回路abcd 。

因为空间区域无电流，由安培环路定理，有0d =⋅⎰l B即120B ac B bd -=，则12B B =。

6-4 在什么条件下才能用安培环路定理求解载流体系的磁场。

答：应用安培环路定理只能处理某些具有对称性的磁场分布情况。

能否得出图6-1结果的关键技巧在于能否找出一个合适的闭合环路，得出B的环流。

如果找不到这样的闭合环路，就不能够用安培环路定理来获得磁感应强度。

6-5 宇宙射线是高速带电的粒子流(基本上是质子)，它们交叉来往于星际空间并从各个方向撞击着地球，为什么宇宙射线穿入地球磁场时接近两极比其它任何地方都容易?答：较之地球表面的其他地方，地球两极附近的地磁场最弱。

同时，粒子进入两极的方向与地磁场磁感应强度的方向平行，因而基本不受到磁场力的约束。

因此宇宙射线穿入地球磁场时接近两极比其它任何地方都容易。

6-6 能否利用磁场对带电粒子的作用力来增大粒子的动能？答：不能。

由B=q磁场对带电粒子的作用力与粒子运动的方向垂直，f⨯v磁场力对带电粒子所做的功为零，粒子的动能也不会因此而增大。

6-7 飞机在天空水平向西飞行，哪边机翼上的电子较多？答：飞机处于地磁场中，机翼上的电子水平向西运动，在由南向北的地磁场的作用下，电子沿垂直于水平面向上的方向偏移。

因此，飞机下部的机翼上的电子较多。

6-8 若释放磁铁附近的小铁片，它会向磁铁运动，其动能从何而来？答：磁铁附近存在磁场，磁场储存着磁场能。

小铁片向着磁铁运动的动能是由磁场能转化而来。

6-9 磁感应强度B和磁场强度H有何区别？答：磁感应强度B是描述磁场本身性质（强度和方向）的物理量。

磁场强度H是在磁介质中出现束缚电流时，为描述的方便引入的一个辅助物理量，通过它可以得到磁感应强度。

6-10 顺磁质和铁磁质的磁导率明显地依赖于温度，而抗磁质的磁导率则几乎与温度无关，为什么？答：顺磁质中分子处于热运动中，各分子磁距的取向是无规则的，随着温度的变化，分子运动的剧烈程度也发生变化。

铁磁质的各个磁畴的排列方向是无序的，在不同的温度下，磁畴排列的混乱程度也不同。

抗磁质的磁导率与电子轨道平面的进动有关，而温度是很难影响电子轨道平面的进动的。

练习题6-1 长为L 的一根导线通有电流I ，在下列情况下求中心点的磁感应强度：（1）将导线弯成边长为L /4的正方形线圈；（2）将导线弯成周长为L 的圆线圈，比较哪一种情况下磁场更强。

解：在图6-2(a)中，由于正方形线圈电流沿顺时针方向，线圈的四边在中心处产生的磁场大小相等，方向都是垂直纸面向里。

所以，正方形中心点的磁感应强度为四边直导线产生得磁感应强度的叠加。

由教材例题6-1可知，其大小应为0214(sin sin )4IB r μββπ=-将/8r L =，1/4βπ=-，2/4βπ=代入上式得()00042sin 4 3.604I I IB r L Lμμπππ=== 在图6-2(b)中，通电线圈中心处产生的磁场方向也是垂直纸面向里，大小由教材例题6-2可知为0'2I B Rμ=其中，/2R L π=。

则00' 3.14I I B L Lμμπ==比较得'B B >。

6-2 如图6-3所示，有两根导线沿半径方向接到铁环的a 、b 两点，并与很远处的电源相接。

求环心O 处的磁场。

解：根据叠加原理，点O 的磁感应强度应为三段载流直导线以及起始点为ab 的两段载流圆弧（包括优弧和劣弧）共同激发。

由于电源距离铁环较远，则电源所在的直线电流对O 处的磁场贡献为零，而另两段通电直线的延长线都通过点O ，在O 处激发的磁感应强度也为0。

由于流过两个圆弧的电流分别为I 1和I 2，方向如图6-2所示，两个载流圆弧在O 点激发的磁场由毕奥－萨伐尔定律容易求出分别为图6-3 (a) (b)图6-2011124I l B r μπ=；022224I l B r μπ= 其中，1l 和2l 分别是优弧和劣弧的弧长。

设弧长1l 的电阻为R 1，弧长2l 的电阻为R 2。

由于两圆弧构成并联电路，两端电压相等，则应有2211I R I R =由电阻公式可知，导线电阻R 与弧长l 成正比，故由上式可得1122I l I l = 于是， O 点的合磁感强度为0110221222044I l I l B B B r rμμππ=-=-=6-3 高压输电线在地面上空25 m 处，通过的电流为1.8×103A ，问：（1） 在地面上由该电流所产生的磁感应强度多大？（2）在上述地区，地磁场为0.6×10－4T ，输电线产生的磁场与地磁场差多少? 解：（1）将高压输电线视为无限长，则高压电线上的电流在地面产生的磁感应强度为7350410 1.810 1.4410(T)2225I B r μπππ--⨯⨯⨯===⨯⨯（2）在上述地区地磁场与输电线产生的磁场差为55610(T)B B B .-=⨯⨯⨯-5-5地线－＝610-1.4410=46-4 一个宽为a 的无限长导体薄板上通有电流I ，设电流在板上均匀分布。

求薄板平面外距板的一边为a 处的磁感应强度。

解：将载流导体板视为由无数条长直载流导线组成，则导体板上的电流产生的磁场就是这些无数条长直载流导线产生的磁场的叠加。

取如图6-4所示的坐标系，在坐标x 处取宽为d x 的区域，该区域可视为无限长直载流导线，该区域的电流为x a I I d d =由无限长载流直导线的磁场规律可 知，该区域的电流在距板一边为a 的O 点处产生的磁场大小为00d d d 22I I x B x axμμππ==图6-4其方向垂直纸面向里。

于是，整个导体薄板在O 产生的总磁场为200d d ln222a a I x I B B ax aμμππ===⎰⎰6-5 在一个半径R = 1.0 cm 的无限长半圆柱形金属薄片中，自上而下地有I = 5.0 A 的电流通过，试求圆柱轴线上任一点的磁感应强度。

解：半圆柱形面电流分布可视为由无穷多个宽度为d l 的长直细线电流组成。

某一个长直细线中的电流d d /I I l R π=，它在轴线上一点激发的磁感应强度的大小为0d d 2B I Rμπ=其方向在平面Oxy 内，如图6-5所示。

由对称性可知，半圆柱面上各细线电流在轴线上产生的磁感强度叠加后，y 轴向分量为零，即d cos 0y B B θ==⎰x 轴向分量为0020d sin sin d 2x II B B R R R R ππμμθθθπππ===⎰⎰则轴线上总的磁感应强度的大小为02x IB B Rμπ==B 的方向指向Ox 轴负向。