应用Ｍｌ
式；④让学生解释两个归纳证明步骤［１川． 第三，问题顺序设计．首先，Ｈａｒｅｌ（２００１）采 用ＤＮＲ系统（由二元性、必要性和反复推理三个 原理组成），通过设置不同问题，让学生在解决问 题过程中形成ＭＩ的思想［５］．其次，Ｂｒｏｗｎ（２００３）
ｌ
解决问题 圈１
ＭＩ发生式分解图
Ｈａｒｅｌ（２００１）给出ＭＩ证明图式的演化图，从 起始的经验推理证明模式（结果模式一般化），如 权威证明图式、非定量符号化证明图式，到转移推 理证明模式（过程模式一般化）［５Ｉ．
数性质和函数；②递推和自然数的有序性．在行为 技能分析中，他以代数恒等式证明为例，将证明分 解为三种行为技能：①完成基础步骤技能；②完成 递推步骤技能；③以正确的格式陈述ＭＩ的技能； 此外，还需培养学生一些辅助技能，如代数替换、 代数操作、恒等式证明以及蕴涵表述的技能［４］． ＭＩ概念分析为设计其教学顺序提供了参考， 而ＭＩ行为操作技能分析则为ＭＩ教学方法的选 取指引了方向．然而在深刻理解ＭＩ的本质之后， 仍需要对ＭＩ的教材内容进行分析和“再创造”． ２数学归纳法的教材内容
证明方法 函数逻辑必要
ｓｔａｇｅ），学生采用重复性的行动获得数据；
ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎａｌ
在局部转移阶段（Ｒｅｓｔｒｉｃｔｉｖｅ
ｓｔａｇｅ），学生吸收了经验归纳证明图式以及一般 化的证明图式；在转移阶段（Ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎａｌ ｓｔａｇｅ），引入ＭＩ作为证明涉及无穷项命题的一种 方法‘１¨． ５教学策略 为了更好地实施ＭＩ教学，国外研究者做了 大量的实证研究，目的是为教师提供具体的教学 策略． 第一，教学准备．Ｍａｒｇｉｔａ（１９９８）的研究表明， 为使学生理解和应用ＭＩ，课前准备很重要．教师 一方面要在ＭＩ教学之前，培养学生观察、对比、 概括、归纳、猜想的能力；另一方面，要尽早通过例 题来说明不完全归纳所得结果可能是不正确的， 需告知学生，有必要去证明归纳的结果［１ ３｜． 第二，教学活动设计．首先，Ａｖｉｔａｌ＆Ｈａｎｓｅｎ （１９７６）建议教学设计考虑以下方面：①一个包含 ＭＩ概念的有趣实验；②培养猜想的能力；③验证 猜想；④应用ＭＩ证明之［１ ４｜．其次，Ｄｕｂｉｎｓｋｙ （１９８６，１９８９）建议教学设计中应包含激发学生学 习兴趣的活动［１ ５｜，认为有活动的教学可以更直接 地帮助学生理解证明图式的演化［７］．再次，Ｒｏｎ＆ Ｄｒｅｙｆｕｓ（２００４）建议教学设计过程为：①通过解题 练习找出递推规律；②举例说明归纳的结果有时 是错的；③每一种猜想都必须加以证明，由此引出 ＭＩ证明步骤［１引．最后，Ａｌｌｅｎ（２００１）建议避开传 统教学模式，并给出新的教学设计，其主要步骤 为：①给定两个列表，让学生找出函数解析式；② 从表中找出递推公式；③归纳证明两个函数解析
（２００６）研究发现，学生常常对递推步骤的正确性 心存疑虑［６］，赞同“当我应用ＭＩ的时候，我不相 信它是对的”这样的观点［８］，甚至包括有些大学生 和师范生也不理解ＭＩ的基础步骤和递推步骤的 关系，即通过假言推理得出一个无限集命题的 真理‘引． ３．２数学上的困难 Ａｖｉｔａｌ＆Ｌｉｂｅｓｋｉｎｄ（１９７８）研究发现，一些学
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数学通报 对于如何分析研究教材，Ｅｒｎｅｓｔ（１９８４）的研
２０１４年
第５３卷
第１期
生误认为基础步骤总是始于咒一１；对于复杂的问 题，他们几乎不能正确运用ＭＩ原理，数学上的困 难通常发生在ＭＩ的两个步骤中．例如：不等式２” ＞，ｚ２对咒一１成立，但对ｎ一２，３，４，…不成立［６］， 于是，学生可能在完成第一步后，马上利用第二步 进行归纳推理． 第二步本身就属于数学上的困难．当所证明 的命题涉及自然数子集时，学生通常意识不到，递 推步骤有时并非“从Ｐ（ｋ）到Ｐ（ｋ＋１）”，而是 “Ｐ（走）到Ｐ（ｋ＋２）”．若竹为偶数，则在递推步骤 应先假设Ｐ（忌）成立，再证明Ｐ（忌＋２）成立，如命 题“１＂／取何值时，３”＋７”一２能被８整除”［６］． ３．３技术上的困难 技术上的困难往往使学生不能按ＭＩ的两个 步骤来证明命题．Ｂａｋｅｒ（１９９６）通过对１３名大学 生和４０名高中生的调查发现，一些学生（包括大 学生）未能正确使用符号“∑”，不会进行基本的代 数操作［明；Ａｖｉｔａｌ＆Ｌｉｂｅｓｋｉｎｄ（１９７８）和Ｅｒｎｅｓｔ （１９８４）研究表明，有些学生在用愚＋１替换是的代 数操作时，出现了很多问题［６１；也有学生在递推步 骤中，用愚＋１代替竹时有困难［４］．Ｃｈｏｗ（２００３）对 ３０名学生进行问卷调查和访谈，发现大多数学生 在应用ＭＩ证明导数和数列问题时会遇到 困难ｕ ０’． ３．４其他错误与困难的分类 除了上述分类之外，Ｅｒｎｅｓｔ（１９８４）还给出了 学生的一些错误类型：①将ＭＩ与归纳法混为一 谈；②将ＭＩ理解为“假设要证明的结论成立，然 后再去证明它”；③不理解逻辑量词；④认为ＭＩ 的基础步是不必要的；⑤认为Ｍ１只是解决有限 项数列求和问题［４］．Ｂｒｏｗｎ（２００３）在对６名学生 进行２０次教学之后，发现学生有六类困难：①理
教材是教学设计的基本资源，在教学设计中
扮演着重要的角色，而适合学情的教材具有预防 学生犯错及帮助解决学习困难的功能，因此，对教 材的分析无疑显得特别重要． Ｈａｒｅｌ（２００１）的研究或许会对我们有所启示， 他对一些使用过的教材进行研究的过程中提到： 教材中ＭＩ的问题主要是显性递推问题，不等式 问题和整除性问题，然而这些问题很少需要学生 理解ＭＩ原理去解决，更多的是需要学生机械地 应用ＭＩ的两个步骤即可，所以学生常常误认为， ＭＩ证明不过是一个程序式的表述而已． Ｈａｒｅｌ还指出了标准教材编写的若干缺点： ①标准教材中引入ＭＩ原理太突然．学生并不知 道ＭＩ是因为解决问题的需要而产生的，是源于 先前基本经验的抽象提升．如果学生只是被动地 接受ＭＩ程序性的步骤，那么会导致学生形成权 威证明图式和非定量符号证明图式的思维模式． ②教材中问题的类型和顺序不当．首先，问题没有 依据ＭＩ历史发展来设置；其次，问题中没有可引 导学生关注过程模式一般化的隐性递推问题，而 隐形递推问题是可以促进学生理解思维方式由结 果模式一般化向过程模式一般化的转变［５］．
究可以给出一些参考．他曾对教材中的数学归纳 法内容进行了分析［４］，从页数，例题数，习题数，题 目类型，数学归纳法的格式、反例，数学归纳法原 理类比解释、原理说明，证明的概念，蕴涵关系以 及归纳法与数学归纳法的区别，这几个维度进行 研究． ３学习困难与错误及其原因分析 学生在ＭＩ的学习过程中会有很多困难和错 误．我们参照Ａｖｉｔａｌ＆Ｌｉｂｅｓｋｉｎｄ（１９７８）的分类， 将学生学习ＭＩ的困难分为概念上的困难、数学 上的困难和技术上的困难三类［６］． ３．１概念上的困难 Ａｖｉｔａｌ＆Ｌｉｂｅｓｋｉｎｄ（１９７８）研究发现，学生 不理解“由Ｐ（惫）推出Ｐ（ｋ＋１）”的含义，经常会有 这样的疑问：“如果不知道Ｐ（足）是否成立的情况 下，怎么去推导Ｐ（五＋１）的正确性呢？”学生已经 习惯于这样的事实：对于夕一ｑ，不管Ｐ是否正确， 只需说明若Ｐ对，则ｑ也对［６］．Ｅｒｎｅｓｔ（１９８４）的研 究表明，对于很多学生来说，递推步骤是在一个含 有咒的等式两边加上一些项，从而得到一个用咒 ＋１代替咒的类似的等式；因此，学生常常把ＭＩ 理解成从一个单个例子中得到一般性结论的技术 性操作，并认为ＭＩ证明是・・一个机械的程序式的 表述．学生不理解从Ｐ（１）跳跃到Ｐ（愚）推出Ｐ（忌 ＋１），且认为基础步骤不是必要的，常在证明中漏 掉这一步［４］．Ｈａｒｅｌ（２００１）对２５名师范生的教学 实验表明，虽然学生有能力套用例子模式，但实际 上并没有真正理解ＭＩ的内在关系，并且在应用 ＭＩ证明时，学生的错误往往发生在递推步骤中的 应用假设［５］．Ｄｕｂｉｎｓｋｙ（１９８９）通过对８名大学生 的访谈发现，有些学生并未意识到，若没有第一步 的证明，则第二步的证明往往是错误的［７］．Ａｖｉｔａｌ
８Ｌ Ｌｉｂｅｓｋｉｎｄ（１９７８），Ｂａｋｅｒ（１９９６）和Ｄｉｃｋｅｒｓｏｎ
解基础步骤的作用；②识别递推步骤；③解释归纳
假设的作用；④调整基础步骤和归纳假设；⑤确定 ＭＩ需要表述的内容；⑥确定ＭＩ的适用范围［１１｜． Ｂａｋｅｒ（１９９６）的研究则总结了学生学习ＭＩ的困 难的九种特征：①数学知识的储备；②概念理解； ③令人信服的证据；④日常生活中的推理；⑤元认 知监控；⑥启发式；⑦对材料本身的理解；⑧程序 性知识；⑨情感因素［８］． ３．５学习困难与错误的原因分析 很多文献都对学生学习ＭＩ的困难和出现错
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数学通报
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误的原因作了分析，如Ａｖｉｔａｌ＆Ｌｉｂｅｓｋｉｎｄ
（１９７８），Ｃｈｏｗ
Ｂｒｏｗｎ（２００３）提出了学生应用ＭＩ时的理解 方式和思维方式的演化模型．学生对ＭＩ的理解 过程分成三步：在前转移阶段（Ｐｒｅ—ｔｒａｎｓｆｏｒｍａ—
ｔｉｏｎａｌ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ｍｉｎｇ Ｋｏｎｇ（２００３），Ｄｕｂｉｎｓｋｙ
（１９８９），Ｄｉｃｋｅｒｓｏｎ（２００６）和Ｆｉｓｃｈｂｅｉｎ＆Ｅｎｇｅｌ
（１９８９），这些原因大致可分成四类．①无论是在概 念上、程序上或技术上的困难都是由于缺乏数学 知识造成的［６’１叩；②不完全形式化的数学问题背 景和不完备的数学知识是导致学生不能建构有意 义的ＭＩ证明的最基本因素，而忽视对ＭＩ概念的 理解也是一个原因［７１；③教师的教学设计也可能 导致学生学习ＭＩ的困难，如在教学中，教师直接 让学生证明问题，而不是让学生先探索、再猜想、 最后用ＭＩ去证明［６］．④ＭＩ证明的第二个步骤本 身就是理解的难点，即归纳假设不是作为被证明 的事实，而是作为假设，是推理过程的初始状态， 这常常会导致学生产生以下误解：归纳假设的成 立是有保证的；归纳假设的成立是不能证明的；归 纳假设的理由不充分，在某些情况下可能不成 立［１引．⑤以往学习中的负面经验，使他们误以为 “ＭＩ证明的基础步骤总是正确的，所以只需关注 递推步骤的正确性即可，，［９｜． ４学生证明图式的演化 Ｄｕｂｉｎｓｋｙ（１９８９）曾提出ＭＩ发生式分解 图［７］，即描述学生在学习ＭＩ过程中所建构的一 个特殊的图式，如图１所示．学生需要在教师的刺 激与引导下沿分解图线路进行建构．