1、几何法（矢量法）
设 {F , F2 , F3} 为作用在A点的力系，求其合力 1
F3
F2 F2 A F1 F1 F1 FR12 F1 F2 FR F1 F2 F3 FR FR12 F3 合力为力多边形的封闭边，
M ix cos(M R , i ) MR M iy cos(M R , j ) MR
M R M ix i M iy j M iz k
n n n i 1 i 1 i 1
M R ( M ix )2 ( M iy ) 2 ( M iz ) 2
q( x)dx x xq( x)dx q ( x ) dx
A C
B A B A
B
B
A
xq( x)dx
几种常见的线分布载荷：（见下表）
23
例
将图示分布载荷进行简化，并求对A点之矩。
解：将分布载荷图形分成两个三 角形，每个三角形载荷合力大小 分别为：
1 1 F1 qa, F2 qb 2 2
F cos b F sin a
8
二、力偶系及其简化
1、 概念与性质
A
F
F1
' F
F2
B
•力偶(couple)： F , F


, F F 不共线
•力偶系(couple system)： 作用于刚体上的 一组力偶。 @ 力偶合力为零，不能与单个力等效，是一种最简单力系。 @ 力偶对刚体只产生转动效应，用对任意点的力矩度量。
作用于汇交点。
4
F2
FR
FR12
F3
FR
F3
力 多 边 形
设{F , F2 ,Fn }为作用在A点的汇交力系 1
则该力系的合力为 {FR } {F1, F2 ,, Fn} (A为作用点)
FR F1 F2 Fn Fi
y
P2
求汇交力系各力对O点力矩之和。 n n n MO (Fi ) r Fi r Fi i1 i1 i1 r FR MO (FR )
即：
M O ( FR ) M O (Fi )
n i1
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例 图示水埧取1m长，已知：砼埧重P1=594kN，土埧重P2=297kN，水深h=8m，求：荷 载向A点简化时主矢、主矩值；在埧底主矩等于零为何处。
3m 1m
0
P1
P2
y
Q
q=y
A FRy y
dy yc
解： 水比重 ：=9.8kN/m3 h 1 水合力: Q qdy h 2γ 314kN 0 2 x h 2 2 水作用点: yC 0 y dy/Q 3h
•两个力偶等效的条件是它们的力偶矩相等
M1
B
M2 rBA
A
F1
C
rCD
D
F2
F1’
M1 rBA F1
F2’
rBA F1 M1 M2 rCD F2
M2 rCD F2
11
力偶的性质 性质一 力偶是自由矢量
力偶可在其作用面内任意移动,而不改变对刚体的作用效应
力偶矩：
d
F’
rB
rA
O
M rBA F
与取矩点无关
为自由矢量 单位：N . m
F ' F M
B
大小：
M d F
方向： 垂至于力偶所在平面 指向： 符合右手螺旋法则
F
rBA
A
力偶三要素
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F’
力偶的等效条件(定理）
' ' {F1 , F1} {F2 , F2}
2、 解析法
建立正交坐标系Oxyz， 每个力可用坐标轴上的分力表达：
z
Fn A F1
F2
FR
y
x Fi Fix i Fiy j Fiz k 则合力：FR Fi Fix i Fiy j Fiz k FRx i FRy j FRz k
y
合力作用线经过汇交点 合力投影定理
合力在某一轴上的投影，等于各分力在同一坐 标轴上投影的代数和。
6
例
汇交力系 {F F2 F3} 的作用点在边长为 2m 的正六面体相应 1
2 N , F3 2 2 N
的顶点O上，三力的大小分别为 F1 3N , F2
求合力。
解：根据合力投影定理
作用线位置如图示。整个分布载荷的合力大小为
FR F1 F2 1 q(a b) 2
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分布载荷对A点之矩：
1 2 1 b 1 M A qa a qb (a ) q(2a 2 3ab b 2 ) 2 3 2 3 6
方向顺时针
F1
1 1 qa, F2 qb 2 2
rBA
B
F ” 问题：已知力 F 和与其垂直的力偶 M B ，如何进一步简化该力系？ 在垂直 M B的平面上将力偶等效为两个力，且 F ' F '' F
作用于A点的力 F ' F
简化为
大小：rBA rBA 如何确定？ 定位矢量 F MB n 方向（单位矢量）： F MB F MB M B F MB 则 rBA F2 F F MB
图中AB线段上作用垂直分布载荷 其合力大小 FR A dFi A q( x)dx
B B
求合力大小及作用线位置。
即等于ABba载荷图形的面积。
设合力作用点x坐标为xC： 由合力矩定理： FR xC

B
A
xdFi
xC
即ABba载荷图形形心的x坐标。
结论：沿直线垂直于该直线的同向线荷载， 其合力的大小等于荷载图的面积， 合力方向与原荷载相同，合力作用线通过荷载图的形心。22
z F1
O
F2 C F Fi Fn y
若力系最终简化为作用在C点的合力，
合力大小： FR Fi 求合力作用点
荷载：工程结构所承受的主动力。 例如：物体的重力、水压力、风力等。 荷载分为：集中荷载（集中力）、分布荷载（分布力）
集中荷载: 力的作用位置可抽象成一个几何点。 分布荷载: 力的作用位置具有一定大小范围。
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分布荷载的分类：体荷载、面荷载、线荷载
体荷载：荷载分布于某一体积内。（例如重力荷载） 面荷载：荷载分布于某一面积上。（例如楼板承受的荷载） 线荷载：荷载分布于某一狭长形状的体积或面积上时，则可简 化为沿其长度方向中心线分布的线荷载。 常见的平面结构的线荷载： 沿某一直线连续分布的同向平行线荷载（平面平行力系）。 线荷载集度： 作用于构件单位长度上的荷载的大小，常用符号 q表示， 单位为N/m或kN/m。
F
F
性质二 在保持力偶矩不变的情况下，同时改变组成力偶的 力大小及力偶臂的长短，则不会改变它对刚体的转动效应。
F1 F2
F1
h1
h2
F2
12
2、 力偶系的简化
力偶系：作用在刚体上的一群力偶 力偶为自由矢量 移至同一点O
{M1, M2 ,, Mn} {MR}
力偶简化后仍为力偶
1 yQ h 2.67m 3
yQ FRx
M0
FRx=Fix =314kN,
FRy= Fiy=P1＋ P2= 891kN,
主矩：M0= Q· ＋P1· ＋P2· 2917.38kN· 2.67 1.5 4= m
主矩等于零处: xR=M0/ FRy=3.28m
26
三、空间平行分布力
空间平行力系：{F1, F2 , , Fn}
9
力偶矩 ( moment of a couple )
F
B
MO MO (F ) MO (F ') rA F rB F '
rBA
A
rA F rB (F ) (rA rB ) F rBA F
z F1 F3
FRx Fix
0 F2 cos45 0 1 N
FRy Fiy
F3 cos45 F2 cos45 3 N
P1

O
x
P3 FR

F2
7
FRz Fiz
F3 cos45 F1 5 N 合力： FR i 3 j 5k
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均布荷载：荷载是均匀分布的（q为常数）； 非均布荷载：荷载不是均匀分布的（q不是常数）； 荷载图：表示荷载分布情况的图。
问题：如何简化分布荷载？
平行力系简化
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一、两同向平行力的合成
已知两平行力： F1 F2 ，求其合成结果。 二力向一点C平行移动，附加力偶 M1 M 2
欲使两附加力偶抵消，C点必在AB之间，其位置满足：
三、力的平移定理
F
A B
F
A
B
F '' F ' F
A
F’
B
MB

A B
F’

F
rBA
力的平 移定理
F'F {F}A {F ', MB }B , MB rBA F MB (F ) 15
F”
F’
MB
B
F
A
F