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§ 2-1 平面应力问题与平面应变问题
·平面应力问题
♢ 工程实例
平板坝的平板支墩
深梁
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§ 2-1 平面应力问题与平面应变问题
·平面应变问题
♢ 几何特征 无限长的柱形体， 横截面不沿长度变化 ♢ 面力与约束 作用于柱面，平行横截面，不沿柱体长度方 向变化； ♢ 体力 作用于柱体内，平行横截面，不沿柱体长度 方向变化；
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§ 2-1 平面应力问题与平面应变问题
·平面应变问题
♢ 简化分析
截面、外力、约束沿z不变，外力、 约束平行 xy面，柱体无限长
任何截面都是对称面
w=0， u、v ≠0
εz=0
τzx=0、 τzy=0
γzx=0、 γzy=0
εx 、εy 、γxy ≠ 0
★ 应变只存在平面应变，所以称为平面应变问题
·推导
(2) 坐标轴方向合力为0
方程两边同除dxdy 同理，ΣFy=0
平衡微分方程
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·总结
§ 2-2 平衡微分方程
平衡微分方程
* 3个未知量，2个方程，还需另外方程 * 基于连续性、小变形假定 * 弹性体内任意区域都精确成立 * 平面应力和平面应变问题都适用
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§ 2-3 平面问题中一点的应力状态
tanα2 = -
τxy σ1 - σx
∴ tanα1·tanα2 = -1
∴ σ1⊥ σ2
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§ 2-3 平面问题中一点的应力状态
·最大最小正应力
O
x
σ2
由(2-4)式，得
σ1
σ1
y
σ2
τxy = 0 σx = σ1 σy = σ2
σn = l2 σx + m2 σy + 2lmτxy = l2 σ1 + m2 σ2 = l2 σ1 + (1 - l2) σ2 = l2 (σ1 – σ2) + σ2
★ 应变和位移均为x、y的函数，不随z变化
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§ 2-1 平面应力问题与平面应变问题
·平面应变问题
♢ 工程实例
挡土墙
隧道
虽然这些结构并不符合无限长柱形假设，但离两端较远 处，仍可按平面应变问题进行计算，精度可满足要求。
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§ 2-2 平衡微分方程
·平衡微分方程
微元体的平衡
平衡微分方程
* 表示物体内任意点的微元体平衡条件 * 建立应力分量与体力分量之间的关系
σ1
σ2
α1
y
σ2
σ1
tanα1 =
sinα1 cosα1
=
cos(90 cosα1
α1)
=
m1 l1
tanα2 =
sinα2 cosα2
=
cos(90 由(a)式，得
tanα1 =
σ1 - σx τxy
,
tanα2 =
τxy σ2 - σy
σ1 + σ2 = σx + σy
B’
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§ 2-3 平面问题中一点的应力状态
·主应力方向
O
P
y
x
α1 σ1
tanα1 =
sinα1 cosα1
=
cos(90 cosα1
α1)
=
m1 l1
tanα2 =
sinα2 cosα2
=
cos(90 – cosα2
α2)=
m2 l2
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§ 2-3 平面问题中一点的应力状态
·主应力方向
O
x
P
主应力特征方程
σ2 – (σx + σy) σ + (σxσy – τxy) = 0
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§ 2-3 平面问题中一点的应力状态
·主应力特征方程
O
x
σ2 – (σx + σy) σ + (σxσy – τxy) = 0
*
P
A’A
* 两主应力都是实数
y
τn
B
σ σn n’
* σ1 + σ2 = σx + σy
O
x
y 平面问题的基本理论
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§ 2-1 平面应力问题与平面应变问题
·空间问题的简化
弹性力学均为空间问题，但在特殊情况下，可简化为平面问 题，能减少未知量个数，便于方程求解，且精度不受影响。
·平面应力问题
♢ 几何特征 等厚度薄板
♢ 面力与约束 只在板边上，平行于板面，不沿厚度变化
♢ 体力 平行于板面，不沿厚度变化
·推导
O
x
P
A
σn：AB面上正应力 τn：AB面上切应力
σn = lpx + mpy
px τn
σn
y
B py p n
★ 由一点应力分量可求任 一斜面上正(切)应力
τn = lpy - mpx 由(2-3)式，得
σn = l2σx + m2σy + 2lmτxy
τn = lm(σy - σx)+ (l2 - m2)τxy
x
P τyx σy
A
τxy
fxpx
σx
y
B
fy py
pn
Σ Fx = 0，得 px ds - σxlds - τxymds + fxlds·mds= 0
2 同除ds，且ds → 0
px = lσx+ mτxy
Σ Fy = 0，得
(2-3)
py = mσy+ lτxy
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§ 2-3 平面问题中一点的应力状态
2
§ 2-1 平面应力问题与平面应变问题
·平面应力问题
♢ 简化分析 板面无面力和约束
板很薄，外力不沿厚度变化，应力沿 板厚连续分布
切应力互等定理
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§ 2-1 平面应力问题与平面应变问题
·平面应力问题
♢ 简化分析 应力分量只剩
★ 应力只存在平面应力，所以称为平面应力问题 板很薄，外力和约束不沿厚度变化 ★ 应力分量均为x、y的函数，不随z变化
·问题的提出
已知P点应力分量，求过P点任意斜面上应力?
O
x
P
A
px
y
B
py p n
cos(n,x)=l, cos(n,y)=m px：p在x轴投影 py：p在y轴投影 AB = ds PB = lds PA = mds
Δ PAB =lds·mds/2
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§ 2-3 平面问题中一点的应力状态
·推导
O
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·微元体
O
§ 2-2 平衡微分方程
x
σx
σx+
∂σx ∂x
dx
y * 微元体尺寸dx、dy、1 * 应力分量作用在微分面中心上 * 应力分量随坐标变化 * 体力作用在体心 * 变形后尺寸可用变形前尺寸代替
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·推导
(1) ∴
§ 2-2 平衡微分方程
∴
∵
∴
切应力互等定理
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§ 2-2 平衡微分方程
∴ σmax = σ1 l2 =1 σmin = σ2 l2 =0
两主应力就是最大与最小正应力
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§ 2-3 平面问题中一点的应力状态
·最大最小切应力
O
x
由(2-5)式，得
σ2
τn = l m (σy - σx)+ (l2 - m2)τxy
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§ 2-3 平面问题中一点的应力状态
·主应力
O
x
P
A’A
τn
σ
y
B
σn n’
B’
σ：主应力
A’B’：应力主面 n’：应力主向
全应力=正应力 px = lσ py= mσ 由(2-3)式，得
lσx + mτxy = lσ mσy + lτxy = mσ
m l
=
σ
- σx τxy
m l
=
τxy σ - σy