又无z向外力，可认为：
σ z , τ zx , τ zy 0, (在 V 中 ).
故只有平面应力 σ x , σ y存, 在xy 。
7
平面应力
⑵由于板为等厚度，外力、约束沿z向不变，
故应力 σ x , σ y ,仅 xy为 f 。x, y
∴归纳为平面应力问题：
a.应力中只有平面应力 σ x , σ y存,在xy ；
b.且仅为 f x, 。y
8
如： 弧形闸门闸墩 计算简图：
F
fy
平面应力
深梁 计算简图：
fy
9
例题1（习题2-3） 选择坐标系如图。
因表面无任何面力， fx、fy、fz = 0,
故表面上
σ z , zx , zy 0 .
在近表面很薄一层
σ z , zx , zy 0 .
∴ 接近平面应力问题。
（，x）y∈A；
⑵ 适用的条件─连续性、小变形； ⑶ 应力不能直接求出； ⑷ 对两类平面问题的方程相同。
25
说明
⑸比较: 理力考虑整体 的V平衡（只决定整体的 运动状态）。 材力考虑有限体 的V平衡（近似）。 弹力考虑微分体 的dV平衡（精确）。
26
说明
当 均dV平衡时，保证 、V平衡V； 反之则不然。
3.微分体边上的应力若考虑为不均匀分布，
将得出什么结果？（习题2-4）
29
问题
§2－3 平面问题中一点的 应力状态
问题的提出：
已知坐标面上应力 σ x , σ y，, xy
求斜面上的应力。
30
问题
斜面应力表示：p ( p x , p y ), p ( σ n , n ).
（平面应变问题）
13
平面应变
⑵ 由于截面形状、体力、面力及约束
沿 向z 均不变，故应力、应变、位移
均为 f x, y。
14
平面应变
∴归纳平面应变问题：
a.应变中只有平面应变分量 ε x , ε存y , 在γ xy；
b.且仅为 。
f x, y
15
例如：
挡土墙
o x
平面应变
隧道
ห้องสมุดไป่ตู้
o
x
y
y
16
例2（习题2-4） 按平面应变问题特征 来分析，本题中
所以弹力的平衡条件是严格的、精确的。
27
V
h
理力（ V ）
dx
材力（ V h d x b ）
dx
dy
弹力（ dV d x d y 1 ）
28
思考题
1.试检查，同一方程中的各项，其量纲
必然相同（可用来检验方程的正确性）。
2.将条件 M,c改0为对某一角点的
，
将得出M 什0么结果？（习题2-3）
z 0, zx, zy 0 zx, zy 0. 只有 ε x , ε y，, γ xy
且为 f x, y
平面应变
ox z
y
17
定义
§2－2 平衡微分方程 平衡微分方程─表示物体内任
一点的微分体 的平衡条件。
18
定义
在任一点（x，y）取出一微小的平行六面 体 d x d ,y作1 用于微分体上的力：
x
dx
y
y
y
dy
Fy0 ，同理可得：
σ y y
xy
x
f
y
0.
(b)
23
平衡条件
O
x
yx
P
y xy C
xy
xy
x
dx
Mc0, 得
yx
yx
y
dy
xy
1 2
xy
x
d
x
yx
1 2
yx
y
d
y
,
当 d x , d y时，0得切应力互等定理,
xy yx .
(c)
24
说明
对平衡微分方程的说明： ⑴ 代表A中所有点的平衡条件，
3
点击输入简要文字内容，文字内容需概括精炼，不用多余 的文字修饰，言简意赅的说明分项内容……
2
第二章 平面问题的基本理论
第七节 圣维南原理及其应用 第八节 按位移求解平面问题 第九节 按应力求解平面问题 相容方程 第十节 常应力情况下的简化 应力函数 例 题 习题的提示和答案 教学参考资料
3
平面应力
ox
z
zy
y
12
简化为平面应变问题：
平面应变
⑴ 截面、外力、约束沿z向不变，外力、约 束∥xy面，柱体非常长，
故任何 z 面（截面）均为对称面。∴
w 0, 只 有 u,v; （ 平 面 位 移 问 题 ）
w0εz 0,
τ zx ,τ zy 0 zx , zy 0,
只有 x , y , xy .
第二章 平面问题的基本理论
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节
平面应力问题和平面应变问题 平衡微分方程 平面问题中一点的应力状态 几何方程 刚体位移 物理方程 边界条件
1
概述
1
点击输入简要文字内容，文字内容需概括精炼，不用多余 的文字修饰，言简意赅的说明分项内容……
2
点击输入简要文字内容，文字内容需概括精炼，不用多余 的文字修饰，言简意赅的说明分项内容……
∥ 面，沿板x y厚不变； ⑶面力 f、x f作y 用于板边，
∥ 面，沿板x y厚不变； ⑷约束 u、 v作用于板边，
∥ 面，沿板x y厚不变。
5
坐标系如图选择。
平面应力
6
平面应力
简化为平面应力问题：
⑴两板面上无面力和约束作用，故
σ z , τ zx , τ zy
0.
z δ2
由于薄板很薄，应力是连续变化的，
体力： f x , 。f y 应力：作用于各边
上，并表示 出正面上由 坐标增量引 起的应力增 量。
19
应用的基本假定： 连续性假定─应力用连续函数来表示。 小变形假定─用变形前的尺寸代替变
形后的尺寸。
20
平衡条件
列出平衡条件 ： 合力 = 应力×面积，体力×体积；
以正向物理量来表示。 平面问题中可列出三个平衡条件:
平面应力
10
第二种：平面应变问题 条件是：
⑴很长的常截面柱体 ；
⑵体力 f、x f作y 用于体内，∥ 面xy，
沿长度方向不变；
⑶面力 f、x f作y 用于柱面，∥ 面xy，
沿长度方向不变；
⑷约束 u、 作v 用于柱面，∥ 面xy，
沿长度方向不变。
平面应变
11
坐标系选择如图：
平面应变
oz
x
y
对称面
21
x 平衡条件 O
yx
Fx 0,
P
y x
C fx
(σ
x
σ x x
d
x)d
y
1σ
x
d
y
1
x
x
x
dx
yx
yx
y
dy
(
yx
yx
y
d
y)d
x1
yx
d
x1
f
x
d
xd
y10.
其中一阶微量抵消，并除以 d x d y 得：
σ x x
yx
y
f
x
0.
(a)
22
x O
y
P
y
xy
C fy
平衡条件
xy
xy
§2－1 平面应力问题和 平面应变问题
弹力空间问题共有应力、应变、位
移15个未知函数，且均为 f x, y, z；
弹力平面问题共有应力、应变、位
移8个未知函数，且均为 f x。, y
4
平面应力
有两类问题可以简化为平面问题。
第一种：平面应力问题
条件是： ⑴等厚度的薄板；
⑵体力 fx、 f作y 用于体内，